Formule: Matrice și operații cu matrice

Tabloul de numere ca obiect de calcul: adunare, înmulțire cu un scalar, produs, transpusă, puteri și matricea de rotație. 9 formule, clasa 11.

Matricea și elementul generic — clasa 11

$m$ este numărul de linii, $n$ numărul de coloane, iar $a_{ij}$ este elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ — indicele de linie se scrie primul. ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$ este mulțimea tuturor matricelor de tipul $m\times n$ cu elemente numere complexe; când toate elementele sunt reale se scrie ${\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R})$. Dacă $m=n$, matricea se numește pătratică de ordin $n$ și mulțimea ei se notează ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$. Cazuri speciale: ${\mathcal{M}}_{1,n}$ — matrice-linie, ${\mathcal{M}}_{m,1}$ — matrice-coloană. Capcană: două matrice sunt egale doar dacă au același tip și toate elementele egale, element cu element.

Exemplu: $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 3& 2& 5\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$ are $a_{13}=-1$ și $a_{21}=3$. • Matricea $C=(c_{ij})\in {\mathcal{M}}_{2,3}$ cu $c_{ij}=j^2$ este $\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 9\\ 1& 4& 9\end{array}\right)$.

Adunarea matricelor și înmulțirea cu un scalar — clasa 11

$A$ și $B$ trebuie să fie de același tip $m\times n$ — altfel suma nu are sens; $\alpha \in \mathbb{C}$ este un scalar. Ambele operații se fac element cu element, pe poziții corespunzătoare. Proprietăți: adunarea este comutativă și asociativă, are elementul neutru $O_{m,n}$ (matricea nulă) și opusul $-A=(-1)A$; în plus $\alpha (A+B)=\alpha A+\alpha B$ și $(\alpha +\beta )A=\alpha A+\beta A$. De aici scăderea: $A-B=A+(-1)B$. Capcană: înmulțirea cu un scalar înmulțește fiecare element, deci nu se scoate factor comun doar dintr-o linie, ca la determinanți.

Exemplu: Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 0& 2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 5& -2\end{array}\right)$: $A+B=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 5& 0\end{array}\right)$, $A-B=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ -5& 4\end{array}\right)$ și $2A=\left(\begin{array}{cc}6& -2\\ 0& 4\end{array}\right)$. • Ecuația $A+X=B$ are soluția unică $X=B-A=\left(\begin{array}{cc}-2& 5\\ 5& -4\end{array}\right)$.

Înmulțirea a două matrice — clasa 11

$A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$, $B\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{C})$, iar $C=A\cdot B\in {\mathcal{M}}_{m,p}(\mathbb{C})$. Regula de potrivire: produsul există numai dacă numărul de coloane ale lui $A$ este egal cu numărul de linii ale lui $B$; tipul rezultatului se citește de la capete, $(m\times n)\cdot (n\times p)=(m\times p)$. Elementul $c_{ij}$ se obține plimbând linia $i$ din $A$ peste coloana $j$ din $B$, înmulțind pe poziții și adunând. Capcană: $AB$ poate exista fără ca $BA$ să existe, iar când există amândouă pot fi de tipuri diferite.

Exemplu: $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ 2& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 4+2\cdot 2& 1\cdot (-1)+2\cdot 5\\ 3\cdot 4+0\cdot 2& 3\cdot (-1)+0\cdot 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 9\\ 12& -3\end{array}\right)$. • $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\end{array}\right)$ — o matrice-linie ori o matrice-coloană dă o matrice $1\times 1$.

Proprietățile înmulțirii matricelor — clasa 11

$A$, $B$, $C$ sunt matrice pentru care produsele scrise au sens; $I_n$ este matricea unitate (are $1$ pe diagonala principală și $0$ în rest), iar $O_n$ este matricea nulă. Înmulțirea este asociativă și distributivă față de adunare, dar nu este comutativă — de aceea la orice înmulțire cu o matrice se spune de care parte se face. Două consecințe pe care se cade constant: $A\cdot B=O_n$ nu implică $A=O_n$ sau $B=O_n$ (există divizori ai lui zero), iar $(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$, care se reduce la $A^2+2AB+B^2$ numai dacă $AB=BA$. Nu există împărțire de matrice: se înmulțește cu inversa, precizând partea.

Exemplu: Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$: $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, iar $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ — diferite. • $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)=O_2$, deși niciun factor nu este nul.

Transpusa unei matrice — clasa 11

Transpusa ${}^{t}A$ se obține schimbând liniile cu coloanele: elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ al lui ${}^{t}A$ este $a_{ji}$. Dacă $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}$, atunci ${}^{t}A\in {\mathcal{M}}_{n,m}$, deci tipul se răstoarnă. Transpunerea de două ori readuce matricea inițială, iar peste adunare și peste înmulțirea cu un scalar trece nestingherit: ${}^t(\alpha A)=\alpha {}^{t}A$. O matrice pătratică cu ${}^{t}A=A$ se numește simetrică. Notația românească, obligatorie aici, este ${}^{t}A$ — nu $A^T$ și nu $A^{\prime }$.

Exemplu: Pentru $B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{R})$ avem ${}^{t}B=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,2}(\mathbb{R})$. • $\left(\begin{array}{cc}1& 7\\ 7& 2\end{array}\right)$ este simetrică, pentru că elementele așezate simetric față de diagonala principală coincid.

Puterea unei matrice pătratice — clasa 11

$A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ trebuie să fie pătratică — numai atunci $A\cdot A$ are sens; $m,n\in \mathbb{N}$. Puterile aceleiași matrice comută între ele, deci regulile de mai sus sunt aceleași ca la numere. Capcană: $(A\cdot B{)}^n\ne A^n{B}^n$ dacă $AB\ne BA$. Metoda de lucru: se calculează $A^2$, $A^3$, se ghicește forma lui $A^n$ și se demonstrează prin inducție — presupunerea fără demonstrație nu se punctează. Alte trei drumuri: binomul lui Newton (când $A$ se scrie ca sumă de matrice care comută), șirurile recurente și relația Hamilton-Cayley.

Exemplu: Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$: $A^2=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$, $A^3=\left(\begin{array}{cc}8& 7\\ 0& 1\end{array}\right)$, de unde $A^n=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& 2^n-1\\ 0& 1\end{array}\right)$, demonstrat prin inducție. • Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& -1\end{array}\right)$ avem $A^2=I_2$, deci $A^{10}=I_2$ și $A^{11}=A$.

Binomul lui Newton pentru matrice — clasa 11

$A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$, iar $C_n^k$ sunt combinările din clasa a X-a. Condiția $AB=BA$ este esențială și se verifică explicit înainte de a scrie formula: fără ea, dezvoltarea produce termeni de tipul $ABA$ care nu se pot grupa. Cazul care apare cel mai des la Bacalaureat M1: $A=\alpha I_n+N$, unde $N$ este nilpotentă (adică $N^q=O_n$ pentru un $q$); cum $I_n$ comută cu orice matrice, suma se oprește la $k=q-1$ și rămân doar câțiva termeni. Capcană: $(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$ este falsă pentru matrice care nu comută.

Exemplu: Fie $A=I_3+N$ cu $N=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 0& 0& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$; atunci $N^3=O_3$, deci $A^n=I_3+nN+\frac{n(n-1)}{2}{N}^2$. • Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2+N$ cu $N^2=O_2$: $A^n=I_2+nN=\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Matricea de rotație — clasa 11

$\theta$ este unghiul de rotație în jurul originii, măsurat în sens trigonometric; $R(\theta )$ duce punctul de coordonate $(x,y)$ în punctul $(x^{\prime },y^{\prime })$ dat de $\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=R(\theta )\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$. Prima egalitate din dreapta se demonstrează chiar cu formulele de adunare pentru sinus și cosinus, iar din ea, prin inducție, rezultă a doua: a roti de $n$ ori cu $\theta$ înseamnă a roti o dată cu $n\theta$. Consecințe utile: $R(0)=I_2$, $R(\theta )R(-\theta )=I_2$ — deci $R(\theta {)}^{-1}=R(-\theta )$ — și $\det R(\theta )={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$. Aceasta este a patra metodă elementară de ridicare la putere.

Exemplu: $A=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)=R\left(\frac{\pi }{6}\right)$, deci $A^6=R(\pi )=-I_2$ și $A^{12}=R(2\pi )=I_2$. • $R\left(\frac{\pi }{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ duce punctul $(1,0)$ în $(0,1)$.

Matricea unitate, matricea nulă și matricele diagonale — clasa 11

$I_n$ este matricea unitate de ordin $n$: are $1$ pe diagonala principală (pozițiile $a_{ii}$) și $0$ în rest; ea joacă pentru înmulțirea matricelor rolul lui $1$ pentru numere. Matricea nulă $O_{m,n}$ are toate elementele $0$ și joacă rolul lui $0$. O matrice diagonală are elemente nenule doar pe diagonala principală; puterile ei se calculează instantaneu, ridicând fiecare element diagonal la putere — de aici și $I_n^k=I_n$. Matricea scalară $\alpha I_n$ comută cu orice matrice pătratică de același ordin, proprietate folosită la binomul lui Newton.

Exemplu: ${\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& -2\end{array}\right)}^4=\left(\begin{array}{cc}81& 0\\ 0& 16\end{array}\right)$. • $I_3\cdot A=A\cdot I_3=A$ pentru orice $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{C})$, iar $\left(5I_2\right)\cdot A=5A$.