Formule: Numere complexe

Mulțimea în care orice ecuație de gradul al doilea are soluții: formă algebrică, modul, conjugat și formula lui Moivre. 11 formule, clasa 10.

La liceu: ești la mate-info, la științe ale naturii sau la un liceu tehnologic? Alege profilul și listele de liceu îl arată doar pe al tău.Profilul tău la liceu (listele de liceu arată doar ce e pentru el):

Formulele tale de la tehnologic sunt primele, imediat mai jos: Pentru filiera tehnologică (M3) ↓

Forma algebrică a unui număr complex — clasa 10
Adunarea și înmulțirea numerelor complexe — clasa 10
Puterile unității imaginare — clasa 10
Conjugatul unui număr complex — clasa 10
Modulul unui număr complex — clasa 10
Împărțirea numerelor complexe — clasa 10
Forma trigonometrică — clasa 10
Înmulțirea și împărțirea în formă trigonometrică — clasa 10
Formula lui Moivre — clasa 10
Rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex — clasa 10

Forma algebrică a unui număr complex — clasa 10

z = a + bi, a, b \in R, i^{2} = - 1

$a = Re z$ este partea reală, $b = Im z$ este partea imaginară (un număr real, fără $i$ ), iar $i$ este unitatea imaginară, definită prin $i^{2} = - 1$ . Două numere complexe sunt egale exact când au aceeași parte reală și aceeași parte imaginară, deci o singură egalitate în $C$ înseamnă două egalități în $R$ . Numerele reale sunt și ele complexe: $7 = 7 + 0 i$ . Capcană: partea imaginară a lui $3 + 4 i$ este $4$ , nu $4 i$ .

Exemplu: Pentru $z = 3 + 4 i$ : $Re z = 3$ și $Im z = 4$ . • Din $x + y i = 5 - 2 i$ , cu $x, y$ reale, rezultă $x = 5$ și $y = - 2$ . • $- 5 i$ este pur imaginar. • Ecuația $x^{2} = - 9$ are în $C$ două soluții, $x = \pm 3 i$ — nu se scrie $- 9$ , fiindcă pentru numere negative radicalul nu are o valoare unică.

Adunarea și înmulțirea numerelor complexe — clasa 10

(a + bi) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i, (a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i

Adunarea se face separat, pe părțile reale și pe cele imaginare. Înmulțirea nu se învață pe de rost: desfaci parantezele ca la orice produs de binoame și înlocuiești $i^{2} = - 1$ . Toate proprietățile obișnuite rămân valabile — comutativitate, asociativitate, distributivitate, element neutru $1$ . De reținut: $(a + bi)^{2} = a^{2} - b^{2} + 2 abi$ și $(a + bi) (a - bi) = a^{2} + b^{2}$ , care este un număr real nenegativ. Capcană: din cauza lui $i^{2} = - 1$ , în partea reală a produsului apare o scădere.

Exemplu: $(2 + 3 i) + (1 - 5 i) = 3 - 2 i$ . • $(2 + 3 i) (1 - 5 i) = 2 - 10 i + 3 i - 15 i^{2} = 2 - 7 i + 15 = 17 - 7 i$ . • $(1 + i)^{2} = 1 + 2 i + i^{2} = 2 i$ .

Puterile unității imaginare — clasa 10

i^{4 k} = 1, i^{4 k + 1} = i, i^{4 k + 2} = - 1, i^{4 k + 3} = - i

Puterile lui $i$ se repetă din $4$ în $4$ . Ca să afli $i^{n}$ , împarți exponentul $n$ la $4$ și te uiți doar la rest: restul $0$ dă $1$ , restul $1$ dă $i$ , restul $2$ dă $- 1$ , restul $3$ dă $- i$ . Regula merge și la exponenți negativi, cu restul luat nenegativ. Consecință utilă: orice patru puteri consecutive ale lui $i$ au suma $0$ .

Exemplu: $2026 = 4 \cdot 506 + 2$ , deci $i^{2026} = - 1$ ; iar $i^{2027} = - i$ . • $i + i^{2} + i^{3} + i^{4} = i - 1 - i + 1 = 0$ . • $\frac{1}{i} = \frac{i ^{3}}{i ^{4}} = i^{3} = - i$ .

Conjugatul unui număr complex — clasa 10

\overset{z}{ˉ} = a - bi, z + \overset{z}{ˉ} = 2 a, z \cdot \overset{z}{ˉ} = a^{2} + b^{2}

Conjugatul păstrează partea reală și schimbă semnul părții imaginare; geometric, este simetricul lui $z$ față de axa reală. Produsul $z \overset{z}{ˉ} = a^{2} + b^{2}$ este întotdeauna un număr real nenegativ, nul doar pentru $z = 0$ — de aici pornește toată tehnica împărțirii. Conjugarea respectă operațiile: $\overline{z_{1} \pm z_{2}} = \overset{z_{1}}{ˉ} \pm \overset{z_{2}}{ˉ}$ , $\overline{z_{1} z_{2}} = \overset{z_{1}}{ˉ} \cdot \overset{z_{2}}{ˉ}$ , $\overline{z^{n}} = (\overset{z}{ˉ})^{n}$ . Criterii: $z \in R ⟺ z = \overset{z}{ˉ}$ , iar $z$ este pur imaginar sau nul $⟺ \overset{z}{ˉ} = - z$ .

Exemplu: Pentru $z = 3 + 4 i$ : $\overset{z}{ˉ} = 3 - 4 i$ , $z + \overset{z}{ˉ} = 6$ , iar $z \overset{z}{ˉ} = 9 + 16 = 25$ . • $\overline{(2 + i) (1 - 3 i)} = (2 - i) (1 + 3 i)$ . • $Re z = \frac{z + z ˉ}{2}$ și $Im z = \frac{z - z ˉ}{2 i}$ .

Modulul unui număr complex — clasa 10

∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}, ∣ z ∣^{2} = z \cdot \overset{z}{ˉ}

Modulul este distanța de la origine până la punctul care îl reprezintă pe $z$ în plan, deci un număr real nenegativ, nul doar pentru $z = 0$ . Proprietăți multiplicative, foarte utile la calcule lungi: $∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣ \cdot ∣ z_{2} ∣$ , $\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{∣ z _{1} ∣}{∣ z _{2} ∣}$ și $∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n}$ . Simetrii: $∣ z ∣ = ∣ \overset{z}{ˉ} ∣ = ∣ - z ∣$ . Capcană: la adunare nu există egalitate, ci doar inegalitatea triunghiului, $∣ z_{1} + z_{2} ∣ \leq ∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣$ .

Exemplu: $∣3 + 4 i ∣ = 9 + 16 = 5$ . • $∣1 + i ∣ = 2$ , deci $(1 + i)^{8} = (2)^{8} = 16$ — și, într-adevăr, $(1 + i)^{8} = 16$ . • Egalitatea $∣ z - 2∣ = 3$ descrie cercul de centru $(2, 0)$ și rază $3$ .

Împărțirea numerelor complexe — clasa 10

\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{z _{1} \cdot z _{2} ˉ}{∣ z _{2} ∣ ^{2}} = \frac{( a + bi ) ( c - d i )}{c ^{2} + d ^{2}}, z_{2} \neq = 0

Împărțirea se face amplificând fracția cu conjugatul numitorului: numitorul devine $c^{2} + d^{2}$ , număr real strict pozitiv, iar apoi separi partea reală de cea imaginară. Caz particular: $\frac{1}{z} = \frac{z ˉ}{∣ z ∣ ^{2}}$ . Conjugatul câtului este câtul conjugatelor. Verificare obligatorie: câtul $q$ se controlează prin $q \cdot z_{2} = z_{1}$ — pasul care prinde greșelile de semn.

Exemplu: $\frac{3 + 4 i}{1 - i} = \frac{( 3 + 4 i ) ( 1 + i )}{1 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{3 + 3 i + 4 i - 4}{2} = \frac{- 1 + 7 i}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{7}{2} i$ ; proba: $(- \frac{1}{2} + \frac{7}{2} i) (1 - i) = 3 + 4 i$ . ✓ • $\frac{1 + i}{1 - i} = i$ și $\frac{1}{i} = - i$ .

Forma trigonometrică — clasa 10

z = r (cos φ + i sin φ), r = ∣ z ∣, cos φ = \frac{a}{r}, sin φ = \frac{b}{r}

$r = ∣ z ∣ > 0$ este modulul, iar $φ = ar g z \in [0, 2 π)$ este argumentul redus — unghiul făcut cu semiaxa pozitivă $O x$ , măsurat în sens trigonometric. Invers, $a = r cos φ$ și $b = r sin φ$ . Stabilește întâi cadranul, din semnele lui $a$ și $b$ , și abia apoi argumentul: este cel mai bun control al răspunsului. Capcană: numărul $0$ are modul $0$ , dar nu are argument, deci nu are formă trigonometrică.

Exemplu: $z = 1 + i$ : $r = 2$ , iar din $cos φ = sin φ = \frac{2}{2}$ (cadranul I) rezultă $φ = \frac{π}{4}$ , deci $z = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$ . • $z = - 1 + i 3$ : $r = 2$ , cadranul II, $φ = \frac{2 π}{3}$ .

Înmulțirea și împărțirea în formă trigonometrică — clasa 10

z_{1} z_{2} \frac{z _{1}}{z _{2}} = r_{1} r_{2} [cos (φ_{1} + φ_{2}) + i sin (φ_{1} + φ_{2})], = \frac{r _{1}}{r _{2}} [cos (φ_{1} - φ_{2}) + i sin (φ_{1} - φ_{2})]

La înmulțire modulele se înmulțesc și argumentele se adună; la împărțire modulele se împart și argumentele se scad. Citirea geometrică este cea mai frumoasă: a înmulți cu $z_{2}$ înseamnă a roti cu unghiul $φ_{2}$ și a dilata de $r_{2}$ ori. Capcană: rezultatul trebuie readus la argument redus, adunând sau scăzând $2 π$ până când unghiul intră în $[0, 2 π)$ .

Exemplu: Pentru $z_{1} = 2 (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6})$ și $z_{2} = 3 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ : $z_{1} z_{2} = 6 (cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2}) = 6 i$ , iar $\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{2}{3} (cos \frac{11 π}{6} + i sin \frac{11 π}{6})$ , pentru că $\frac{π}{6} - \frac{π}{3} = - \frac{π}{6}$ , care redus dă $\frac{11 π}{6}$ .

Formula lui Moivre — clasa 10

z^{n} = r^{n} (cos n φ + i sin n φ), n \in Z

Modulul se ridică la putere, iar argumentul se înmulțește cu exponentul. Pentru $r = 1$ formula are forma clasică $(cos φ + i sin φ)^{n} = cos n φ + i sin n φ$ . Argumentul $n φ$ se reduce obligatoriu la $[0, 2 π)$ . Natura rezultatului se citește din unghi: $z^{n}$ este real când $n φ$ este multiplu de $π$ și pur imaginar când $n φ = \frac{π}{2} + k π$ . Capcană: exponenții negativi sunt permiși doar pentru $z \neq = 0$ .

Exemplu: $(1 + i)^{10}$ : modulul este $(2)^{10} = 32$ , iar argumentul $10 \cdot \frac{π}{4} = \frac{5 π}{2}$ , care redus dă $\frac{π}{2}$ ; deci $(1 + i)^{10} = 32 (cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2}) = 32 i$ . • Proba directă: $(1 + i)^{2} = 2 i$ , deci $(1 + i)^{10} = (2 i)^{5} = 32 i$ . ✓

Rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex — clasa 10

w_{k} k = n r (cos \frac{φ + 2 k π}{n} + i sin \frac{φ + 2 k π}{n}), = 0, 1, \dots, n - 1

Un număr complex nenul $z = r (cos φ + i sin φ)$ are exact $n$ rădăcini de ordinul $n$ , adică $n$ numere $w$ cu $w^{n} = z$ . Toate au același modul, $n r$ , iar argumentele lor cresc din $\frac{2 π}{n}$ în $\frac{2 π}{n}$ ; imaginile lor sunt vârfurile unui poligon regulat cu $n$ laturi, înscris în cercul de centru $O$ și rază $n r$ , iar suma lor este $0$ pentru $n \geq 2$ . Capcană: notația $n z$ nu se folosește pentru numere complexe, tocmai fiindcă rezultatul nu este unic. Verificarea obligatorie: ridici fiecare rădăcină la puterea $n$ și trebuie să obții exact $z$ .

Exemplu: Rădăcinile de ordinul $3$ ale lui $8$ (aici $r = 8$ , $φ = 0$ ): $w_{k} = 2 (cos \frac{2 k π}{3} + i sin \frac{2 k π}{3})$ , adică $w_{0} = 2$ , $w_{1} = - 1 + i 3$ , $w_{2} = - 1 - i 3$ . Proba: $(- 1 + i 3)^{3} = 8$ , iar suma celor trei rădăcini este $0$ . ✓

Pentru filiera tehnologică (M3)

Formula de mai jos e scrisă pentru elevii de la liceele tehnologice (programa M_tehnologic, Bacalaureatul M3), în clasa a X-a; lecțiile lor sunt pe traseul tehnologic al clasei a X-a.

Numere complexe: operații și conjugat M3 — clasa 10

Numere complexe: operații și conjugat — clasa 10

(a + bi) \pm (c + d i) = (a \pm c) + (b \pm d) i, (a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i, \overline{a + bi} = a - bi, (a + bi) (a - bi) = a^{2} + b^{2}, \frac{a + bi}{c + d i} = \frac{( a c + b d ) + ( b c - a d ) i}{c ^{2} + d ^{2}}, Δ = b^{2} - 4 a c, z_{1, 2} = \frac{- b \pm i - Δ}{2 a} (Δ < 0)

Literele $a$ , $b$ , $c$ , $d$ sunt numere reale, iar $i$ este unitatea imaginară. Primul rând adună și înmulțește, iar semnul $\pm$ înseamnă același semn pe ambele părți. Al doilea dă conjugatul și arată că produsul cu el este suma pătratelor părților. Al treilea dă câtul, după amplificarea cu conjugatul numitorului, care nu poate fi $0$ . Ultimul rând, pentru $a \neq = 0$ , dă cele două soluții complexe ale ecuației $a z^{2} + b z + c = 0$ , conjugate între ele. Capcană: la $z^{2} - 22 z + 125 = 0$ , coeficientul $b$ este $- 22$ , deci în $- b$ ajungi la $+ 22$ . Control: un produs cu conjugatul care mai conține un $i$ este greșit.

Exemplu: Într-un uscător de cherestea, o bobină cu rezistența de 8 ohmi și reactanța de 7 ohmi are impedanța $Z_{1} = 8 + 7 i$ , iar un condensator cu pierderi, înseriat cu ea, cu 4 ohmi rezistență și 3 ohmi reactanță capacitivă, $Z_{2} = 4 - 3 i$ . Impedanța totală: $Z = Z_{1} + Z_{2} = (8 + 4) + (7 - 3) i = 12 + 4 i$ . Conjugatul este $\overset{ˉ}{Z} = 12 - 4 i$ , iar $Z \cdot \overset{ˉ}{Z} = 1 2^{2} + 4^{2} = 160$ . La $230$ V, curentul este $I = \frac{230}{12 + 4 i} = \frac{230 \cdot 12 - 230 \cdot 4 i}{1 2 ^{2} + 4 ^{2}} = \frac{2760 - 920 i}{160} = 17, 25 - 5, 75 i$ amperi. Verificare: $(17, 25 - 5, 75 i) (12 + 4 i) = (17, 25 \cdot 12 + 5, 75 \cdot 4) + (17, 25 \cdot 4 - 5, 75 \cdot 12) i = 230$ . Pentru două impedanțe conjugate cu suma $22$ și produsul $125$ : $z^{2} - 22 z + 125 = 0$ , $Δ = (- 22)^{2} - 4 \cdot 125 = - 16$ , iar $z_{1, 2} = \frac{22 \pm 4 i}{2} = 11 \pm 2 i$ .