Formule: Numere complexe

Mulțimea în care orice ecuație de gradul al doilea are soluții: formă algebrică, modul, conjugat și formula lui Moivre. 10 formule, clasa 10.

Forma algebrică a unui număr complex — clasa 10

z = a + bi, a, b \in R, i^{2} = - 1

$a = Re z$ este partea reală, $b = Im z$ este partea imaginară (un număr real, fără $i$ ), iar $i$ este unitatea imaginară, definită prin $i^{2} = - 1$ . Două numere complexe sunt egale exact când au aceeași parte reală și aceeași parte imaginară, deci o singură egalitate în $C$ înseamnă două egalități în $R$ . Numerele reale sunt și ele complexe: $7 = 7 + 0 i$ . Capcană: partea imaginară a lui $3 + 4 i$ este $4$ , nu $4 i$ .

Exemplu: Pentru $z = 3 + 4 i$ : $Re z = 3$ și $Im z = 4$ . • Din $x + y i = 5 - 2 i$ , cu $x, y$ reale, rezultă $x = 5$ și $y = - 2$ . • $- 5 i$ este pur imaginar, iar $- 9$ se scrie $3 i$ .

Adunarea și înmulțirea numerelor complexe — clasa 10

(a + bi) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i, (a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i

Adunarea se face separat, pe părțile reale și pe cele imaginare. Înmulțirea nu se învață pe de rost: desfaci parantezele ca la orice produs de binoame și înlocuiești $i^{2} = - 1$ . Toate proprietățile obișnuite rămân valabile — comutativitate, asociativitate, distributivitate, element neutru $1$ . De reținut: $(a + bi)^{2} = a^{2} - b^{2} + 2 abi$ și $(a + bi) (a - bi) = a^{2} + b^{2}$ , care este un număr real nenegativ. Capcană: din cauza lui $i^{2} = - 1$ , în partea reală a produsului apare o scădere.

Exemplu: $(2 + 3 i) + (1 - 5 i) = 3 - 2 i$ . • $(2 + 3 i) (1 - 5 i) = 2 - 10 i + 3 i - 15 i^{2} = 2 - 7 i + 15 = 17 - 7 i$ . • $(1 + i)^{2} = 1 + 2 i + i^{2} = 2 i$ .

Puterile unității imaginare — clasa 10

i^{4 k} = 1, i^{4 k + 1} = i, i^{4 k + 2} = - 1, i^{4 k + 3} = - i

Puterile lui $i$ se repetă din $4$ în $4$ . Ca să afli $i^{n}$ , împarți exponentul $n$ la $4$ și te uiți doar la rest: restul $0$ dă $1$ , restul $1$ dă $i$ , restul $2$ dă $- 1$ , restul $3$ dă $- i$ . Regula merge și la exponenți negativi, cu restul luat nenegativ. Consecință utilă: orice patru puteri consecutive ale lui $i$ au suma $0$ .

Exemplu: $2026 = 4 \cdot 506 + 2$ , deci $i^{2026} = - 1$ ; iar $i^{2027} = - i$ . • $i + i^{2} + i^{3} + i^{4} = i - 1 - i + 1 = 0$ . • $\frac{1}{i} = \frac{i ^{3}}{i ^{4}} = i^{3} = - i$ .

Conjugatul unui număr complex — clasa 10

\overset{z}{ˉ} = a - bi, z + \overset{z}{ˉ} = 2 a, z \cdot \overset{z}{ˉ} = a^{2} + b^{2}

Conjugatul păstrează partea reală și schimbă semnul părții imaginare; geometric, este simetricul lui $z$ față de axa reală. Produsul $z \overset{z}{ˉ} = a^{2} + b^{2}$ este întotdeauna un număr real nenegativ, nul doar pentru $z = 0$ — de aici pornește toată tehnica împărțirii. Conjugarea respectă operațiile: $\overline{z_{1} \pm z_{2}} = \overset{z_{1}}{ˉ} \pm \overset{z_{2}}{ˉ}$ , $\overline{z_{1} z_{2}} = \overset{z_{1}}{ˉ} \cdot \overset{z_{2}}{ˉ}$ , $\overline{z^{n}} = (\overset{z}{ˉ})^{n}$ . Criterii: $z \in R ⟺ z = \overset{z}{ˉ}$ , iar $z$ este pur imaginar sau nul $⟺ \overset{z}{ˉ} = - z$ .

Exemplu: Pentru $z = 3 + 4 i$ : $\overset{z}{ˉ} = 3 - 4 i$ , $z + \overset{z}{ˉ} = 6$ , iar $z \overset{z}{ˉ} = 9 + 16 = 25$ . • $\overline{(2 + i) (1 - 3 i)} = (2 - i) (1 + 3 i)$ . • $Re z = \frac{z + z ˉ}{2}$ și $Im z = \frac{z - z ˉ}{2 i}$ .

Modulul unui număr complex — clasa 10

∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}, ∣ z ∣^{2} = z \cdot \overset{z}{ˉ}

Modulul este distanța de la origine până la punctul care îl reprezintă pe $z$ în plan, deci un număr real nenegativ, nul doar pentru $z = 0$ . Proprietăți multiplicative, foarte utile la calcule lungi: $∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣ \cdot ∣ z_{2} ∣$ , $\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{∣ z _{1} ∣}{∣ z _{2} ∣}$ și $∣ z^{n} ∣ = ∣ z ∣^{n}$ . Simetrii: $∣ z ∣ = ∣ \overset{z}{ˉ} ∣ = ∣ - z ∣$ . Capcană: la adunare nu există egalitate, ci doar inegalitatea triunghiului, $∣ z_{1} + z_{2} ∣ \leq ∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣$ .

Exemplu: $∣3 + 4 i ∣ = 9 + 16 = 5$ . • $∣1 + i ∣ = 2$ , deci $(1 + i)^{8} = (2)^{8} = 16$ — și, într-adevăr, $(1 + i)^{8} = 16$ . • Egalitatea $∣ z - 2∣ = 3$ descrie cercul de centru $(2, 0)$ și rază $3$ .

Împărțirea numerelor complexe — clasa 10

\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{z _{1} \cdot z _{2} ˉ}{∣ z _{2} ∣ ^{2}} = \frac{( a + bi ) ( c - d i )}{c ^{2} + d ^{2}}, z_{2} \neq = 0

Împărțirea se face amplificând fracția cu conjugatul numitorului: numitorul devine $c^{2} + d^{2}$ , număr real strict pozitiv, iar apoi separi partea reală de cea imaginară. Caz particular: $\frac{1}{z} = \frac{z ˉ}{∣ z ∣ ^{2}}$ . Conjugatul câtului este câtul conjugatelor. Verificare obligatorie: câtul $q$ se controlează prin $q \cdot z_{2} = z_{1}$ — pasul care prinde greșelile de semn.

Exemplu: $\frac{3 + 4 i}{1 - i} = \frac{( 3 + 4 i ) ( 1 + i )}{1 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{3 + 3 i + 4 i - 4}{2} = \frac{- 1 + 7 i}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{7}{2} i$ ; proba: $(- \frac{1}{2} + \frac{7}{2} i) (1 - i) = 3 + 4 i$ . ✓ • $\frac{1 + i}{1 - i} = i$ și $\frac{1}{i} = - i$ .

Forma trigonometrică — clasa 10

z = r (cos φ + i sin φ), r = ∣ z ∣, cos φ = \frac{a}{r}, sin φ = \frac{b}{r}

$r = ∣ z ∣ > 0$ este modulul, iar $φ = ar g z \in [0, 2 π)$ este argumentul redus — unghiul făcut cu semiaxa pozitivă $O x$ , măsurat în sens trigonometric. Invers, $a = r cos φ$ și $b = r sin φ$ . Stabilește întâi cadranul, din semnele lui $a$ și $b$ , și abia apoi argumentul: este cel mai bun control al răspunsului. Capcană: numărul $0$ are modul $0$ , dar nu are argument, deci nu are formă trigonometrică.

Exemplu: $z = 1 + i$ : $r = 2$ , iar din $cos φ = sin φ = \frac{2}{2}$ (cadranul I) rezultă $φ = \frac{π}{4}$ , deci $z = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$ . • $z = - 1 + i 3$ : $r = 2$ , cadranul II, $φ = \frac{2 π}{3}$ .

Înmulțirea și împărțirea în formă trigonometrică — clasa 10

z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} [cos (φ_{1} + φ_{2}) + i sin (φ_{1} + φ_{2})], \frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} [cos (φ_{1} - φ_{2}) + i sin (φ_{1} - φ_{2})]

La înmulțire modulele se înmulțesc și argumentele se adună; la împărțire modulele se împart și argumentele se scad. Citirea geometrică este cea mai frumoasă: a înmulți cu $z_{2}$ înseamnă a roti cu unghiul $φ_{2}$ și a dilata de $r_{2}$ ori. Capcană: rezultatul trebuie readus la argument redus, adunând sau scăzând $2 π$ până când unghiul intră în $[0, 2 π)$ .

Exemplu: Pentru $z_{1} = 2 (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6})$ și $z_{2} = 3 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ : $z_{1} z_{2} = 6 (cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2}) = 6 i$ , iar $\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{2}{3} (cos \frac{11 π}{6} + i sin \frac{11 π}{6})$ , pentru că $\frac{π}{6} - \frac{π}{3} = - \frac{π}{6}$ , care redus dă $\frac{11 π}{6}$ .

Formula lui Moivre — clasa 10

z^{n} = r^{n} (cos n φ + i sin n φ), n \in Z

Modulul se ridică la putere, iar argumentul se înmulțește cu exponentul. Pentru $r = 1$ formula are forma clasică $(cos φ + i sin φ)^{n} = cos n φ + i sin n φ$ . Argumentul $n φ$ se reduce obligatoriu la $[0, 2 π)$ . Natura rezultatului se citește din unghi: $z^{n}$ este real când $n φ$ este multiplu de $π$ și pur imaginar când $n φ = \frac{π}{2} + k π$ . Capcană: exponenții negativi sunt permiși doar pentru $z \neq = 0$ .

Exemplu: $(1 + i)^{10}$ : modulul este $(2)^{10} = 32$ , iar argumentul $10 \cdot \frac{π}{4} = \frac{5 π}{2}$ , care redus dă $\frac{π}{2}$ ; deci $(1 + i)^{10} = 32 (cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2}) = 32 i$ . • Proba directă: $(1 + i)^{2} = 2 i$ , deci $(1 + i)^{10} = (2 i)^{5} = 32 i$ . ✓

Rădăcinile de ordinul n ale unui număr complex — clasa 10

w_{k} = n r (cos \frac{φ + 2 k π}{n} + i sin \frac{φ + 2 k π}{n}), k = 0, 1, \dots, n - 1

Un număr complex nenul $z = r (cos φ + i sin φ)$ are exact $n$ rădăcini de ordinul $n$ , adică $n$ numere $w$ cu $w^{n} = z$ . Toate au același modul, $n r$ , iar argumentele lor cresc din $\frac{2 π}{n}$ în $\frac{2 π}{n}$ ; imaginile lor sunt vârfurile unui poligon regulat cu $n$ laturi, înscris în cercul de centru $O$ și rază $n r$ , iar suma lor este $0$ pentru $n \geq 2$ . Capcană: notația $n z$ nu se folosește pentru numere complexe, tocmai fiindcă rezultatul nu este unic. Verificarea obligatorie: ridici fiecare rădăcină la puterea $n$ și trebuie să obții exact $z$ .

Exemplu: Rădăcinile de ordinul $3$ ale lui $8$ (aici $r = 8$ , $φ = 0$ ): $w_{k} = 2 (cos \frac{2 k π}{3} + i sin \frac{2 k π}{3})$ , adică $w_{0} = 2$ , $w_{1} = - 1 + i 3$ , $w_{2} = - 1 - i 3$ . Proba: $(- 1 + i 3)^{3} = 8$ , iar suma celor trei rădăcini este $0$ . ✓