Formule: Polinoame

Împărțirea cu rest, teorema restului, schema lui Horner, relațiile lui Viète și descompunerea în factori. 10 formule, clasa 10.

Forma algebrică și gradul unui polinom — clasa 10

f = a_{n} X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0}, a_{n} \neq = 0, grad f = n

$a_{n}, \dots, a_{0}$ sunt coeficienții, $a_{n}$ este coeficientul dominant, iar $a_{0}$ este termenul liber. Gradul este cel mai mare exponent cu coeficient nenul; polinomul nul nu are grad. Valoarea polinomului în $x$ se obține înlocuind $X$ cu $x$ și se notează $f (x)$ . Reguli de grad: $grad (f g) = grad f + grad g$ , iar $grad (f + g) \leq max (grad f, grad g)$ — la sumă gradul poate să scadă, dacă termenii dominanți se anulează. Capcană utilă: termenul liber este $f (0)$ , iar suma tuturor coeficienților este $f (1)$ .

Exemplu: $f = 2 X^{3} - 5 X^{2} + X - 3$ are gradul $3$ , coeficientul dominant $2$ și termenul liber $- 3$ . • $f (0) = - 3$ . • $f (1) = 2 - 5 + 1 - 3 = - 5$ , adică suma coeficienților.

Teorema împărțirii cu rest — clasa 10

f = g \cdot q + r, r = 0 sau grad r < grad g

Pentru orice polinoame $f$ (deîmpărțitul) și $g \neq = 0$ (împărțitorul) există și sunt unice câtul $q$ și restul $r$ cu proprietatea de mai sus. Condiția asupra restului este obligatorie: fără ea, scrierea $f = g q + r$ ar fi posibilă în infinit de multe feluri; cu ea, într-un singur fel. Grade: $grad q = grad f - grad g$ , iar restul are gradul cel mult $grad g - 1$ ; la un împărțitor de gradul întâi restul este mereu o constantă. Verificarea se face întotdeauna prin înmulțire înapoi: $g \cdot q + r$ trebuie să dea exact $f$ .

Exemplu: $X^{3} - 2 X^{2} + 3 X - 4$ împărțit la $X^{2} - 1$ dă câtul $X - 2$ și restul $4 X - 6$ . Proba: $(X^{2} - 1) (X - 2) + 4 X - 6 = X^{3} - 2 X^{2} - X + 2 + 4 X - 6 = X^{3} - 2 X^{2} + 3 X - 4$ . ✓

Teorema restului — clasa 10

f = (X - a) \cdot q + f (a) ⟹ r = f (a)

Restul împărțirii polinomului $f$ la $X - a$ este chiar valoarea $f (a)$ — o constantă, pentru că gradul restului trebuie să fie mai mic decât $1$ . Demonstrația încape într-un rând: înlocuiești $X = a$ în $f = (X - a) q + r$ , iar factorul $(X - a)$ se anulează. Atenție la semne: la $X + a$ restul este $f (- a)$ , iar la $a X + b$ este $f (- \frac{b}{a})$ ; rescrie mereu împărțitorul sub forma $X - (\dots)$ . Capcană: teorema dă doar restul, nu și câtul — pentru cât folosești algoritmul sau schema lui Horner.

Exemplu: Restul împărțirii lui $f = X^{3} - 2 X^{2} + 3 X - 4$ la $X - 2$ este $f (2) = 8 - 8 + 6 - 4 = 2$ . • Restul la $X + 1$ este $f (- 1) = - 1 - 2 - 3 - 4 = - 10$ . • La împărțitorul $(X - 1) (X - 2)$ restul se caută de forma $m X + n$ , din sistemul $f (1) = m + n$ , $f (2) = 2 m + n$ .

Teorema lui Bézout — clasa 10

(X - a) ∣ f ⟺ f (a) = 0

O rădăcină înseamnă un factor de gradul întâi, și invers: numărul $a$ este rădăcină a lui $f$ exact atunci când $X - a$ îl divide pe $f$ . Rezultă direct din teorema restului, pentru că restul $f (a)$ este zero exact când împărțirea este exactă. De aici, metoda de descompunere: cauți o rădăcină, cobori gradul cu schema lui Horner și repeți procedeul pe cât. Pentru rădăcini distincte $a \neq = b$ : $(X - a) (X - b) ∣ f ⟺ f (a) = f (b) = 0$ . Consecință: un polinom nenul de grad $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte.

Exemplu: Pentru $f = X^{3} - 2 X^{2} - 5 X + 6$ : $f (1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ , deci $X - 1$ îl divide pe $f$ . Câtul este $X^{2} - X - 6 = (X - 3) (X + 2)$ , așadar $f = (X - 1) (X - 3) (X + 2)$ , cu rădăcinile $1$ , $3$ și $- 2$ . ✓

Schema lui Horner — clasa 10

b_{n - 1} = a_{n}, b_{k - 1} = a_{k} + a \cdot b_{k}, r = a_{0} + a \cdot b_{0}

Este cea mai rapidă metodă de a împărți un polinom la $X - a$ . Practic: scrii coeficienții lui $f$ în ordinea descrescătoare a puterilor (cei care lipsesc se trec cu $0$ ), cobori primul coeficient, iar fiecare număr următor se obține astfel — coeficientul de deasupra plus $a$ înmulțit cu numărul din stânga. Numerele obținute, mai puțin ultimul, sunt coeficienții câtului $q = b_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + b_{0}$ ; ultimul este restul, adică $f (a)$ , deci schema este și cea mai rapidă metodă de a evalua un polinom. Capcană: funcționează numai pentru împărțitori de forma $X - a$ ; la $X + 2$ iei $a = - 2$ .

Exemplu: $f = X^{3} - 2 X^{2} - 5 X + 6$ împărțit la $X - 1$ , deci $a = 1$ : cobori $1$ ; apoi $- 2 + 1 \cdot 1 = - 1$ ; apoi $- 5 + 1 \cdot (- 1) = - 6$ ; apoi $6 + 1 \cdot (- 6) = 0$ . Câtul este $X^{2} - X - 6$ , iar restul $0$ , adică $f (1) = 0$ . • La $a = 3$ ultimul număr este tot $0$ , deci și $3$ este rădăcină.

Relațiile lui Viète pentru gradul al doilea — clasa 10

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

Pentru polinomul $a X^{2} + b X + c$ cu $a \neq = 0$ și rădăcinile $x_{1}$ , $x_{2}$ din $C$ , numărate cu multiplicități. Relațiile se obțin identificând coeficienții în descompunerea $a (X - x_{1}) (X - x_{2})$ . Ele funcționează și când $Δ < 0$ , adică atunci când rădăcinile sunt complexe conjugate — un motiv puternic pentru care merită să lucrezi în $C$ . Invers, două numere cu suma $S$ și produsul $P$ sunt rădăcinile ecuației $X^{2} - S X + P = 0$ . Formulă derivată, cerută des: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P$ .

Exemplu: Pentru $X^{2} - 5 X + 6$ : $S = 5$ și $P = 6$ , iar rădăcinile sunt $2$ și $3$ . • Pentru $X^{2} + 1$ : $S = 0$ și $P = 1$ , iar rădăcinile sunt $i$ și $- i$ ; într-adevăr, $i + (- i) = 0$ și $i \cdot (- i) = - i^{2} = 1$ . • Suma pătratelor la primul exemplu: $5^{2} - 2 \cdot 6 = 13 = 4 + 9$ . ✓

Relațiile lui Viète pentru gradul al treilea — clasa 10

S_{1} = x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}, S_{2} = x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{c}{a}, S_{3} = x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a}

Pentru polinomul $a X^{3} + b X^{2} + c X + d$ cu $a \neq = 0$ , cu rădăcinile numărate cu multiplicități (o rădăcină dublă intră de două ori în toate sumele). Semnele alternează — minus, plus, minus — iar la numitor stă mereu coeficientul dominant. Forma generală, pentru gradul $n$ , este $S_{k} = (- 1)^{k} \frac{a _{n - k}}{a _{n}}$ , iar $S_{k}$ are $C_{n}^{k}$ termeni. Formule derivate: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = S_{1}^{2} - 2 S_{2}$ și $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \frac{1}{x _{3}} = \frac{S _{2}}{S _{3}}$ , pentru $S_{3} \neq = 0$ . Capcană: pentru sume de puteri mai mari nu inventa formule, ci folosește faptul că fiecare rădăcină verifică ecuația.

Exemplu: Pentru $X^{3} - 6 X^{2} + 11 X - 6$ , cu rădăcinile $1$ , $2$ , $3$ : $S_{1} = 6$ , $S_{2} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3 = 11$ , $S_{3} = 6$ . ✓ • Suma pătratelor: $S_{1}^{2} - 2 S_{2} = 36 - 22 = 14 = 1 + 4 + 9$ . • Suma inverselor: $\frac{S _{2}}{S _{3}} = \frac{11}{6}$ .

Descompunerea în factori peste C — clasa 10

f = a_{n} (X - x_{1}) (X - x_{2}) \dots (X - x_{n})

Teorema fundamentală a algebrei spune că orice polinom de grad $n \geq 1$ cu coeficienți complecși are exact $n$ rădăcini în $C$ , numărate cu multiplicități; de aceea se descompune complet în factori de gradul întâi. Coeficientul dominant $a_{n}$ rămâne mereu în față și nu se uită. Peste $C$ , polinoamele ireductibile sunt exact cele de gradul întâi. Capcană: descompunerea depinde de mulțimea în care iei coeficienții — $X^{2} + 4$ este ireductibil peste $R$ , dar nu și peste $C$ .

Exemplu: $X^{3} - 6 X^{2} + 11 X - 6 = (X - 1) (X - 2) (X - 3)$ . • $X^{2} + 4 = (X - 2 i) (X + 2 i)$ , pentru că $2 i + (- 2 i) = 0$ și $2 i \cdot (- 2 i) = 4$ . • $2 X^{2} - 8 = 2 (X - 2) (X + 2)$ , cu coeficientul dominant $2$ păstrat în față.

Rădăcini complexe conjugate și factori ireductibili peste R — clasa 10

(X - a - bi) (X - a + bi) = X^{2} - 2 a X + a^{2} + b^{2}, Δ = - 4 b^{2} < 0

Dacă un polinom are toți coeficienții reali, atunci $f (\overset{z}{ˉ}) = \overline{f (z)}$ , deci rădăcinile nereale apar în perechi conjugate, cu același ordin de multiplicitate. O astfel de pereche $a \pm bi$ (cu $b \neq = 0$ ) dă un factor real de gradul al doilea, cel de mai sus, care are discriminantul negativ. Peste $R$ , factorii ireductibili au deci fie gradul $1$ , fie gradul $2$ cu $Δ < 0$ — nu există factori ireductibili de grad mai mare. Consecință: orice polinom cu coeficienți reali de grad impar are cel puțin o rădăcină reală. Capcană: regula cere coeficienți reali; la coeficienți complecși rădăcinile nu se mai grupează în perechi.

Exemplu: Dacă un polinom cu coeficienți reali are rădăcina $1 + 2 i$ , atunci are și rădăcina $1 - 2 i$ , iar produsul celor doi factori este $X^{2} - 2 X + 5$ , cu $Δ = 4 - 20 = - 16 < 0$ . • Un polinom real de gradul al treilea cu rădăcina $1 + 2 i$ are forma $a (X - x_{3}) (X^{2} - 2 X + 5)$ , cu $x_{3}$ real.

Rădăcinile raționale ale unei ecuații cu coeficienți întregi — clasa 10

x = \frac{p}{q} r \overset{a}{˘} d \overset{a}{˘} cin \overset{a}{˘} ⟹ p ∣ a_{0}, q ∣ a_{n}

Pentru un polinom cu coeficienți întregi, orice rădăcină rațională scrisă ca fracție ireductibilă $\frac{p}{q}$ are numărătorul $p$ divizor al termenului liber $a_{0}$ și numitorul $q$ divizor al coeficientului dominant $a_{n}$ . Caz particular foarte folosit: dacă $a_{n} = 1$ , rădăcinile raționale sunt întregi și divizori ai termenului liber. Teorema nu garantează că există rădăcini raționale; ea îți dă doar lista scurtă a candidaților, pe care îi încerci apoi cu schema lui Horner. Capcană: fracția trebuie să fie ireductibilă, iar lista candidaților cuprinde și valorile negative.

Exemplu: Pentru $X^{3} - 2 X^{2} - 5 X + 6$ candidații sunt divizorii lui $6$ : $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ , $\pm 6$ ; se verifică $x = 1$ , apoi $3$ și $- 2$ . • Pentru $2 X^{2} - 3 X + 1$ candidații sunt $\pm 1$ și $\pm \frac{1}{2}$ , iar rădăcinile sunt $1$ și $\frac{1}{2}$ .