Formule: Polinoame

Împărțirea cu rest, teorema restului, schema lui Horner, relațiile lui Viète și descompunerea în factori. 15 formule, clasele 9–12.

La liceu: ești la mate-info, la științe ale naturii sau la un liceu tehnologic? Alege profilul și listele de liceu îl arată doar pe al tău.Profilul tău la liceu (listele de liceu arată doar ce e pentru el):

Formulele tale M2 sunt primele, imediat mai jos: Pentru științe ale naturii (M2) ↓

Formulele tale de la tehnologic sunt primele, imediat mai jos: Pentru filiera tehnologică (M3) ↓

Forma algebrică și gradul unui polinom — clasa 10
Teorema împărțirii cu rest — clasa 10
Teorema restului — clasa 10
Teorema lui Bézout — clasa 10
Schema lui Horner — clasa 10
Relațiile lui Viète pentru gradul al doilea — clasa 10
Relațiile lui Viète pentru gradul al treilea — clasa 10
Descompunerea în factori peste C — clasa 10
Rădăcini complexe conjugate și factori ireductibili peste R — clasa 10
Rădăcinile raționale ale unei ecuații cu coeficienți întregi — clasa 10

Forma algebrică și gradul unui polinom — clasa 10

f = a_{n} X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0}, a_{n} \neq = 0, grad f = n

$a_{n}, \dots, a_{0}$ sunt coeficienții, $a_{n}$ este coeficientul dominant, iar $a_{0}$ este termenul liber. Gradul este cel mai mare exponent cu coeficient nenul; polinomul nul nu are grad. Valoarea polinomului în $x$ se obține înlocuind $X$ cu $x$ și se notează $f (x)$ . Reguli de grad: $grad (f g) = grad f + grad g$ , iar $grad (f + g) \leq max (grad f, grad g)$ — la sumă gradul poate să scadă, dacă termenii dominanți se anulează. Capcană utilă: termenul liber este $f (0)$ , iar suma tuturor coeficienților este $f (1)$ .

Exemplu: $f = 2 X^{3} - 5 X^{2} + X - 3$ are gradul $3$ , coeficientul dominant $2$ și termenul liber $- 3$ . • $f (0) = - 3$ . • $f (1) = 2 - 5 + 1 - 3 = - 5$ , adică suma coeficienților.

Teorema împărțirii cu rest — clasa 10

f = g \cdot q + r, r = 0 sau grad r < grad g

Pentru orice polinoame $f$ (deîmpărțitul) și $g \neq = 0$ (împărțitorul) există și sunt unice câtul $q$ și restul $r$ cu proprietatea de mai sus. Condiția asupra restului este obligatorie: fără ea, scrierea $f = g q + r$ ar fi posibilă în infinit de multe feluri; cu ea, într-un singur fel. Grade: $grad q = grad f - grad g$ , iar restul are gradul cel mult $grad g - 1$ ; la un împărțitor de gradul întâi restul este mereu o constantă. Verificarea se face întotdeauna prin înmulțire înapoi: $g \cdot q + r$ trebuie să dea exact $f$ .

Exemplu: $X^{3} - 2 X^{2} + 3 X - 4$ împărțit la $X^{2} - 1$ dă câtul $X - 2$ și restul $4 X - 6$ . Proba: $(X^{2} - 1) (X - 2) + 4 X - 6 = X^{3} - 2 X^{2} - X + 2 + 4 X - 6 = X^{3} - 2 X^{2} + 3 X - 4$ . ✓

Teorema restului — clasa 10

f = (X - a) \cdot q + f (a) ⟹ r = f (a)

Restul împărțirii polinomului $f$ la $X - a$ este chiar valoarea $f (a)$ — o constantă, pentru că gradul restului trebuie să fie mai mic decât $1$ . Demonstrația încape într-un rând: înlocuiești $X = a$ în $f = (X - a) q + r$ , iar factorul $(X - a)$ se anulează. Atenție la semne: la $X + a$ restul este $f (- a)$ , iar la $a X + b$ este $f (- \frac{b}{a})$ ; rescrie mereu împărțitorul sub forma $X - (\dots)$ . Capcană: teorema dă doar restul, nu și câtul — pentru cât folosești algoritmul sau schema lui Horner.

Exemplu: Restul împărțirii lui $f = X^{3} - 2 X^{2} + 3 X - 4$ la $X - 2$ este $f (2) = 8 - 8 + 6 - 4 = 2$ . • Restul la $X + 1$ este $f (- 1) = - 1 - 2 - 3 - 4 = - 10$ . • La împărțitorul $(X - 1) (X - 2)$ restul se caută de forma $m X + n$ , din sistemul $f (1) = m + n$ , $f (2) = 2 m + n$ .

Teorema lui Bézout — clasa 10

(X - a) ∣ f ⟺ f (a) = 0

O rădăcină înseamnă un factor de gradul întâi, și invers: numărul $a$ este rădăcină a lui $f$ exact atunci când $X - a$ îl divide pe $f$ . Rezultă direct din teorema restului, pentru că restul $f (a)$ este zero exact când împărțirea este exactă. De aici, metoda de descompunere: cauți o rădăcină, cobori gradul cu schema lui Horner și repeți procedeul pe cât. Pentru rădăcini distincte $a \neq = b$ : $(X - a) (X - b) ∣ f ⟺ f (a) = f (b) = 0$ . Consecință: un polinom nenul de grad $n$ are cel mult $n$ rădăcini distincte.

Exemplu: Pentru $f = X^{3} - 2 X^{2} - 5 X + 6$ : $f (1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ , deci $X - 1$ îl divide pe $f$ . Câtul este $X^{2} - X - 6 = (X - 3) (X + 2)$ , așadar $f = (X - 1) (X - 3) (X + 2)$ , cu rădăcinile $1$ , $3$ și $- 2$ . ✓

Schema lui Horner — clasa 10

b_{n - 1} = a_{n}, b_{k - 1} = a_{k} + a \cdot b_{k}, r = a_{0} + a \cdot b_{0}

Este cea mai rapidă metodă de a împărți un polinom la $X - a$ . Practic: scrii coeficienții lui $f$ în ordinea descrescătoare a puterilor (cei care lipsesc se trec cu $0$ ), cobori primul coeficient, iar fiecare număr următor se obține astfel — coeficientul de deasupra plus $a$ înmulțit cu numărul din stânga. Numerele obținute, mai puțin ultimul, sunt coeficienții câtului $q = b_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + b_{0}$ ; ultimul este restul, adică $f (a)$ , deci schema este și cea mai rapidă metodă de a evalua un polinom. Capcană: funcționează numai pentru împărțitori de forma $X - a$ ; la $X + 2$ iei $a = - 2$ .

Exemplu: $f = X^{3} - 2 X^{2} - 5 X + 6$ împărțit la $X - 1$ , deci $a = 1$ : cobori $1$ ; apoi $- 2 + 1 \cdot 1 = - 1$ ; apoi $- 5 + 1 \cdot (- 1) = - 6$ ; apoi $6 + 1 \cdot (- 6) = 0$ . Câtul este $X^{2} - X - 6$ , iar restul $0$ , adică $f (1) = 0$ . • La $a = 3$ ultimul număr este tot $0$ , deci și $3$ este rădăcină.

Relațiile lui Viète pentru gradul al doilea — clasa 10

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

Pentru polinomul $a X^{2} + b X + c$ cu $a \neq = 0$ și rădăcinile $x_{1}$ , $x_{2}$ din $C$ , numărate cu multiplicități. Relațiile se obțin identificând coeficienții în descompunerea $a (X - x_{1}) (X - x_{2})$ . Ele funcționează și când $Δ < 0$ , adică atunci când rădăcinile sunt complexe conjugate — un motiv puternic pentru care merită să lucrezi în $C$ . Invers, două numere cu suma $S$ și produsul $P$ sunt rădăcinile ecuației $X^{2} - S X + P = 0$ . Formulă derivată, cerută des: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P$ .

Exemplu: Pentru $X^{2} - 5 X + 6$ : $S = 5$ și $P = 6$ , iar rădăcinile sunt $2$ și $3$ . • Pentru $X^{2} + 1$ : $S = 0$ și $P = 1$ , iar rădăcinile sunt $i$ și $- i$ ; într-adevăr, $i + (- i) = 0$ și $i \cdot (- i) = - i^{2} = 1$ . • Suma pătratelor la primul exemplu: $5^{2} - 2 \cdot 6 = 13 = 4 + 9$ . ✓

Relațiile lui Viète pentru gradul al treilea — clasa 10

S_{1} = x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}, S_{2} = x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{c}{a}, S_{3} = x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a}

Pentru polinomul $a X^{3} + b X^{2} + c X + d$ cu $a \neq = 0$ , cu rădăcinile numărate cu multiplicități (o rădăcină dublă intră de două ori în toate sumele). Semnele alternează — minus, plus, minus — iar la numitor stă mereu coeficientul dominant. Forma generală, pentru gradul $n$ , este $S_{k} = (- 1)^{k} \frac{a _{n - k}}{a _{n}}$ , iar $S_{k}$ are $C_{n}^{k}$ termeni. Formule derivate: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = S_{1}^{2} - 2 S_{2}$ și $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \frac{1}{x _{3}} = \frac{S _{2}}{S _{3}}$ , pentru $S_{3} \neq = 0$ . Capcană: pentru sume de puteri mai mari nu inventa formule, ci folosește faptul că fiecare rădăcină verifică ecuația.

Exemplu: Pentru $X^{3} - 6 X^{2} + 11 X - 6$ , cu rădăcinile $1$ , $2$ , $3$ : $S_{1} = 6$ , $S_{2} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3 = 11$ , $S_{3} = 6$ . ✓ • Suma pătratelor: $S_{1}^{2} - 2 S_{2} = 36 - 22 = 14 = 1 + 4 + 9$ . • Suma inverselor: $\frac{S _{2}}{S _{3}} = \frac{11}{6}$ .

Descompunerea în factori peste C — clasa 10

f = a_{n} (X - x_{1}) (X - x_{2}) \dots (X - x_{n})

Teorema fundamentală a algebrei spune că orice polinom de grad $n \geq 1$ cu coeficienți complecși are exact $n$ rădăcini în $C$ , numărate cu multiplicități; de aceea se descompune complet în factori de gradul întâi. Coeficientul dominant $a_{n}$ rămâne mereu în față și nu se uită. Peste $C$ , polinoamele ireductibile sunt exact cele de gradul întâi. Capcană: descompunerea depinde de mulțimea în care iei coeficienții — $X^{2} + 4$ este ireductibil peste $R$ , dar nu și peste $C$ .

Exemplu: $X^{3} - 6 X^{2} + 11 X - 6 = (X - 1) (X - 2) (X - 3)$ . • $X^{2} + 4 = (X - 2 i) (X + 2 i)$ , pentru că $2 i + (- 2 i) = 0$ și $2 i \cdot (- 2 i) = 4$ . • $2 X^{2} - 8 = 2 (X - 2) (X + 2)$ , cu coeficientul dominant $2$ păstrat în față.

Rădăcini complexe conjugate și factori ireductibili peste R — clasa 10

(X - a - bi) (X - a + bi) = X^{2} - 2 a X + a^{2} + b^{2}, Δ = - 4 b^{2} < 0

Dacă un polinom are toți coeficienții reali, atunci $f (\overset{z}{ˉ}) = \overline{f (z)}$ , deci rădăcinile nereale apar în perechi conjugate, cu același ordin de multiplicitate. O astfel de pereche $a \pm bi$ (cu $b \neq = 0$ ) dă un factor real de gradul al doilea, cel de mai sus, care are discriminantul negativ. Peste $R$ , factorii ireductibili au deci fie gradul $1$ , fie gradul $2$ cu $Δ < 0$ — nu există factori ireductibili de grad mai mare. Consecință: orice polinom cu coeficienți reali de grad impar are cel puțin o rădăcină reală. Capcană: regula cere coeficienți reali; la coeficienți complecși rădăcinile nu se mai grupează în perechi.

Exemplu: Dacă un polinom cu coeficienți reali are rădăcina $1 + 2 i$ , atunci are și rădăcina $1 - 2 i$ , iar produsul celor doi factori este $X^{2} - 2 X + 5$ , cu $Δ = 4 - 20 = - 16 < 0$ . • Un polinom real de gradul al treilea cu rădăcina $1 + 2 i$ are forma $a (X - x_{3}) (X^{2} - 2 X + 5)$ , cu $x_{3}$ real.

Rădăcinile raționale ale unei ecuații cu coeficienți întregi — clasa 10

x = \frac{p}{q} r \overset{a}{˘} d \overset{a}{˘} cin \overset{a}{˘} ⟹ p ∣ a_{0}, q ∣ a_{n}

Pentru un polinom cu coeficienți întregi, orice rădăcină rațională scrisă ca fracție ireductibilă $\frac{p}{q}$ are numărătorul $p$ divizor al termenului liber $a_{0}$ și numitorul $q$ divizor al coeficientului dominant $a_{n}$ . Caz particular foarte folosit: dacă $a_{n} = 1$ , rădăcinile raționale sunt întregi și divizori ai termenului liber. Teorema nu garantează că există rădăcini raționale; ea îți dă doar lista scurtă a candidaților, pe care îi încerci apoi cu schema lui Horner. Capcană: fracția trebuie să fie ireductibilă, iar lista candidaților cuprinde și valorile negative.

Exemplu: Pentru $X^{3} - 2 X^{2} - 5 X + 6$ candidații sunt divizorii lui $6$ : $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm 3$ , $\pm 6$ ; se verifică $x = 1$ , apoi $3$ și $- 2$ . • Pentru $2 X^{2} - 3 X + 1$ candidații sunt $\pm 1$ și $\pm \frac{1}{2}$ , iar rădăcinile sunt $1$ și $\frac{1}{2}$ .

Pentru științe ale naturii (M2)

Cele 3 formule de mai jos sunt folosite de elevii de la profilul științe ale naturii (programa M2), în clasele a IX-a și a XII-a; lecțiile lor sunt pe traseul M2 al clasei a IX-a și pe traseul M2 al clasei a XII-a.

Gradul sumei și al produsului a două polinoame M2 — clasa 9
Relațiile lui Viète pentru gradul al treilea și al patrulea M2 — clasa 12
Ecuația reciprocă de gradul al patrulea M2 — clasa 12

Gradul sumei și al produsului a două polinoame M2 — clasa 9

grad (f \cdot g) = grad f + grad g grad (f + g) \leq max (grad f, grad g)

La produs gradul este exact suma gradelor (polinoamele fiind nenule), pentru că produsul coeficienților dominanți nu se poate anula. La sumă gradul poate scădea strict, dar numai când gradele sunt egale și coeficienții dominanți se anulează unul pe altul.

Exemplu: $(X^{3} + X) + (- X^{3} + 1) = X + 1$ , deci gradul a scăzut de la $3$ la $1$ ; în schimb $(2 X^{3} - 1) (3 X^{2} + X)$ are gradul $5$ și coeficientul dominant $6$ .

Relațiile lui Viète pentru gradul al treilea și al patrulea M2 — clasa 12

n = 3 : S_{1} = - \frac{b}{a}, S_{2} = \frac{c}{a}, S_{3} = - \frac{d}{a} n = 4 : S_{1} = - \frac{b}{a}, S_{2} = \frac{c}{a}, n = 4 : S_{3} = - \frac{d}{a}, S_{4} = \frac{e}{a}

$S_{k}$ este suma tuturor produselor de câte $k$ rădăcini, iar semnele alternează din treaptă în treaptă. Coeficientul dominant împarte fiecare egalitate, nu numai pe prima — cine împarte o singură dată obține valori duble față de adevăr. Puterile care lipsesc din scriere au coeficientul $0$ și se trec explicit. Orice expresie care nu se schimbă la permutarea rădăcinilor se scrie prin aceste sume, de pildă $x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2} = S_{1}^{2} - 2 S_{2}$ , iar suma inverselor este $\frac{S _{n - 1}}{S _{n}}$ , cu $S_{n} \neq = 0$ .

Exemplu: Pentru $2 x^{3} - 4 x^{2} + 6 x - 8 = 0$ : $S_{1} = 2$ , $S_{2} = 3$ , $S_{3} = 4$ , deci $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 4 - 6 = - 2$ — semn că rădăcinile nu sunt toate reale.

Ecuația reciprocă de gradul al patrulea M2 — clasa 12

a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + b x + a = 0 : x^{2} y = x + \frac{1}{x} x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = y^{2} - 2 \Rightarrow a y^{2} + b y + (c - 2 a) = 0

Lista coeficienților se citește la fel în ambele sensuri, cu zerouri puse la termenii care lipsesc; de aici două urmări: termenul liber nu este nul, deci $0$ nu poate fi soluție — ceea ce face legitimă împărțirea cu $x^{2}$ —, iar soluțiile se grupează câte două, fiecare cu inversul ei. Fiecare valoare a lui $y$ se duce apoi în $x^{2} - y x + 1 = 0$ , cu discriminantul $y^{2} - 4$ : peste $2$ în valoare absolută ies soluții reale, sub $2$ ies nereale. La gradul al treilea nu e nevoie de substituție, fiindcă $- 1$ este rădăcină.

Exemplu: $x^{4} - 5 x^{3} + 8 x^{2} - 5 x + 1 = 0$ dă $y^{2} - 5 y + 6 = 0$ , deci $y \in {2, 3}$ ; din $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ iese $x = 1$ (dublă), iar din $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ ies $x = \frac{3 \pm 5}{2}$ .

Pentru filiera tehnologică (M3)

Cele 2 formule de mai jos sunt scrise pentru elevii de la liceele tehnologice (programa M_tehnologic, Bacalaureatul M3), în clasa a XII-a; lecțiile lor sunt pe traseul tehnologic al clasei a XII-a.

Schema lui Horner și Bézout M3 — clasa 12
Relațiile lui Viète de gradul 3 M3 — clasa 12

Schema lui Horner și Bézout — clasa 12

f = g \cdot q + r, grad r < grad g f = (X - a) q + f (a), b_{0} = a_{n}, b_{k} = a_{n - k} + a b_{k - 1} (X - a) ∣ f ⟺ f (a) = 0

$f$ e polinomul de împărțit, $g$ împărțitorul, $q$ câtul, $r$ restul, iar $a_{n}, \dots, a_{0}$ sunt coeficienții lui $f$ , începând cu $a_{n}$ . Primul rând merge la orice împărțitor nenul. Al doilea cere $g = X - a$ : restul devine numărul $f (a)$ , iar $b_{k}$ sunt numerele din rândul de jos al tabelului. Al treilea spune că împărțirea la $X - a$ e exactă tocmai când $f (a) = 0$ . Capcană: dacă $f (a) \neq = 0$ , $X - a$ nu divide $f$ , dar polinomul $f - f (a)$ se împarte exact la $X - a$ . Control: câtul înmulțit cu $X - a$ , plus restul, desface înapoi în $f$ .

Exemplu: Fișa unei lăzi de tâmplărie dă volumul $V (x) = 3 x^{3} - 13 x^{2} + m x + 40$ dm³, pentru înălțimea $x - 4$ dm; numărul $m$ s-a șters. Înălțimea împarte volumul, deci Bézout cere $V (4) = 0$ : $192 - 208 + 4 m + 40 = 0$ , adică $m = - 6$ . Horner cu $a = 4$ pe $3, - 13, - 6, 40$ dă $3$ , apoi $- 13 + 12 = - 1$ , apoi $- 6 - 4 = - 10$ , apoi $40 - 40 = 0$ : câtul $3 x^{2} - x - 10$ e aria bazei, în dm². Împărțit la $x^{2} - 4$ , $V$ dă câtul $3 x - 13$ și restul $6 x - 12$ , de grad 1, mai mic decât 2; restul se anulează la $x = 2$ , deci $x - 2$ divide și el volumul.

Relațiile lui Viète de gradul 3 — clasa 12

x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a} x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = \frac{c}{a} x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a}

Polinomul de gradul 3 are coeficienții $a \neq = 0$ , $b$ , $c$ și $d$ , în ordinea puterilor lui $X$ , începând cu cea mai mare, iar $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ sunt rădăcinile lui, reale sau nu. Rândurile dau suma rădăcinilor, suma produselor lor câte două și produsul lor, fără să le afli pe fiecare. Notează cu $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ membrii stângi, în ordine: suma pătratelor este $S_{1}^{2} - 2 S_{2}$ , iar suma inverselor $\frac{S _{2}}{S _{3}}$ , cu $S_{3} \neq = 0$ . Capcană: când un termen lipsește, coeficientul lui e 0; la $2 X^{3} - 9 X + 5$ ai $b = 0$ , deci suma rădăcinilor este 0. Control: cu rădăcinile găsite, cele trei rânduri trebuie să dea înapoi $- \frac{b}{a}$ , $\frac{c}{a}$ și $- \frac{d}{a}$ .

Exemplu: Un camion parcurge trei tronsoane de câte 60 km, cu vitezele $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , în zeci de km/h, rădăcinile ecuației $3 x^{3} - 39 x^{2} + 162 x - 216 = 0$ . Atunci $S_{1} = - \frac{- 39}{3} = 13$ , $S_{2} = \frac{162}{3} = 54$ și $S_{3} = - \frac{- 216}{3} = 72$ . Timpul total, în ore, este $6 (\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \frac{1}{x _{3}}) = 6 \cdot \frac{S _{2}}{S _{3}} = 6 \cdot \frac{54}{72} = 4, 5$ , deci viteza medie este $\frac{180}{4 , 5} = 40$ km/h, nu media vitezelor, $\frac{S _{1}}{3} \cdot 10 \approx 43, 3$ km/h. Control cu rădăcinile $3$ , $4$ și $6$ : $3 + 4 + 6 = 13$ , $12 + 18 + 24 = 54$ , $3 \cdot 4 \cdot 6 = 72$ , iar timpii sunt $2 + 1, 5 + 1 = 4, 5$ h.