Formule: Primitive și integrala nedefinită

Definiția primitivei, tabelul canonic pe trei tablouri, integrarea prin părți, schimbarea de variabilă și fracțiile simple. 14 formule, clasa 12.

Definiția primitivei — clasa 12

F^{'} (x) = f (x) (\forall) x \in I; F_{1} - F_{2} = constant \overset{a}{˘} pe I

$F$ este primitivă a lui $f$ pe intervalul $I$ dacă $F$ e derivabilă pe $I$ și derivata ei este chiar $f$ . ⚠️ Se lucrează pe interval, nu pe o reuniune de intervale: afirmația „două primitive diferă printr-o constantă” (Consecința 1 a teoremei lui Lagrange) este falsă pe $R^{*}$ , unde constantele pot fi diferite pe cele două ramuri. Formularea corectă este „ $f$ admite primitive pe $I$ ”, nu „ $f$ e primitivabilă”. Verificarea unei primitive se face prin derivare, într-o singură linie.

Exemplu: $F (x) = \frac{x ^{3}}{3} + 7$ este o primitivă a lui $f (x) = x^{2}$ pe $R$ , fiindcă $F^{'} (x) = x^{2}$ ✓. • $F (x) = ln ∣ x ∣$ este primitivă a lui $\frac{1}{x}$ pe $(0, + \infty)$ și pe $(- \infty, 0)$ , separat.

Integrala nedefinită și liniaritatea — clasa 12

\int f (x) d x = F (x) + C; \int (α f + β g) = α \int f + β \int g

$C$ este mulțimea funcțiilor constante pe intervalul $I$ , deci $F (x) + C$ înseamnă ${F + c ∣ c \in R}$ — integrala nedefinită nu e o funcție, ci o familie de funcții. Se scrie $C$ , nu $C$ și nu „const”. Liniaritatea se demonstrează prin derivare și cere $α \neq = 0$ la omogenitate (altfel mulțimile din cei doi membri nu coincid). ⚠️ Nu există regulă pentru produs sau cât: $\int f g \neq = \int f \cdot \int g$ .

Exemplu: $\int (3 x^{2} - 2 sin x) d x = x^{3} + 2 cos x + C$ ; verificare prin derivare: $(x^{3} + 2 cos x)^{'} = 3 x^{2} - 2 sin x$ ✓.

Tabelul primitivelor (rândurile 1–5): puteri, exponențiale — clasa 12

f (x) x^{n}, n \in N x^{r}, r \neq = - 1 \frac{1}{x} a^{x}, a \neq = 1 e^{x} \int f (x) d x \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C \frac{x ^{r + 1}}{r + 1} + C ln ∣ x ∣ + C \frac{a ^{x}}{ln a} + C e^{x} + C

Intervalele, în ordinea rândurilor: $R$ ; $(0, + \infty)$ pentru exponent real neîntreg; $(- \infty, 0)$ sau $(0, + \infty)$ pentru $\frac{1}{x}$ ; $R$ pentru ultimele două ( $a > 0$ ). Rândurile 1 și 2 nu se contopesc, exact ca în tabelul derivatelor: domeniile diferă. ⚠️ Rândul 3 se scrie obligatoriu cu modul, iar cazul $r = - 1$ este exclus din rândul 2 tocmai pentru că acolo rezultatul e logaritmul. Tabelul este tabelul derivatelor citit de la dreapta la stânga: fiecare rând se verifică prin derivare.

Exemplu: $\int x^{5} d x = \frac{x ^{6}}{6} + C$ ; $\int \frac{d x}{x} = \int x^{- 1/2} d x = 2 x + C$ pe $(0, + \infty)$ ; $\int 2^{x} d x = \frac{2 ^{x}}{ln 2} + C$ .

Tabelul primitivelor (rândurile 6–10): trigonometrice și radical — clasa 12

f (x) sin x cos x \frac{1}{cos ^{2} x} \frac{1}{sin ^{2} x} \frac{1}{x} \int f (x) d x - cos x + C sin x + C tg x + C - ctg x + C 2 x + C

Intervalele: $R$ pentru primele două; pentru $\frac{1}{cos ^{2} x}$ orice interval inclus în $R ∖ {\frac{π}{2} + k π}$ ; pentru $\frac{1}{sin ^{2} x}$ orice interval inclus în $R ∖ {k π}$ ; $(0, + \infty)$ pentru ultimul. ⚠️ Semnele sunt inversate față de derivate și se greșesc des: sinusul dă minus cosinus, iar $\frac{1}{sin ^{2} x}$ dă minus cotangentă. Notațiile românești sunt $tg$ și $ctg$ .

Exemplu: $\int (cos x - sin x) d x = sin x + cos x + C$ ; verificare: $(sin x + cos x)^{'} = cos x - sin x$ ✓.

Tabelul primitivelor (rândurile 11–16): fracții și radicali — clasa 12

f (x) \frac{1}{x ^{2} - a ^{2}} \frac{1}{x ^{2} + a ^{2}} \frac{1}{x ^{2} + a ^{2}} \frac{1}{x ^{2} - a ^{2}} \frac{1}{a ^{2} - x ^{2}} tg x \int f (x) d x \frac{1}{2 a} ln \frac{x - a}{x + a} + C \frac{1}{a} arctg \frac{x}{a} + C ln (x + x^{2} + a^{2}) + C ln x + x^{2} - a^{2} + C arcsin \frac{x}{a} + C - ln ∣ cos x ∣ + C

$a > 0$ . Intervalele: pentru primul rând, orice interval inclus în $R ∖ {\pm a}$ ; $R$ pentru al doilea și al treilea; $(- \infty, - a)$ sau $(a, + \infty)$ pentru al patrulea; $(- a, a)$ pentru $arcsin$ ; intervale fără poli pentru ultimul, unde perechea este $\int ctg x d x = ln ∣ sin x ∣ + C$ . Cum alegi rândul: te uiți la numitor și la semnul dinaintea lui $x^{2}$ — fără radical și cu minus, rândul 11; fără radical și cu plus, rândul 12; cu radical și $x^{2}$ pozitiv, rândurile 13 sau 14; cu radical și $x^{2}$ negativ, rândul 15. ⚠️ La rândul 13 modulul nu se pune: $x + x^{2} + a^{2} > 0$ pentru orice $x$ real.

Exemplu: $\int \frac{d x}{x ^{2} + 13} = \frac{1}{13} arctg \frac{x}{13} + C$ ; $\int \frac{d x}{11 - x ^{2}} = arcsin \frac{x}{11} + C$ pe $(- 11, 11)$ .

Existența primitivelor. Teorema lui Darboux — clasa 12

f continu \overset{a}{˘} pe intervalul I \Rightarrow f admite primitive pe I

Implicația nu se poate întoarce: există funcții discontinue care admit primitive (de pildă derivata unei funcții derivabile cu derivata discontinuă). Instrumentul cu care se arată că o funcție nu admite primitive este teorema lui Darboux: orice funcție care admite primitive are proprietatea lui Darboux, deci duce intervale în intervale. Consecințele practice, folosite la examen: o funcție cu o discontinuitate de speța I (limite laterale finite și diferite) nu admite primitive; nici una a cărei imagine nu e interval.

Exemplu: $f (x) = {1, 2, x \leq 0 x > 0$ nu admite primitive pe $R$ : are salt în $0$ , iar imaginea ${1, 2}$ nu e interval.

Integrarea prin părți — clasa 12

\int f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x) - \int f^{'} (x) g (x) d x

Se deduce din $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ , integrând ambii membri; $f$ și $g$ se cer derivabile cu derivata continuă. Regula descreșterii, pentru alegerea factorilor: se derivează ce se simplifică prin derivare ( $ln x$ , $arctg x$ , $arcsin x$ , polinoamele) și se integrează ce nu se complică ( $e^{x}$ , $sin x$ , $cos x$ , puterile). Notația este cu $f$ și $g$ , nu cu $u$ și $d v$ . Pentru $x^{n} e^{x}$ sau $x^{n} sin x$ formula se aplică de $n$ ori, coborând gradul cu o unitate de fiecare dată.

Exemplu: $\int x e^{x} d x$ : cu $f = x$ și $g^{'} = e^{x}$ obținem $x e^{x} - \int e^{x} d x = (x - 1) e^{x} + C$ . • $\int ln x d x = x ln x - x + C$ (se ia $g^{'} = 1$ ).

Schimbarea de variabilă — clasa 12

\int f (u (x)) u^{'} (x) d x = F (u (x)) + C

Se deduce din regula de derivare a funcțiilor compuse, $(F \circ u)^{'} = (F^{'} \circ u) u^{'}$ . Semnalul care o cere: în integrand apare o funcție compusă și, alături, derivata funcției interioare (măcar până la un factor constant). Notația de lucru „ $t = u (x)$ , $d t = u^{'} (x) d x$ ” e permisă, cu revenirea obligatorie la $x$ la final — aceasta e deosebirea față de integrala definită, unde se schimbă limitele și nu se mai revine.

Exemplu: $\int 2 x e^{x^{2}} d x$ : cu $u = x^{2}$ obținem $e^{x^{2}} + C$ . • $\int sin^{3} x cos x d x$ : cu $u = sin x$ obținem $\frac{sin ^{4} x}{4} + C$ .

Primitiva raportului dintre derivată și funcție — clasa 12

\int \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )} d x = ln ∣ u (x)∣ + C

Cazul particular cel mai des întâlnit al schimbării de variabilă: la numărător stă exact derivata numitorului. Condiția este $u \neq = 0$ pe intervalul de lucru. Când numărătorul e derivata numitorului înmulțită cu o constantă, se scoate constanta în față. Semnalul de recunoaștere: gradul numărătorului e cu exact unu mai mic decât al numitorului, iar o simplă amplificare potrivește coeficienții — dacă nu se potrivesc, integrala nu e de acest tip și se trece la fracții simple.

Exemplu: $\int \frac{x}{x ^{2} + 9} d x = \frac{1}{2} \int \frac{2 x}{x ^{2} + 9} d x = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 9) + C$ (modulul lipsește: numitorul e mereu pozitiv).

Scurtătura pentru argument de gradul întâi — clasa 12

\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + C, a \neq = 0

Este cea mai rentabilă formulă a capitolului: orice rând din tabel se transformă automat într-un rând pentru argumentul $a x + b$ , cu prețul factorului $\frac{1}{a}$ . Se obține din schimbarea de variabilă cu $u = a x + b$ , $u^{'} = a$ . ⚠️ Se aplică numai pentru argument de gradul întâi; pentru $f (x^{2})$ sau $f (x)$ nu există o asemenea scurtătură, fiindcă derivata interiorului nu e constantă.

Exemplu: $\int e^{3 x} d x = \frac{e ^{3 x}}{3} + C$ ; $\int cos (5 x) d x = \frac{sin ( 5 x )}{5} + C$ ; $\int 2 x + 3 d x = \frac{1}{3} (2 x + 3)^{3} + C$ .

Substituțiile tipice — tabelul semnalelor — clasa 12

semnalul din integrand expresie de gradul \overset{ı}{ˆ} nt \overset{a}{ˆ} i sub o func ț ie un x liber l \overset{a}{ˆ} ng \overset{a}{˘} x^{2} cos x liber, restul prin sin x sin x liber, restul prin cos x \frac{1}{x} liber, restul prin ln x e^{x} liber, restul prin e^{x} radical dintr-o expresie de gradul \overset{ı}{ˆ} nt \overset{a}{ˆ} i u a x + b x^{2} + a sin x cos x ln x e^{x} a x + b

Tabloul de recunoaștere rapidă: se caută în integrand o funcție $u$ a cărei derivată apare alături, măcar până la un factor constant. Exemplele canonice, pe rânduri: $\int cos (5 x) d x$ ; $\int \frac{x}{x ^{2} + 9} d x$ ; $\int sin^{3} x cos x d x$ ; $\int tg x d x$ ; $\int \frac{d x}{x ln x}$ ; $\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 1} d x$ ; $\int \frac{x}{x + 1} d x$ . ⚠️ Când derivata nu se vede în integrand (de pildă la $e^{x^{2}}$ ), metoda nu se aplică — și nici o alta din programă.

Exemplu: $\int \frac{d x}{x ln x}$ : cu $u = ln x$ și $u^{'} = \frac{1}{x}$ obținem $ln ∣ ln x ∣ + C$ pe $(1, + \infty)$ .

Primitive cu trinom de gradul al doilea — clasa 12

x^{2} + p x + q = (x + \frac{p}{2})^{2} + k^{2}, k^{2} = q - \frac{p ^{2}}{4}

Metoda formării pătratului perfect: orice trinom cu $Δ < 0$ se scrie ca sumă de pătrate, după care substituția $t = x + \frac{p}{2}$ trimite integrala pe rândul 12 (fără radical), 13 sau 15 (cu radical) al tabelului. Când $Δ > 0$ , aceeași restrângere dă o diferență de pătrate și rândul 11 — sau, mai simplu, descompunerea în fracții simple. Când la numărător apare și un $x$ , se scrie numărătorul ca derivata numitorului plus o constantă și integrala se rupe în două: un logaritm și un arctangent.

Exemplu: $\int \frac{d x}{x ^{2} + 6 x + 13} = \int \frac{d x}{( x + 3 ) ^{2} + 4} = \frac{1}{2} arctg \frac{x + 3}{2} + C$ .

Descompunerea în fracții simple — clasa 12

\frac{A}{x - a}, \frac{A}{( x - a ) ^{k}}, \frac{B x + C}{x ^{2} + p x + q} (p^{2} - 4 q < 0)

Orice funcție rațională cu gradul numărătorului mai mic decât al numitorului se scrie ca sumă de asemenea fracții; când gradul numărătorului e mai mare sau egal, se împarte întâi cu rest. Coeficienții se află prin identificare (se aduce la același numitor și se egalează coeficienții) sau prin valori particulare (se dau lui $x$ rădăcinile numitorului) — a doua metodă e mai rapidă când numitorul are rădăcini reale distincte. Primitivele rezultate sunt logaritmi, puteri și arctangente.

Exemplu: $\frac{1}{x ^{2} - 1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1})$ , deci $\int \frac{d x}{x ^{2} - 1} = \frac{1}{2} ln \frac{x - 1}{x + 1} + C$ ✓ — rândul 11 al tabelului, regăsit.

Ce se citește despre primitivă din semnul funcției — clasa 12

f pe intervalul I f > 0 f < 0 f (x_{0}) = 0, + \to - f (x_{0}) = 0, - \to + f cresc \overset{a}{˘} toare f descresc \overset{a}{˘} toare orice primitiv \overset{a}{˘} F strict cresc \overset{a}{˘} toare strict descresc \overset{a}{˘} toare x_{0} maxim local al lui F x_{0} minim local al lui F F convex \overset{a}{˘} F concav \overset{a}{˘}

Este tabelul de traducere $f \to F$ : proprietățile primitivei se citesc din $f$ fără să calculezi primitiva, fiindcă $F^{'} = f$ și $F^{''} = f^{'}$ . Tipul de problemă unde se folosește: „se dă graficul sau tabelul de semn al lui $f$ ; ce se poate spune despre $F$ ?”. ⚠️ Dacă $f$ se anulează fără schimbare de semn, punctul nu este extrem al lui $F$ . Punctele de extrem local ale lui $f$ dau puncte de inflexiune ale lui $F$ , atunci când $f$ e derivabilă acolo.

Exemplu: Dacă $f (x) = (x - 1) (x - 3)$ , atunci orice primitivă $F$ crește pe $(- \infty, 1)$ , scade pe $(1, 3)$ și crește pe $(3, + \infty)$ : maxim local în $1$ , minim local în $3$ , inflexiune în $2$ .