Formule: Sisteme de ecuații liniare

De la forma matriceală la regula lui Cramer, rang, Kronecker-Capelli, Rouché și metoda lui Gauss. 9 formule, clasa 11.

Forma matriceală a unui sistem liniar — clasa 11

A X = B, A \in M_{m, n} (C), X = x_{1} ⋮ x_{n}, B = b_{1} ⋮ b_{m}

$A$ este matricea sistemului (are pe linia $i$ coeficienții ecuației $i$ ), $X$ este matricea-coloană a necunoscutelor, iar $B$ matricea-coloană a termenilor liberi; $m$ este numărul de ecuații, $n$ numărul de necunoscute. Matricea extinsă $\overline{A}$ se obține adăugând la dreapta lui $A$ coloana termenilor liberi; ea are $m$ linii și $n + 1$ coloane. Un sistem este compatibil determinat dacă are soluție unică, compatibil nedeterminat dacă are o infinitate de soluții și incompatibil dacă nu are nicio soluție. Scrierea matriceală este utilă pentru că transformă rezolvarea într-o singură ecuație cu o singură necunoscută — matricea $X$ .

Exemplu: Sistemul ${2 x + y = 5 x - 3 y = - 1$ se scrie $(21 1 - 3) (x y) = (5 - 1)$ , iar $\overline{A} = (21 1 - 3 5 - 1)$ .

Regula lui Cramer — clasa 11

Δ = det A \neq = 0 ⟹ x_{k} = \frac{Δ _{k}}{Δ}, k = 1, 2, \dots, n

Se aplică numai sistemelor de tip Cramer: $n$ ecuații, $n$ necunoscute și $Δ = det A \neq = 0$ . $Δ_{k}$ se obține din $Δ$ înlocuind coloana $k$ (cea a necunoscutei $x_{k}$ ) cu coloana termenilor liberi; celelalte coloane rămân neatinse. Un astfel de sistem este întotdeauna compatibil determinat, iar soluția dată de formulă este unica lui soluție. Capcane: se calculează întâi $Δ$ și abia dacă este nenul se merge mai departe; dacă $Δ = 0$ , regula nu se aplică și se trece la rang, Kronecker-Capelli și Rouché. Verificarea prin înlocuire în ecuația a doua costă zece secunde și prinde orice greșeală de semn.

Exemplu: Pentru ${4 x - y = 11 3 x + 2 y = 11$ : $Δ = 43 - 1 2 = 11 \neq = 0$ , $Δ_{1} = 1111 - 1 2 = 33$ , $Δ_{2} = 431111 = 11$ , deci $x = \frac{33}{11} = 3$ și $y = \frac{11}{11} = 1$ . Probă: $3 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 11$ ✓.

Rezolvarea unui sistem cu matricea inversă — clasa 11

A X = B, det A \neq = 0 ⟹ X = A^{- 1} B

$A \in M_{n} (C)$ este matricea pătratică a sistemului, iar $det A \neq = 0$ garantează existența lui $A^{- 1}$ . Se înmulțește egalitatea $A X = B$ cu $A^{- 1}$ la stânga, în această ordine — $B A^{- 1}$ nici măcar nu are sens când $B$ este o coloană. Metoda dă aceeași soluție ca regula lui Cramer și este de preferat când inversa se cere oricum în problemă sau când același $A$ apare cu mai multe coloane $B$ diferite. Capcană: $A^{- 1} B$ este o matrice-coloană, iar soluția sistemului se citește pe verticală, în ordinea necunoscutelor.

Exemplu: Pentru $A = (2312)$ și $B = (58)$ : $det A = 1$ , $A^{- 1} = (2 - 3 - 1 2)$ , deci $X = A^{- 1} B = (21)$ , adică $x = 2$ , $y = 1$ . Probă: $2 \cdot 2 + 1 = 5$ ✓.

Rangul unei matrice — clasa 11

rang A = r ⟺ exist \overset{a}{˘} un minor nenul de ordin r, to ț i minorii de ordin r + 1 sunt nuli

Rangul lui $A$ este cel mai mare ordin al unui minor nenul al lui $A$ ; prin convenție $rang O_{m, n} = 0$ . Ambele condiții trebuie verificate: prima singură arată doar că $rang A \geq r$ . Proprietăți: $0 \leq rang A \leq min (m, n)$ ; $rang A = rang^{t} A$ , deci liniile și coloanele au aceleași drepturi; $rang (α A) = rang A$ pentru $α \neq = 0$ . În practică se merge de jos în sus: se găsește un minor nenul de ordin $2$ , apoi se bordează. Rangul nu se schimbă la operații elementare pe linii sau pe coloane, deci a doua cale este aducerea matricei la formă eșalonată, unde rangul este numărul liniilor nenule. Se scrie $rang A$ , românește.

Exemplu: Pentru $A = 121241361$ : $det A = 0$ (fiindcă $L_{2} = 2 L_{1}$ ), dar minorul $1121 = - 1 \neq = 0$ , deci $rang A = 2$ . • $rang I_{3} = 3$ .

Teorema Kronecker-Capelli — clasa 11

sistemul A X = B este compatibil ⟺ rang A = rang \overline{A}

$A$ este matricea sistemului, iar $\overline{A}$ matricea extinsă (cu coloana termenilor liberi adăugată la dreapta). Teorema decide dacă sistemul are soluții, nu care sunt ele. Cum $\overline{A}$ are o coloană în plus, întotdeauna $rang A \leq rang \overline{A} \leq rang A + 1$ ; egalitatea înseamnă compatibilitate, iar $rang \overline{A} = rang A + 1$ înseamnă sistem incompatibil. Rețeta: se calculează $rang A = r$ , apoi se verifică dacă $\overline{A}$ are un minor nenul de ordin $r + 1$ . Capcană: nu se compară rangul cu numărul de ecuații, ci cele două ranguri între ele.

Exemplu: Pentru ${x + y = 1 2 x + 2 y = 3$ : $rang A = 1$ , dar $1213 = 1 \neq = 0$ , deci $rang \overline{A} = 2$ — sistem incompatibil. • Dacă a doua ecuație ar fi $2 x + 2 y = 2$ , ambele ranguri ar fi $1$ , iar sistemul ar fi compatibil nedeterminat.

Natura soluțiilor unui sistem compatibil — clasa 11

rang A = rang \overline{A} = r : r = n \Rightarrow compatibil determinat, r < n \Rightarrow compatibil nedeterminat

$n$ este numărul necunoscutelor, iar $r$ rangul comun. Când $r = n$ , soluția este unică. Când $r < n$ , sistemul are o infinitate de soluții, iar $n - r$ se numește grad de nedeterminare: pentru $n - r = 1$ sistemul este simplu nedeterminat, pentru $n - r = 2$ dublu nedeterminat. Se alege un minor principal — un minor nenul de ordin $r$ din $A$ ; necunoscutele ale căror coeficienți intră în el sunt principale, celelalte secundare, iar ecuațiile ale căror linii intră în el sunt principale. Necunoscutele secundare se notează cu parametri $α, β \in R$ și se trec în membrul drept; sistemul principal rămas se rezolvă cu Cramer. Soluția se prezintă ca mulțime.

Exemplu: Sistemul ${x + y + z = 3 2 x + 2 y + 2 z = 6$ are $r = 1$ și $n = 3$ , deci este dublu nedeterminat: cu $y = α$ și $z = β$ se obține $S = {(3 - α - β, α, β) ∣ α, β \in R}$ .

Teorema lui Rouché și determinanții caracteristici — clasa 11

sistemul este compatibil ⟺ Δ_{c a r}^{(k)} = 0 pentru orice ecua ț ie secundar \overset{a}{˘} k

$Δ_{c a r}^{(k)}$ este determinantul caracteristic al ecuației secundare $k$ : se obține bordând minorul principal cu coeficienții acelei ecuații și cu coloana termenilor liberi corespunzători. Are ordinul $r + 1$ , unde $r = rang A$ . Teorema este varianta practică a lui Kronecker-Capelli: în loc să se calculeze rangul lui $\overline{A}$ , se verifică direct câțiva determinanți. Dacă măcar unul este nenul, sistemul este incompatibil. Numărul lor este egal cu numărul ecuațiilor secundare, adică $m - r$ ; când nu există ecuații secundare ( $m = r$ ), sistemul este automat compatibil.

Exemplu: Pentru $⎩ ⎨ ⎧ x + y = 2 2 x + y = 3 3 x + 2 y = 5$ : minorul principal $1211 = - 1 \neq = 0$ , deci $r = 2$ , iar a treia ecuație este secundară. Atunci $Δ_{c a r}^{(3)} = 123112235 = 0$ , deci sistemul este compatibil, cu soluția $x = 1$ , $y = 1$ .

Sisteme liniare omogene — clasa 11

A X = O_{m, 1} : are numai solu ț ia banal \overset{a}{˘} ⟺ rang A = n; pentru m = n : solu ț ii nebanale ⟺ det A = 0

Un sistem este omogen dacă toți termenii liberi sunt $0$ . Orice sistem omogen este compatibil, pentru că are întotdeauna soluția banală $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n} = 0$ ; întrebarea reală este dacă are și soluții nebanale. Cum coloana termenilor liberi este nulă, $rang \overline{A} = rang A$ automat, deci Kronecker-Capelli nu spune nimic nou. Criteriul: soluția este unică (deci doar cea banală) exact când rangul este egal cu numărul necunoscutelor. Consecință folosită des: un sistem omogen cu mai multe necunoscute decât ecuații are întotdeauna soluții nebanale, fiindcă $rang A \leq m < n$ .

Exemplu: Sistemul $⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y - z = 0 2 x - y + 3 z = 0 3 x + y + 2 z = 0$ are $det A = 0$ , deci și soluții nebanale: cu $z = α$ se obține $S = {(- α, α, α) ∣ α \in R}$ ; pentru $α = 1$ , tripletul $(- 1, 1, 1)$ verifică toate cele trei ecuații ✓.

Metoda lui Gauss (operațiile elementare pe linii) — clasa 11

L_{i} \leftrightarrow L_{j}, L_{i} \leftarrow α L_{i} (α \neq = 0), L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j} (i \neq = j)

Cele trei operații elementare pe linii transformă un sistem într-unul echivalent — cu exact aceleași soluții. Se lucrează pe matricea extinsă $\overline{A}$ , urmărind să se obțină o formă eșalonată (sub prima necunoscută a fiecărei linii, numai zerouri), după care necunoscutele se află de jos în sus, prin substituție inversă. Condiția $α \neq = 0$ păstrează reversibilitatea, iar $i \neq = j$ împiedică anularea unei linii. Fiecare pas se scrie pe rând separat, cu operația notată lângă săgeată — „se fac calculele” nu se punctează. Citirea finală: o linie de forma $0 = c$ cu $c \neq = 0$ înseamnă sistem incompatibil; o linie complet nulă înseamnă o ecuație de prisos.

Exemplu: $(121338) L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1} (101132)$ , deci $y = 2$ și, prin substituție inversă, $x = 3 - 2 = 1$ . Probă: $2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 8$ ✓.