Formule: Studiul variației funcțiilor

Monotonie, extreme, convexitate și puncte de inflexiune: tabelul de variație, șirul lui Rolle și problemele de optimizare. 11 formule, clasa 11.

La liceu: ești la mate-info, la științe ale naturii sau la un liceu tehnologic? Alege profilul și listele de liceu îl arată doar pe al tău.Profilul tău la liceu (listele de liceu arată doar ce e pentru el):

Formulele tale M2 sunt primele, imediat mai jos: Pentru științe ale naturii (M2) ↓

Formulele tale de la tehnologic sunt primele, imediat mai jos: Pentru filiera tehnologică (M3) ↓

Monotonia din semnul derivatei — clasa 11
Punctele critice și extremele locale — clasa 11
Șirul lui Rolle — clasa 11
Funcții convexe și funcții concave — clasa 11
Convexitatea și derivata a doua — clasa 11
Puncte de inflexiune — clasa 11
Tabelul de variație — clasa 11
Optimizare: costul mediu și profitul maxim — clasa 11

Monotonia din semnul derivatei — clasa 11

f^{'} (x) > 0 pe intervalul I ⟹ f strict cresc \overset{a}{˘} toare pe I; f^{'} (x) < 0 pe I ⟹ f strict descresc \overset{a}{˘} toare pe I

$f$ este derivabilă pe intervalul $I$ . Este Consecința 2 a teoremei lui Lagrange și transformă o problemă de monotonie într-una de semn. Cu $\geq$ , respectiv $\leq$ , se obține monotonia nestrictă. Concluzia se formulează pe un interval, niciodată pe o reuniune de intervale: $f (x) = \frac{1}{x}$ are $f^{'} < 0$ pe tot domeniul, dar nu este descrescătoare pe $R^{*}$ — se spune „descrescătoare pe $(- \infty, 0)$ și pe $(0, + \infty)$ ”. Rețeta: se stabilește domeniul, se calculează $f^{'}$ , se rezolvă $f^{'} (x) = 0$ , se face tabelul de semn al lui $f^{'}$ și se citește monotonia. La capetele unde $f$ este continuă, intervalele de monotonie se pot scrie închise.

Exemplu: Pentru $f (x) = x^{3} - 3 x$ : $f^{'} (x) = 3 (x - 1) (x + 1)$ , pozitivă pe $(- \infty, - 1)$ și pe $(1, + \infty)$ , negativă pe $(- 1, 1)$ . Deci $f$ este strict crescătoare pe $(- \infty, - 1]$ și pe $[1, + \infty)$ și strict descrescătoare pe $[- 1, 1]$ .

Punctele critice și extremele locale — clasa 11

f^{'} (x_{0}) = 0 ș i f^{'} schimb \overset{a}{˘} semnul \overset{ı}{ˆ} n x_{0} : + \to - \Rightarrow MAXIM local, - \to + \Rightarrow MINIM local

Punctele în care $f^{'}$ se anulează se numesc puncte critice (sau staționare); prin teorema lui Fermat, orice extrem local din interiorul domeniului, în care $f$ e derivabilă, este punct critic. Reciproca fiind falsă, natura punctului se decide din schimbarea semnului lui $f^{'}$ : dacă $f^{'}$ nu își schimbă semnul, punctul critic nu este punct de extrem (cazul $f (x) = x^{3}$ în $0$ ). Regulă permanentă de redactare: punctul de extrem este $x_{0}$ , valoarea extremă este $f (x_{0})$ — nu se confundă în răspuns. Candidații la extrem sunt: punctele critice, punctele în care $f$ nu este derivabilă (colțuri, întoarceri) și capetele închise ale domeniului, unde teorema lui Fermat nu se aplică.

Exemplu: Pentru $f (x) = x^{3} - 3 x$ : punctele critice sunt $- 1$ și $1$ ; $f^{'}$ trece de la $+$ la $-$ în $- 1$ (maxim local, valoarea $f (- 1) = 2$ ) și de la $-$ la $+$ în $1$ (minim local, valoarea $f (1) = - 2$ ). • Pentru $f (x) = x^{3}$ : $f^{'} (0) = 0$ , dar $f^{'} \geq 0$ peste tot, deci $0$ nu este punct de extrem.

Șirul lui Rolle — clasa 11

x f (x) semnul - \infty x \to - \infty lim f \pm x_{1} f (x_{1}) \pm x_{2} f (x_{2}) \pm \dots \dots \dots + \infty x \to + \infty lim f \pm

$x_{1} < x_{2} < \dots < x_{k}$ sunt soluțiile ecuației $f^{'} (x) = 0$ din domeniu, iar pe primul și pe ultimul loc se scriu limitele lui $f$ la capetele fiecărui interval al domeniului. Procedura are cinci pași: (1) se stabilește domeniul și se verifică derivabilitatea; (2) se rezolvă $f^{'} (x) = 0$ ; (3) se calculează valorile $f (x_{i})$ și limitele la capete; (4) se completează tabelul cu valorile și, dedesubt, cu semnele lor; (5) se citește. Citirea: între două valori consecutive de semne contrare există exact o soluție a ecuației $f (x) = 0$ ; o valoare nulă înseamnă că punctul este el însuși soluție; între două valori de același semn nu există nicio soluție. Dacă un punct este exclus din domeniu, se fac două tabele, câte unul pe interval.

Exemplu: Pentru $f (x) = x^{3} - 3 x - 1$ : $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ , deci $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 1$ ; valorile sunt $- \infty$ , $f (- 1) = 1$ , $f (1) = - 3$ , $+ \infty$ , cu semnele $-, +, -, +$ . Trei schimbări de semn, deci ecuația $x^{3} - 3 x - 1 = 0$ are exact trei soluții reale, câte una în $(- \infty, - 1)$ , $(- 1, 1)$ și $(1, + \infty)$ .

Funcții convexe și funcții concave — clasa 11

f convex \overset{a}{˘} pe I ⟺ f (t x_{1} + (1 - t) x_{2}) \leq t f (x_{1}) + (1 - t) f (x_{2}), \forall x_{1}, x_{2} \in I, \forall t \in [0, 1]

$I$ este un interval, iar $t$ parcurge $[0, 1]$ ; punctul $t x_{1} + (1 - t) x_{2}$ descrie tot segmentul dintre $x_{1}$ și $x_{2}$ . Geometric: graficul se află sub coardă (și deasupra oricărei tangente). Concavă înseamnă inegalitatea inversă, cu graficul deasupra coardei. Intuiția verbală, folosită identic peste tot: convexă = „ține apa” (curbura în sus, simbolul $\cup$ ); concavă = „varsă apa” (curbura în jos, simbolul $\cap$ ). Cazul $t = \frac{1}{2}$ dă forma cea mai ușor de reținut: $f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) \leq \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2}$ — valoarea în mijloc este cel mult media valorilor.

Exemplu: $f (x) = x^{2}$ este convexă pe $R$ : pentru $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 2$ și $t = \frac{1}{2}$ , $f (1) = 1 \leq \frac{0 + 4}{2} = 2$ ✓. • $f (x) = ln x$ este concavă pe $(0, + \infty)$ , iar $f (x) = x$ este concavă pe $[0, + \infty)$ .

Convexitatea și derivata a doua — clasa 11

f convex \overset{a}{˘} pe I ⟺ f^{''} (x) \geq 0 \forall x \in I; f concav \overset{a}{˘} pe I ⟺ f^{''} (x) \leq 0 \forall x \in I

$f$ este de două ori derivabilă pe intervalul $I$ — fără această ipoteză criteriul nu se aplică. Este traducerea analitică a definiției geometrice și unealta de lucru a capitolului: convexitatea se citește din semnul lui $f^{''}$ , exact cum monotonia se citește din semnul lui $f^{'}$ . Rețeta: se calculează $f^{''}$ , se rezolvă $f^{''} (x) = 0$ , se face tabelul de semn și se citesc intervalele. Ca și la monotonie, concluzia se formulează pe un interval, nu pe o reuniune. Legătură utilă: dacă $f$ e convexă pe $I$ , atunci $f^{'}$ este crescătoare pe $I$ — pantele tangentelor cresc.

Exemplu: Pentru $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ : $f^{''} (x) = 6 (x - 1)$ , deci $f$ este concavă pe $(- \infty, 1]$ și convexă pe $[1, + \infty)$ . • $f (x) = e^{x}$ are $f^{''} = e^{x} > 0$ , deci este convexă pe $R$ .

Puncte de inflexiune — clasa 11

f^{''} (x_{0}) = 0 Ș I f^{''} \overset{ı}{ˆ} ș i schimb \overset{a}{˘} semnul \overset{ı}{ˆ} n x_{0} ⟹ x_{0} este punct de inflexiune

$x_{0}$ trebuie să fie din interiorul domeniului, iar $f$ continuă în $x_{0}$ ; punctul de inflexiune este cel în care funcția își schimbă convexitatea. Dezambiguizare de nume: $x_{0}$ este punctul de inflexiune al funcției, iar perechea $(x_{0}, f (x_{0}))$ este punctul de inflexiune al graficului. Condiția $f^{''} (x_{0}) = 0$ singură nu ajunge — cele două capcane standard: $f (x) = x^{4}$ are $f^{''} (0) = 0$ , dar rămâne convexă, deci $0$ nu este punct de inflexiune; $f (x) = \frac{1}{x}$ are $f^{''}$ care își schimbă semnul în $0$ , dar $0 \in / D$ , deci nu există inflexiune. În tangenta dusă într-un punct de inflexiune, graficul traversează tangenta.

Exemplu: Pentru $f (x) = x^{3} - 3 x$ : $f^{''} (x) = 6 x$ se anulează în $0$ și își schimbă semnul acolo, deci $0$ este punct de inflexiune al funcției, iar $(0, 0)$ al graficului. • Pentru $f (x) = x^{4}$ : $f^{''} (x) = 12 x^{2} \geq 0$ peste tot, deci nu există inflexiune.

Tabelul de variație — clasa 11

x f^{'} (x) f^{''} (x) f (x) - \infty - \infty + - ↗ \cap - 1 0 - 6 2 M - - ↘ \cap 0 - 3 0 0 I x f^{'} (x) f^{''} (x) f (x) 0 - 3 0 0 I - + ↘ \cup 106 - 2 m + + ↗ \cup + \infty + \infty

Exemplul este $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 3 x$ , cu $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ și $f^{''} (x) = 6 x$ . Rândurile se scriu în ordinea $x$ , $f^{'} (x)$ , $f^{''} (x)$ , $f (x)$ ; rândul $f^{''}$ apare doar în tabelul complet, cel folosit la convexitate. Coloanele alternează: coloane-punct (valorile marcate de pe axă, inclusiv $\pm \infty$ ) și coloane-interval. În coloanele-punct se scriu valorile exacte, în cele de interval semnele $+$ sau $-$ pentru derivate și săgeata pentru funcție. Simbolurile: $↗$ strict crescătoare, $↘$ strict descrescătoare, $\cup$ convexă, $\cap$ concavă, $M$ maxim local, $m$ minim local, $I$ punct de inflexiune, $∄$ când derivata nu există. La un punct exclus din domeniu, rândurile derivatelor primesc $∣$ , iar rândul $f (x)$ cele două limite laterale. Sub fiecare tabel se scrie obligatoriu citirea lui în cuvinte.

Exemplu: Citirea tabelului de mai sus: $f$ este strict crescătoare pe $(- \infty, - 1]$ și pe $[1, + \infty)$ și strict descrescătoare pe $[- 1, 1]$ ; are maximul local $f (- 1) = 2$ și minimul local $f (1) = - 2$ ; este concavă pe $(- \infty, 0]$ și convexă pe $[0, + \infty)$ , cu punct de inflexiune $(0, 0)$ ; imaginea funcției este $R$ .

Optimizare: costul mediu și profitul maxim — clasa 11

\overline{C} (q) = \frac{C ( q )}{q}; Regula costului mediu: C^{'} (q_{0}) = \overline{C} (q_{0}); Regula profitului: V^{'} (q_{0}) = C^{'} (q_{0})

$C (q)$ este costul total al producerii a $q$ bucăți, $\overline{C} (q)$ costul mediu (lei pe bucată), $C^{'} (q)$ costul marginal, iar $V (q)$ venitul; profitul este $P (q) = V (q) - C (q)$ . Regula costului mediu: în punctul de cost mediu minim, costul marginal egalează costul mediu — se obține anulând derivata lui $\frac{C ( q )}{q}$ . Regula profitului: profitul este maxim acolo unde venitul marginal egalează costul marginal, adică $P^{'} (q_{0}) = 0$ . Bara de deasupra din $\overline{C}$ înseamnă «mediu» (ca la media $\overline{x}$ din statistică); analog, $\overline{Q} (n)$ este productivitatea medie. În tabelul de variație, rândurile se etichetează cu funcția concretă din problemă: $\overline{C}^{'} (q)$ sau $V^{'} (q)$ în loc de $f^{'} (x)$ . Se verifică întotdeauna că soluția găsită este în domeniul economic ( $q > 0$ ).

Exemplu: Pentru $C (q) = 2 q^{2} + 8 q + 200$ : $\overline{C} (q) = 2 q + 8 + \frac{200}{q}$ , cu $\overline{C}^{'} (q) = \frac{2 ( q - 10 ) ( q + 10 )}{q ^{2}}$ , deci minim în $q = 10$ , unde $\overline{C} (10) = 48$ lei pe bucată. Verificare: $C^{'} (q) = 4 q + 8$ , iar $C^{'} (10) = 48 = \overline{C} (10)$ ✓ — exact regula costului mediu.

Pentru științe ale naturii (M2)

Cele 2 formule de mai jos sunt folosite de elevii de la profilul științe ale naturii (programa M2), în clasa a XI-a; lecțiile lor sunt pe traseul M2 al clasei a XI-a.

Imaginea unei funcții pe un interval de monotonie M2 — clasa 11
Bijectivitatea pe un interval prin stricta monotonie M2 — clasa 11

Imaginea unei funcții pe un interval de monotonie M2 — clasa 11

f continu \overset{a}{˘} ș i strict cresc \overset{a}{˘} toare pe (α, β) : Im f = x \to α x > α lim f (x), x \to β x < β lim f (x) f continu \overset{a}{˘} pe [a, b] : Im f = [[a, b] min f, [a, b] max f]

Imaginea funcției $f : D \to B$ este mulțimea valorilor ei, $Im f = {f (x) ∣ x \in D}$ . Codomeniul este o declarație din enunț; imaginea se obține prin calcul și se citește din ultimul rând al tabelului de variație. Pe un interval pe care funcția este continuă și strict monotonă, valorile ei umplu fără goluri segmentul dintre cele două capete, iar imaginea întreagă se obține reunind imaginile bucăților de monotonie. Paranteza urmează capătul: dreaptă acolo unde funcția are valoare, rotundă la un capăt exclus sau la $\pm \infty$ , unde funcția are doar limită — cu o excepție verificată la sfârșit, fiindcă o margine care apare ca limită poate fi atinsă în alt punct, și atunci capătul se închide. La funcție strict descrescătoare cele două capete se scriu în ordine inversă. Greșeala care se repetă este oprirea la extremele locale: fără valorile ori limitele de la capetele domeniului răspunsul e aproape sigur greșit.

Exemplu: $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x + \frac{1}{x}$ , are $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}}$ , deci scade pe $(0, 1]$ și crește pe $[1, + \infty)$ , cu minimul $f (1) = 2$ . Cum $x \to 0 x > 0 lim f (x) = + \infty$ și $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ , iar valoarea $2$ este atinsă, rezultă $Im f = [2, + \infty)$ .

Bijectivitatea pe un interval prin stricta monotonie M2 — clasa 11

f strict monoton \overset{a}{˘} pe intervalul I ⟹ f injectiv \overset{a}{˘} pe I f : I \to J surjectiv \overset{a}{˘} ⟺ f (I) = J f continu \overset{a}{˘} ș i strict monoton \overset{a}{˘} pe I ⟹ f : I \to f (I) bijectiv \overset{a}{˘}

Bijectivitatea ține de tripleta formulă–domeniu–codomeniu, nu de formulă singură: o lege poate fi bijectivă privită pe un interval și să nu mai fie pe altul. Injectivitatea se scoate din stricta monotonie — din $x_{1} < x_{2}$ rezultă $f (x_{1}) < f (x_{2})$ la funcție crescătoare —, cale care merge și acolo unde calculul algebric din clasa a IX-a se blochează: la radicali, la logaritmi, la fracții. Cuvântul interval nu se poate sări: pe o mulțime cu o gaură, o derivată negativă peste tot nu dă o funcție descrescătoare. Surjectivitatea se verifică prin imagine, citită din tabelul de variație și comparată cu codomeniul. Un zerou izolat al derivatei, la care semnul nu se schimbă, nu strică injectivitatea. O funcție care nu trece testul se poate repara: ori se restrânge domeniul la un interval de monotonie, ori se ia drept codomeniu chiar imaginea.

Exemplu: $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = ln x + x$ , are $f^{'} (x) = \frac{1}{x} + 1 > 0$ , deci este strict crescătoare, prin urmare injectivă. Cum $x \to 0 x > 0 lim f (x) = - \infty$ și $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ , imaginea este $R$ , deci $f$ este bijectivă.

Pentru filiera tehnologică (M3)

Formula de mai jos e scrisă pentru elevii de la liceele tehnologice (programa M_tehnologic, Bacalaureatul M3), în clasa a XI-a; lecțiile lor sunt pe traseul tehnologic al clasei a XI-a.

Studiul funcției M3 — clasa 11

Studiul funcției — clasa 11

f^{'} > 0 pe I \Rightarrow f strict cresc \overset{a}{˘} toare pe I, f^{'} < 0 pe I \Rightarrow f strict descresc \overset{a}{˘} toare pe I, f^{'} (x_{0}) = 0 ș i f^{'} schimb \overset{a}{˘} semnul \overset{ı}{ˆ} n x_{0} \Rightarrow x_{0} este punct de extrem, f^{''} \geq 0 pe I \Rightarrow f convex \overset{a}{˘} pe I, f^{''} \leq 0 pe I \Rightarrow f concav \overset{a}{˘} pe I, f^{''} schimb \overset{a}{˘} semnul \overset{ı}{ˆ} n x_{0} \Rightarrow punct de inflexiune (x_{0}; f (x_{0}))

$I$ e un interval din domeniu, iar $x_{0}$ un punct al lui. Primele două rânduri citesc din $f^{'}$ cum se mișcă graficul și unde se oprește din urcat sau coborât; ultimele două citesc din $f^{''}$ cum se curbează. Pe un interval închis se adaugă valorile din capete. Capcană: schimbarea de semn a lui $f^{'}$ se caută numai în interiorul intervalului; într-un capăt, chiar cu $f^{'} (x_{0}) = 0$ , compari valorile. Control: valoarea extremă trebuie să fie mai mare sau mai mică decât toate valorile din tabelul de variație.

Exemplu: Profitul unui atelier de croitorie, în zeci de lei, la $x$ sute de piese cusute într-o lună, $0 \leq x \leq 12$ , este $f (x) = - 2 x^{3} + 27 x^{2}$ . Din $f^{'} (x) = - 6 x^{2} + 54 x = - 6 x (x - 9)$ : $f^{'} > 0$ pe $(0; 9)$ și $f^{'} < 0$ pe $(9; 12)$ , deci $f$ crește, apoi scade, iar $x_{0} = 9$ e maxim, cu $f (9) = 729$ . Din $f^{''} (x) = - 12 x + 54$ : $f^{''} > 0$ pe $(0; 4, 5)$ și $f^{''} < 0$ pe $(4, 5; 12)$ , deci $f$ e convexă, apoi concavă, iar $(4, 5; 364, 5)$ e punct de inflexiune. În capătul $x = 0$ regula semnului nu se aplică, deși $f^{'} (0) = 0$ ; comparând valorile, $f (0) = 0$ este minimul pe interval. Control: $f (12) = 432 < 729$ .