Formule: Studiul variației funcțiilor

Monotonie, extreme, convexitate și puncte de inflexiune: tabelul de variație, șirul lui Rolle și problemele de optimizare. 8 formule, clasa 11.

Monotonia din semnul derivatei — clasa 11

f^{'} (x) > 0 pe intervalul I ⟹ f strict cresc \overset{a}{˘} toare pe I; f^{'} (x) < 0 pe I ⟹ f strict descresc \overset{a}{˘} toare pe I

$f$ este derivabilă pe intervalul $I$ . Este Consecința 2 a teoremei lui Lagrange și transformă o problemă de monotonie într-una de semn. Cu $\geq$ , respectiv $\leq$ , se obține monotonia nestrictă. Concluzia se formulează pe un interval, niciodată pe o reuniune de intervale: $f (x) = \frac{1}{x}$ are $f^{'} < 0$ pe tot domeniul, dar nu este descrescătoare pe $R^{*}$ — se spune „descrescătoare pe $(- \infty, 0)$ și pe $(0, + \infty)$ ”. Rețeta: se stabilește domeniul, se calculează $f^{'}$ , se rezolvă $f^{'} (x) = 0$ , se face tabelul de semn al lui $f^{'}$ și se citește monotonia. La capetele unde $f$ este continuă, intervalele de monotonie se pot scrie închise.

Exemplu: Pentru $f (x) = x^{3} - 3 x$ : $f^{'} (x) = 3 (x - 1) (x + 1)$ , pozitivă pe $(- \infty, - 1)$ și pe $(1, + \infty)$ , negativă pe $(- 1, 1)$ . Deci $f$ este strict crescătoare pe $(- \infty, - 1]$ și pe $[1, + \infty)$ și strict descrescătoare pe $[- 1, 1]$ .

Punctele critice și extremele locale — clasa 11

f^{'} (x_{0}) = 0 ș i f^{'} schimb \overset{a}{˘} semnul \overset{ı}{ˆ} n x_{0} : + \to - \Rightarrow MAXIM local, - \to + \Rightarrow MINIM local

Punctele în care $f^{'}$ se anulează se numesc puncte critice (sau staționare); prin teorema lui Fermat, orice extrem local din interiorul domeniului, în care $f$ e derivabilă, este punct critic. Reciproca fiind falsă, natura punctului se decide din schimbarea semnului lui $f^{'}$ : dacă $f^{'}$ nu își schimbă semnul, punctul critic nu este punct de extrem (cazul $f (x) = x^{3}$ în $0$ ). Regulă permanentă de redactare: punctul de extrem este $x_{0}$ , valoarea extremă este $f (x_{0})$ — nu se confundă în răspuns. Candidații la extrem sunt: punctele critice, punctele în care $f$ nu este derivabilă (colțuri, întoarceri) și capetele închise ale domeniului, unde teorema lui Fermat nu se aplică.

Exemplu: Pentru $f (x) = x^{3} - 3 x$ : punctele critice sunt $- 1$ și $1$ ; $f^{'}$ trece de la $+$ la $-$ în $- 1$ (maxim local, valoarea $f (- 1) = 2$ ) și de la $-$ la $+$ în $1$ (minim local, valoarea $f (1) = - 2$ ). • Pentru $f (x) = x^{3}$ : $f^{'} (0) = 0$ , dar $f^{'} \geq 0$ peste tot, deci $0$ nu este punct de extrem.

Șirul lui Rolle — clasa 11

x f (x) semnul - \infty x \to - \infty lim f \pm x_{1} f (x_{1}) \pm x_{2} f (x_{2}) \pm \dots \dots \dots + \infty x \to + \infty lim f \pm

$x_{1} < x_{2} < \dots < x_{k}$ sunt soluțiile ecuației $f^{'} (x) = 0$ din domeniu, iar pe primul și pe ultimul loc se scriu limitele lui $f$ la capetele fiecărui interval al domeniului. Procedura are cinci pași: (1) se stabilește domeniul și se verifică derivabilitatea; (2) se rezolvă $f^{'} (x) = 0$ ; (3) se calculează valorile $f (x_{i})$ și limitele la capete; (4) se completează tabelul cu valorile și, dedesubt, cu semnele lor; (5) se citește. Citirea: între două valori consecutive de semne contrare există exact o soluție a ecuației $f (x) = 0$ ; o valoare nulă înseamnă că punctul este el însuși soluție; între două valori de același semn nu există nicio soluție. Dacă un punct este exclus din domeniu, se fac două tabele, câte unul pe interval.

Exemplu: Pentru $f (x) = x^{3} - 3 x - 1$ : $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ , deci $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 1$ ; valorile sunt $- \infty$ , $f (- 1) = 1$ , $f (1) = - 3$ , $+ \infty$ , cu semnele $-, +, -, +$ . Trei schimbări de semn, deci ecuația $x^{3} - 3 x - 1 = 0$ are exact trei soluții reale, câte una în $(- \infty, - 1)$ , $(- 1, 1)$ și $(1, + \infty)$ .

Funcții convexe și funcții concave — clasa 11

f convex \overset{a}{˘} pe I ⟺ f (t x_{1} + (1 - t) x_{2}) \leq t f (x_{1}) + (1 - t) f (x_{2}), \forall x_{1}, x_{2} \in I, \forall t \in [0, 1]

$I$ este un interval, iar $t$ parcurge $[0, 1]$ ; punctul $t x_{1} + (1 - t) x_{2}$ descrie tot segmentul dintre $x_{1}$ și $x_{2}$ . Geometric: graficul se află sub coardă (și deasupra oricărei tangente). Concavă înseamnă inegalitatea inversă, cu graficul deasupra coardei. Intuiția verbală, folosită identic peste tot: convexă = „ține apa” (curbura în sus, simbolul $\cup$ ); concavă = „varsă apa” (curbura în jos, simbolul $\cap$ ). Cazul $t = \frac{1}{2}$ dă forma cea mai ușor de reținut: $f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) \leq \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2}$ — valoarea în mijloc este cel mult media valorilor.

Exemplu: $f (x) = x^{2}$ este convexă pe $R$ : pentru $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 2$ și $t = \frac{1}{2}$ , $f (1) = 1 \leq \frac{0 + 4}{2} = 2$ ✓. • $f (x) = ln x$ este concavă pe $(0, + \infty)$ , iar $f (x) = x$ este concavă pe $[0, + \infty)$ .

Convexitatea și derivata a doua — clasa 11

f convex \overset{a}{˘} pe I ⟺ f^{''} (x) \geq 0 \forall x \in I; f concav \overset{a}{˘} pe I ⟺ f^{''} (x) \leq 0 \forall x \in I

$f$ este de două ori derivabilă pe intervalul $I$ — fără această ipoteză criteriul nu se aplică. Este traducerea analitică a definiției geometrice și unealta de lucru a capitolului: convexitatea se citește din semnul lui $f^{''}$ , exact cum monotonia se citește din semnul lui $f^{'}$ . Rețeta: se calculează $f^{''}$ , se rezolvă $f^{''} (x) = 0$ , se face tabelul de semn și se citesc intervalele. Ca și la monotonie, concluzia se formulează pe un interval, nu pe o reuniune. Legătură utilă: dacă $f$ e convexă pe $I$ , atunci $f^{'}$ este crescătoare pe $I$ — pantele tangentelor cresc.

Exemplu: Pentru $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ : $f^{''} (x) = 6 (x - 1)$ , deci $f$ este concavă pe $(- \infty, 1]$ și convexă pe $[1, + \infty)$ . • $f (x) = e^{x}$ are $f^{''} = e^{x} > 0$ , deci este convexă pe $R$ .

Puncte de inflexiune — clasa 11

f^{''} (x_{0}) = 0 Ș I f^{''} \overset{ı}{ˆ} ș i schimb \overset{a}{˘} semnul \overset{ı}{ˆ} n x_{0} ⟹ x_{0} este punct de inflexiune

$x_{0}$ trebuie să fie din interiorul domeniului, iar $f$ continuă în $x_{0}$ ; punctul de inflexiune este cel în care funcția își schimbă convexitatea. Dezambiguizare de nume: $x_{0}$ este punctul de inflexiune al funcției, iar perechea $(x_{0}, f (x_{0}))$ este punctul de inflexiune al graficului. Condiția $f^{''} (x_{0}) = 0$ singură nu ajunge — cele două capcane standard: $f (x) = x^{4}$ are $f^{''} (0) = 0$ , dar rămâne convexă, deci $0$ nu este punct de inflexiune; $f (x) = \frac{1}{x}$ are $f^{''}$ care își schimbă semnul în $0$ , dar $0 \in / D$ , deci nu există inflexiune. În tangenta dusă într-un punct de inflexiune, graficul traversează tangenta.

Exemplu: Pentru $f (x) = x^{3} - 3 x$ : $f^{''} (x) = 6 x$ se anulează în $0$ și își schimbă semnul acolo, deci $0$ este punct de inflexiune al funcției, iar $(0, 0)$ al graficului. • Pentru $f (x) = x^{4}$ : $f^{''} (x) = 12 x^{2} \geq 0$ peste tot, deci nu există inflexiune.

Tabelul de variație — clasa 11

x f^{'} (x) f^{''} (x) f (x) - \infty - \infty + - ↗ \cap - 1 0 - 6 2 M - - ↘ \cap 0 - 3 0 0 I - + ↘ \cup 106 - 2 m + + ↗ \cup + \infty + \infty

Exemplul este $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 3 x$ , cu $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ și $f^{''} (x) = 6 x$ . Rândurile se scriu în ordinea $x$ , $f^{'} (x)$ , $f^{''} (x)$ , $f (x)$ ; rândul $f^{''}$ apare doar în tabelul complet, cel folosit la convexitate. Coloanele alternează: coloane-punct (valorile marcate de pe axă, inclusiv $\pm \infty$ ) și coloane-interval. În coloanele-punct se scriu valorile exacte, în cele de interval semnele $+$ sau $-$ pentru derivate și săgeata pentru funcție. Simbolurile: $↗$ strict crescătoare, $↘$ strict descrescătoare, $\cup$ convexă, $\cap$ concavă, $M$ maxim local, $m$ minim local, $I$ punct de inflexiune, $∄$ când derivata nu există. La un punct exclus din domeniu, rândurile derivatelor primesc $∣$ , iar rândul $f (x)$ cele două limite laterale. Sub fiecare tabel se scrie obligatoriu citirea lui în cuvinte.

Exemplu: Citirea tabelului de mai sus: $f$ este strict crescătoare pe $(- \infty, - 1]$ și pe $[1, + \infty)$ și strict descrescătoare pe $[- 1, 1]$ ; are maximul local $f (- 1) = 2$ și minimul local $f (1) = - 2$ ; este concavă pe $(- \infty, 0]$ și convexă pe $[0, + \infty)$ , cu punct de inflexiune $(0, 0)$ ; imaginea funcției este $R$ .

Optimizare: costul mediu și profitul maxim — clasa 11

\overline{C} (q) = \frac{C ( q )}{q}; Regula costului mediu: C^{'} (q_{0}) = \overline{C} (q_{0}); Regula profitului: V^{'} (q_{0}) = C^{'} (q_{0})

$C (q)$ este costul total al producerii a $q$ bucăți, $\overline{C} (q)$ costul mediu (lei pe bucată), $C^{'} (q)$ costul marginal, iar $V (q)$ venitul; profitul este $P (q) = V (q) - C (q)$ . Regula costului mediu: în punctul de cost mediu minim, costul marginal egalează costul mediu — se obține anulând derivata lui $\frac{C ( q )}{q}$ . Regula profitului: profitul este maxim acolo unde venitul marginal egalează costul marginal, adică $P^{'} (q_{0}) = 0$ . Bara din $\overline{C}$ este a treia folosire a acestei notații, după matricea extinsă $\overline{A}$ și dreapta reală încheiată $\overline{R}$ ; analog, $\overline{Q} (n)$ este productivitatea medie. În tabelul de variație, etichetele rândurilor se instanțiază: $\overline{C}^{'} (q)$ , $V^{'} (q)$ , $S^{'} (x)$ în loc de $f^{'} (x)$ . Se verifică întotdeauna că soluția găsită este în domeniul economic ( $q > 0$ ).

Exemplu: Pentru $C (q) = 2 q^{2} + 8 q + 200$ : $\overline{C} (q) = 2 q + 8 + \frac{200}{q}$ , cu $\overline{C}^{'} (q) = \frac{2 ( q - 10 ) ( q + 10 )}{q ^{2}}$ , deci minim în $q = 10$ , unde $\overline{C} (10) = 48$ lei pe bucată. Verificare: $C^{'} (q) = 4 q + 8$ , iar $C^{'} (10) = 48 = \overline{C} (10)$ ✓ — exact regula costului mediu.