Determinant caracteristic: definiție

Determinantul caracteristic (numit și minor caracteristic) al unei ecuații secundare $k$ , notat $Δ_{c a r}^{(k)}$ , se obține bordând minorul principal cu coeficienții acelei ecuații și cu coloana termenilor liberi corespunzători. Un sistem are exact atâția determinanți caracteristici câte ecuații secundare are.

Exemplu: Un sistem cu patru ecuații și $rang A = 2$ are doi determinanți caracteristici: $Δ_{c a r}^{(3)}$ și $Δ_{c a r}^{(4)}$ . După teorema lui Rouché, sistemul este compatibil dacă și numai dacă amândoi sunt nuli.

Vezi și: Teorema lui Rouché, Minor principal, Sistem compatibil

Întrebări frecvente

Cum se calculează un determinant caracteristic?

Bordezi minorul principal cu linia coeficienților ecuației secundare și cu coloana termenilor liberi, apoi calculezi determinantul. Pentru $x + 2 y + z = 4$ , $2 x + 3 y - z = 3$ , $3 x + 5 y = 7$ , rangul este 2, cu minorul principal $1223 = - 1$ , iar $Δ_{c a r}^{(3)} = 123235437 = 0$ : sistemul este compatibil.

Câți determinanți caracteristici are un sistem?

Exact $m - r$ , unde $m$ este numărul ecuațiilor, iar $r = rang A$ : câte unul pentru fiecare ecuație secundară. Fiecare are ordinul $r + 1$ . De exemplu, un sistem cu 5 ecuații și rangul 3 are doi determinanți caracteristici, de ordinul 4.

Ce înseamnă un determinant caracteristic nenul?

Sistemul este incompatibil, adică nu are soluții. Conform teoremei lui Rouché, un sistem este compatibil dacă și numai dacă toți determinanții caracteristici sunt nuli, deci este suficient unul nenul pentru incompatibilitate.

Când nu există determinanți caracteristici?

Când rangul matricei sistemului este egal cu numărul ecuațiilor, $r = m$ : atunci nu există ecuații secundare. Un astfel de sistem este compatibil oricare ar fi termenii liberi; de exemplu, un sistem de tip Cramer nu are niciun determinant caracteristic.