Dezvoltarea determinantului după o linie sau o coloană

Până acum ai două rețete de calcul: una pentru ordinul al doilea și una pentru ordinul al treilea, cu cele șase produse ale regulii lui Sarrus. Ai și definiția generală, valabilă pentru orice ordin $n$ — dar ea cere să parcurgi toate permutările din $S_n$: la ordinul $4$ înseamnă $24$ de termeni, la ordinul $5$ ajungi la $120$. Nimeni nu lucrează așa.

Lecția de față construiește unealta care rezolvă problema: o formulă care coboară ordinul cu o unitate. Un determinant de ordin $4$ devine o combinație de determinanți de ordin $3$, pe care îi știi calcula; unul de ordin $3$ devine o combinație de determinanți de ordin $2$. Formula se numește dezvoltarea determinantului după o linie (sau după o coloană) și este cea mai folosită metodă de calcul din tot capitolul. Ea aduce și o economie importantă: dacă alegi bine linia, o parte dintre termeni dispar înainte de a-i scrie.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii minorul ${\Delta }_{ij}$ al unui element, eliminând linia și coloana potrivite.
• Vei ști să treci de la minor la complementul algebric ${\delta }_{ij}$, cu semnul $(-1{)}^{i+j}$.
• Vei ști să dezvolți un determinant după orice linie sau orice coloană, cu același rezultat.
• Vei ști de ce funcționează formula, deducând-o din cei șase termeni ai ordinului $3$.
• Vei ști să alegi linia sau coloana cu cele mai multe zerouri, ca să scurtezi calculul.
• Vei ști să calculezi dintr-o privire determinantul unei matrice triunghiulare.

Hai să descoperim împreună

1. Problema care cere o metodă nouă

Pus în fața unui determinant de ordin $4$, primul reflex este să prelungești schema lui Sarrus, scriind încă trei coloane la dreapta. Nu se poate. Regula lui Sarrus și regula triunghiului sunt construite pe cei șase termeni ai ordinului al treilea și nu se extind la ordinul $4$: acolo definiția cere $24$ de termeni, iar orice schemă de diagonale ar produce cel mult $8$. Este greșeala numărul unu din capitol și o vom relua în lecția următoare, pe un contraexemplu numeric.

Ne trebuie, deci, o cale care să reducă ordinul. Ideea vine dintr-o observație despre definiția cu permutări: în fiecare dintre cele $n!$ produse apare exact un factor din linia întâi. Grupând termenii după acest factor, obținem $n$ grupe — și fiecare grupă va ascunde un determinant de ordin $n-1$.

2. Minorul și complementul algebric

Definiție. Fie $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$, cu $n\ge 2$. Se numește minorul elementului $a_{ij}$ determinantul de ordin $n-1$ obținut din $A$ prin eliminarea liniei $i$ și a coloanei $j$. Se notează ${\Delta }_{ij}$.

Practic: pui degetul pe elementul $a_{ij}$, tai linia lui și coloana lui, iar din ce rămâne calculezi determinantul. Să lucrăm pe matricea

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 1& 3& 4\\ 0& 5& -2\end{array}\right).$$

Pentru $a_{11}=2$ tăiem linia $1$ și coloana $1$, deci ${\Delta }_{11}=\left|\begin{array}{cc}3& 4\\ 5& -2\end{array}\right|=-6-20=-26$. Pentru $a_{12}=-1$ tăiem linia $1$ și coloana $2$: ${\Delta }_{12}=\left|\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& -2\end{array}\right|=-2$. Pentru $a_{13}=0$: ${\Delta }_{13}=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 5\end{array}\right|=5$.

Observă că indicii minorului sunt indicii elementului, nu ai matricei rămase: ${\Delta }_{23}$ este minorul elementului de pe linia $2$, coloana $3$.

Minorul singur nu ajunge însă: la ordinul $3$, termenii determinantului au semne alternante, iar semnul este dat de poziția elementului.

Definiție. Se numește complement algebric (sau cofactor) al elementului $a_{ij}$ numărul

$${\delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij}.$$

Semnul $(-1{)}^{i+j}$ nu se memorează ca formulă, ci se citește dintr-o tablă de semne care începe cu $+$ în colțul din stânga sus și alternează ca pe o tablă de șah:

La ordinul $4$ tabla se prelungește la fel: $+-+-$ pe prima linie, $-+-+$ pe a doua și așa mai departe. Regula rapidă: semnul e $+$ când $i+j$ este par și $-$ când $i+j$ este impar.

Pentru matricea $A$ de mai sus: ${\delta }_{11}=+{\Delta }_{11}=-26$, ${\delta }_{12}=-{\Delta }_{12}=2$, ${\delta }_{13}=+{\Delta }_{13}=5$.

3. Teorema de dezvoltare

Teoremă (dezvoltarea după o linie). Fie $A=(a_{ij})\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$, $n\ge 2$, și fie $i\in \{1,2,\dots ,n\}$ fixat. Atunci

$$\det A=a_{i1}{\delta }_{i1}+a_{i2}{\delta }_{i2}+\cdots +a_{in}{\delta }_{in}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{\delta }_{ij}.$$

Teoremă (dezvoltarea după o coloană). Cu $j$ fixat,

$$\det A=a_{1j}{\delta }_{1j}+a_{2j}{\delta }_{2j}+\cdots +a_{nj}{\delta }_{nj}=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{\delta }_{ij}.$$

Cele $2n$ dezvoltări posibile ($n$ linii și $n$ coloane) dau toate același număr. Că dezvoltarea după coloane e la fel de valabilă vine din proprietatea $\det ({}^{t}A)=\det A$, demonstrată în prima lecție de proprietăți: transpunerea schimbă liniile cu coloanele, dar nu schimbă valoarea.

În cuvinte: parcurgi o linie, înmulțești fiecare element cu complementul lui algebric și aduni rezultatele.

4. De ce funcționează: demonstrația la ordinul al treilea

Pornim de la cei șase termeni ai determinantului de ordin $3$, așa cum îi dă definiția:

$$\det A=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}.$$

Fiecare termen conține exact un factor din linia întâi. Grupăm după el:

$$\det A=a_{11}(a_{22}{a}_{33}-a_{23}{a}_{32})+a_{12}(a_{23}{a}_{31}-a_{21}{a}_{33})+a_{13}(a_{21}{a}_{32}-a_{22}{a}_{31}).$$

Recunoaștem în paranteze determinanți de ordin $2$: prima paranteză este ${\Delta }_{11}$, a treia este ${\Delta }_{13}$, iar a doua este $-{\Delta }_{12}$, pentru că ${\Delta }_{12}=a_{21}{a}_{33}-a_{23}{a}_{31}$. Deci

$$\det A=a_{11}{\Delta }_{11}-a_{12}{\Delta }_{12}+a_{13}{\Delta }_{13}=a_{11}{\delta }_{11}+a_{12}{\delta }_{12}+a_{13}{\delta }_{13},$$

adică exact dezvoltarea după linia întâi. Alternanța semnelor nu este o convenție: ea apare singură, din gruparea termenilor.

Pentru un ordin oarecare argumentul este același, doar mai lung de scris: în fiecare dintre cele $n!$ produse apare exact un factor de pe linia $i$, anume $a_{i\sigma (i)}$; grupăm produsele după valoarea $j=\sigma (i)$ și scoatem factorul comun $a_{ij}$ din fiecare grupă. Suma rămasă parcurge exact permutările liniilor și coloanelor rămase, adică minorul ${\Delta }_{ij}$, iar numărarea inversiunilor arată că semnul acumulat este tocmai $(-1{)}^{i+j}$.

5. Alegerea liniei: economia zerourilor

Formula funcționează pe orice linie, deci alege linia sau coloana cu cele mai multe zerouri: fiecare zero anulează un întreg determinant de ordin $n-1$, pe care nu-l mai calculezi.

Pe matricea $A$ de mai sus, linia $1$ are un zero. Dezvoltăm după ea:

$$\det A=2\cdot (-26)+(-1)\cdot 2+0\cdot 5=-52-2=-54.$$

Coloana $1$ are și ea un zero. Cu ${\Delta }_{21}=\left|\begin{array}{cc}-1& 0\\ 5& -2\end{array}\right|=2$ și ${\Delta }_{31}=\left|\begin{array}{cc}-1& 0\\ 3& 4\end{array}\right|=-4$ obținem ${\delta }_{21}=-2$, ${\delta }_{31}=-4$ și

$$\det A=2\cdot (-26)+1\cdot (-2)+0\cdot (-4)=-54.$$

Aceeași valoare, exact cât dă și regula lui Sarrus. Cele două căi se controlează reciproc — folosește-le împreună ori de câte ori ai timp.

6. Primul determinant de ordin 4

$$D=\left|\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 3\\ 0& 0& 2& 0\\ 4& 1& 0& -2\\ 3& -1& 5& 1\end{array}\right|.$$

Linia a doua are trei zerouri, deci dezvoltarea după ea are un singur termen nenul: $D=a_{23}{\delta }_{23}$. Tăiem linia $2$ și coloana $3$:

$${\Delta }_{23}=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 1& -2\\ 3& -1& 1\end{array}\right|=1+(-12)+(-12)-(9+2+8)=-23-19=-42,$$

unde am folosit regula lui Sarrus, permisă aici pentru că minorul are ordinul $3$. Semnul poziției $(2,3)$ este $(-1{)}^{2+3}=-1$, deci ${\delta }_{23}=42$ și

$$D=2\cdot 42=84.$$

Un determinant de ordin $4$ rezolvat cu un singur determinant de ordin $3$ — asta face alegerea liniei potrivite.

7. Matricele triunghiulare: determinantul dintr-o privire

Fie o matrice superior triunghiulară de ordin $4$ (toate elementele de sub diagonala principală sunt nule):

$$T=\left(\begin{array}{cccc}2& 5& -1& 3\\ 0& -3& 4& 1\\ 0& 0& 1& -2\\ 0& 0& 0& 5\end{array}\right).$$

Dezvoltăm după prima coloană: are un singur element nenul, $a_{11}=2$, cu semnul $+$, deci $\det T=2\cdot \left|\begin{array}{ccc}-3& 4& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 5\end{array}\right|$. Determinantul rămas este tot triunghiular, deci repetăm: $\det T=2\cdot (-3)\cdot 1\cdot 5=-30$.

Reținem: determinantul unei matrice triunghiulare (superior sau inferior) și, în particular, al unei matrice diagonale, este produsul elementelor de pe diagonala principală. În consecință, $\det I_n=1$ pentru orice $n$.

8. Ce se întâmplă dacă amesteci liniile: dezvoltarea încrucișată

Ce obții dacă înmulțești elementele liniei $i$ cu complemenții algebrici ai altei linii $k$? Pe matricea $A$ de mai sus, luăm linia a doua, $(1,3,4)$, și complemenții liniei întâi, $(-26,2,5)$:

$$1\cdot (-26)+3\cdot 2+4\cdot 5=-26+6+20=0.$$

Nu e o coincidență.

Propoziție. Pentru $i\ne k$ are loc $\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{\delta }_{kj}=0$.

Demonstrație. Fie $A^{\prime }$ matricea obținută din $A$ înlocuind linia $k$ cu o copie a liniei $i$. Ea are două linii identice, deci $\det A^{\prime }=0$, conform Proprietății 6 din lecția despre schimbarea liniilor. Pe de altă parte, complemenții liniei $k$ nu depind de elementele liniei $k$ (ea se elimină oricum), deci sunt aceiași pentru $A$ și pentru $A^{\prime }$. Dezvoltând $\det A^{\prime }$ după linia $k$ obținem ${\sum }_j{a}_{ij}{\delta }_{kj}$, care este așadar $0$. $■$

Pe această propoziție se sprijină construcția matricei adjuncte, la lecția despre inversa cu adjunctă. Deocamdată reține regula practică: complemenții unei linii se folosesc numai împreună cu elementele aceleiași linii.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Dezvoltare după prima linie, cu control prin Sarrus

Calculați $\det X$, unde $X=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 1& 0& 4\\ -2& 5& 1\end{array}\right)$, dezvoltând după prima linie.

Rezolvare. Minorii sunt ${\Delta }_{11}=\left|\begin{array}{cc}0& 4\\ 5& 1\end{array}\right|=-20$, ${\Delta }_{12}=\left|\begin{array}{cc}1& 4\\ -2& 1\end{array}\right|=9$, ${\Delta }_{13}=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 5\end{array}\right|=5$, iar complemenții ${\delta }_{11}=-20$, ${\delta }_{12}=-9$, ${\delta }_{13}=5$. Deci

$$\det X=2\cdot (-20)+(-1)\cdot (-9)+3\cdot 5=-40+9+15=-16.$$

Control cu regula lui Sarrus: $0+8+15-(0+40-1)=23-39=-16$ ✓.

Exemplul 2 — Coloana cu două zerouri

Calculați $\det Y$, unde $Y=\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 3\\ -2& 0& 1\\ 4& 6& 7\end{array}\right)$.

Rezolvare. Coloana a doua are două zerouri, deci dezvoltarea după ea are un singur termen: $\det Y=6{\delta }_{32}$. Minorul este ${\Delta }_{32}=\left|\begin{array}{cc}5& 3\\ -2& 1\end{array}\right|=5+6=11$, iar semnul poziției $(3,2)$ este $(-1{)}^{3+2}=-1$, deci ${\delta }_{32}=-11$ și

$$\det Y=6\cdot (-11)=-66.$$

Trei înmulțiri, în loc de cele șase produse ale regulii lui Sarrus.

Exemplul 3 — Ordin 4 cu o coloană aproape nulă

Calculați $\left|\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 3\\ 4& 0& -1& 5\\ 2& 3& 1& 0\\ -1& 0& 4& 2\end{array}\right|$.

Rezolvare. Coloana a doua are un singur element nenul, $a_{32}=3$. Dezvoltăm după ea:

$$D=3\cdot {\delta }_{32}=-3{\Delta }_{32},{\Delta }_{32}=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& -1& 5\\ -1& 4& 2\end{array}\right|.$$

Cu regula lui Sarrus, ${\Delta }_{32}=(-2-10+48)-(3+20+16)=36-39=-3$, deci $D=-3\cdot (-3)=9$.

Exemplul 4 — Ordin 4 fără zerouri comode

Calculați $\det Z$, unde $Z=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 3& -1& 2& 0\\ 2& 0& 1& 4\\ 1& 1& -1& 2\end{array}\right)$.

Rezolvare. Cea mai bogată în zerouri este linia întâi (are unul singur). Dezvoltăm după ea; termenul al treilea dispare, pentru că $a_{13}=0$.

$${\Delta }_{11}=\left|\begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ 0& 1& 4\\ 1& -1& 2\end{array}\right|=2,{\Delta }_{12}=\left|\begin{array}{ccc}3& 2& 0\\ 2& 1& 4\\ 1& -1& 2\end{array}\right|=18,{\Delta }_{14}=\left|\begin{array}{ccc}3& -1& 2\\ 2& 0& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right|=-2,$$

toți trei cu regula lui Sarrus. Semnele poziției dau ${\delta }_{11}=2$, ${\delta }_{12}=-18$, ${\delta }_{14}=(-1{)}^{1+4}(-2)=2$, deci

$$\det Z=1\cdot 2+2\cdot (-18)+0+1\cdot 2=2-36+2=-32.$$

Am plătit trei determinanți de ordin $3$. Se poate și mai ieftin: cu transformări pe linii rămâne un singur minor de ordin $3$ — metoda vine la lecția următoare.

Exemplul 5 — O ecuație cu determinant

Determinați numerele reale $x$ pentru care $\left|\begin{array}{ccc}x& 1& 1\\ 1& x& 1\\ 1& 1& x\end{array}\right|=0$.

Rezolvare. Dezvoltăm după prima linie:

$$D(x)=x(x^2-1)-1(x-1)+1(1-x)=x^3-x-x+1+1-x=x^3-3x+2.$$

Observăm că $x=1$ este rădăcină: $1-3+2=0$. Împărțind, $x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)=(x-1)(x-1)(x+2)=(x-1{)}^2(x+2)$.

Deci $D(x)=0$ pentru $x=1$ (rădăcină dublă) și $x=-2$. Control: $D(3)=27-9+2=20=(3-1{)}^2(3+2)$ ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră matricea $A(m)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& m& 6\\ 3& 1& m\end{array}\right)$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Calculați $\det A(2)$. b) Determinați valorile lui $m$ pentru care $\det A(m)=0$.

Rezolvare. a) Pentru $m=2$ dezvoltăm după prima linie:

$$\det A(2)=1(4-6)-2(4-18)+3(2-6)=-2+28-12=14.$$

b) Cu $m$ oarecare, aceeași dezvoltare:

$$\det A(m)=(m^2-6)-2(2m-18)+3(2-3m)=m^2-13m+36.$$

Ecuația $m^2-13m+36=0$ are discriminantul $169-144=25$, deci $m=4$ sau $m=9$. Control: pentru $m=2$ formula dă $4-26+36=14$ ✓.

Să exersăm

1. Pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& -2\\ 0& 4& 5\\ 6& -1& 2\end{array}\right)$, calculează minorii ${\Delta }_{11}$, ${\Delta }_{22}$ și ${\Delta }_{33}$.

2. Pentru aceeași matrice, calculează complemenții algebrici ${\delta }_{12}$, ${\delta }_{21}$ și ${\delta }_{23}$.

3. Calculează $\det A$ pentru matricea de la exercițiul 1, dezvoltând după prima linie.

4. Calculează același $\det A$ dezvoltând după coloana a treia și compară rezultatul cu cel de la exercițiul 3.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Minorul ${\Delta }_{23}$ și complementul algebric ${\delta }_{23}$ ale aceluiași element sunt întotdeauna egale."

6. Calculează $\left|\begin{array}{ccc}5& 4& 0\\ -1& 3& 0\\ 2& 7& 6\end{array}\right|$ alegând coloana cea mai convenabilă.

7. Calculează $\left|\begin{array}{cccc}3& 7& -1& 4\\ 0& 2& 5& 6\\ 0& 0& -4& 1\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right|$.

8. Calculează $\left|\begin{array}{cccc}2& 1& 3& -1\\ 0& 5& 0& 0\\ 1& -2& 4& 3\\ 6& 0& 1& 2\end{array}\right|$, dezvoltând după linia a doua.

9. Pentru matricea de la exercițiul 1, verifică numeric egalitatea $a_{21}{\delta }_{11}+a_{22}{\delta }_{12}+a_{23}{\delta }_{13}=0$ și explică, într-o frază, de ce trebuia să iasă $0$.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „La dezvoltarea unui determinant de ordin $3$ după linia a doua, semnele care însoțesc minorii sunt, în ordine, $+$, $-$, $+$."

11. Determină numerele reale $x$ pentru care $\left|\begin{array}{ccc}1& x& 1\\ 2& 1& 3\\ 1& 2& 1\end{array}\right|=0$.

12. (Problemă aplicată.) Un program care calculează determinanți cu definiția face $n!\cdot (n-1)$ înmulțiri la ordinul $n$. Calculează acest număr pentru $n=4$ și $n=5$ și compară-l cu cel al dezvoltării repetate după o linie, dat de $M(n)=n(M(n-1)+1)$, cu $M(2)=2$.

13. Calculează $\left|\begin{array}{cccc}2& -1& 0& 3\\ 1& 4& 2& -2\\ 0& 0& 5& 0\\ 3& 1& -1& 2\end{array}\right|$.

14. Explică, folosind dezvoltarea după o linie, de ce determinantul unei matrice care are o linie formată numai din zerouri este nul.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $B(m)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& m\\ 4& 9& m^2\end{array}\right)$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Calculați $\det B(5)$. b) Determinați valorile lui $m$ pentru care $\det B(m)=0$.

16. Calculează $\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 0\\ 3& -1& 4& 2\\ 2& 5& 1& -3\\ 0& 1& 2& 1\end{array}\right|$, dezvoltând după prima linie.

17. Fie $C=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& -1& 4\\ 5& 2& 0\end{array}\right)$. Calculează $\det C$ dezvoltând după prima linie, apoi $\det ({}^{t}C)$ dezvoltând după prima coloană, și explică de ce cele două rezultate coincid.

18. (Provocare.) Demonstrează, prin inducție după $n$, că determinantul unei matrice superior triunghiulare de ordin $n$ este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală.

Răspunsuri și explicații

1. ${\Delta }_{11}=\left|\begin{array}{cc}4& 5\\ -1& 2\end{array}\right|=8+5=13$; ${\Delta }_{22}=\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ 6& 2\end{array}\right|=6+12=18$; ${\Delta }_{33}=\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 4\end{array}\right|=12$.

2. ${\Delta }_{12}=\left|\begin{array}{cc}0& 5\\ 6& 2\end{array}\right|=-30$, deci ${\delta }_{12}=30$; ${\Delta }_{21}=\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ -1& 2\end{array}\right|=0$, deci ${\delta }_{21}=0$; ${\Delta }_{23}=\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 6& -1\end{array}\right|=-9$, deci ${\delta }_{23}=9$.

3. Mai avem nevoie de ${\delta }_{13}={\Delta }_{13}=\left|\begin{array}{cc}0& 4\\ 6& -1\end{array}\right|=-24$. Atunci $\det A=3\cdot 13+1\cdot 30+(-2)\cdot (-24)=117$.

4. Complemenții coloanei a treia sunt $-24$, $9$ și $12$, deci $\det A=(-2)(-24)+5\cdot 9+2\cdot 12=117$ — aceeași valoare, cum garantează teorema.

5. Fals. ${\delta }_{23}=(-1{)}^{2+3}{\Delta }_{23}=-{\Delta }_{23}$, deci cele două sunt opuse. Egalitatea ${\delta }_{ij}={\Delta }_{ij}$ are loc exact când $i+j$ este par.

6. Coloana a treia are două zerouri: $\det =6{\delta }_{33}=6\cdot 19=114$, unde ${\delta }_{33}=\left|\begin{array}{cc}5& 4\\ -1& 3\end{array}\right|=19$.

7. Matricea este superior triunghiulară, deci determinantul este produsul diagonalei: $3\cdot 2\cdot (-4)\cdot 2=-48$.

8. Linia a doua are un singur element nenul, $a_{22}=5$, cu semnul $+$. Minorul: ${\Delta }_{22}=\left|\begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 1& 4& 3\\ 6& 1& 2\end{array}\right|=69-(-12)=81$, deci determinantul este $5\cdot 81=405$.

9. $0\cdot 13+4\cdot 30+5\cdot (-24)=120-120=0$. Trebuia să iasă $0$: suma este dezvoltarea, după linia întâi, a determinantului matricei obținute din $A$ înlocuind linia $1$ cu linia $2$ — o matrice cu două linii identice.

10. Fals. Semnele sunt date de $(-1{)}^{i+j}$ cu $i=2$, deci sunt $-$, $+$, $-$. Șirul $+$, $-$, $+$ este cel al liniilor impare. Confuzia este una dintre cele mai frecvente surse de rezultat cu semn schimbat.

11. Dezvoltăm după prima linie: $1(1-6)-x(2-3)+1(4-1)=-5+x+3=x-2$, deci determinantul este nul pentru $x=2$. Control: pentru $x=0$ formula dă $-2$, cât și calculul direct ✓.

12. Cu definiția: $4!\cdot 3=72$ înmulțiri pentru $n=4$ și $5!\cdot 4=480$ pentru $n=5$. Cu dezvoltarea: $M(3)=3(2+1)=9$, $M(4)=4(9+1)=40$, $M(5)=5(40+1)=205$. Dezvoltarea face aproape de două ori mai puțin lucru la $n=4$ și de peste două ori mai puțin la $n=5$, iar avantajul crește cu ordinul.

13. Linia a treia are un singur element nenul, $a_{33}=5$, cu semnul $+$. Minorul: ${\Delta }_{33}=\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 1& 4& -2\\ 3& 1& 2\end{array}\right|=25-30=-5$, deci determinantul este $5\cdot (-5)=-25$.

14. Dezvoltăm după chiar acea linie: toți termenii sumei ${\sum }_j{a}_{ij}{\delta }_{ij}$ au factorul $a_{ij}=0$, deci suma este $0$. Argumentul nu depinde de ordin și nu cere niciun calcul de minori.

15. a) $\det B(5)=(75-45)-(50-20)+(18-12)=6$. b) În general, $\det B(m)=(3m^2-9m)-(2m^2-4m)+6=m^2-5m+6=(m-2)(m-3)$, deci $\det B(m)=0$ pentru $m=2$ și $m=3$. Control: $m=5$ dă $3\cdot 2=6$ ✓. Rezultatul era previzibil: pentru $m=2$ coloanele $1$ și $3$ devin identice, iar pentru $m=3$, coloanele $2$ și $3$.

16. Prima linie are două zerouri, deci rămân doi termeni. ${\Delta }_{11}=\left|\begin{array}{ccc}-1& 4& 2\\ 5& 1& -3\\ 1& 2& 1\end{array}\right|=7-28=-21$ și ${\Delta }_{12}=\left|\begin{array}{ccc}3& 4& 2\\ 2& 1& -3\\ 0& 2& 1\end{array}\right|=11+10=21$, deci ${\delta }_{11}=-21$, ${\delta }_{12}=-21$ și determinantul este $1\cdot (-21)+2\cdot (-21)=-63$.

17. $\det C=2(-8)-3(-20)+1\cdot 5=-16+60+5=49$. Transpusa este ${}^{t}C=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 5\\ 3& -1& 2\\ 1& 4& 0\end{array}\right)$, iar dezvoltarea după prima ei coloană dă $2(-8)-3(-20)+5=49$. Coincid pentru că $\det ({}^{t}C)=\det C$, iar prima coloană a transpusei este exact prima linie a lui $C$: sunt aceleași socoteli, scrise altfel.

18. Pasul de verificare: pentru $n=2$, $\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ 0& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}$. Pasul de inducție: presupunem afirmația adevărată la ordinul $n-1$ și fie $A$ superior triunghiulară de ordin $n$. Prima coloană are un singur element eventual nenul, deci dezvoltarea după ea dă $\det A=a_{11}{\Delta }_{11}$. Matricea minorului ${\Delta }_{11}$ este tot superior triunghiulară, de ordin $n-1$, cu diagonala $a_{22},\dots ,a_{nn}$, deci ${\Delta }_{11}=a_{22}\cdots a_{nn}$ din ipoteza de inducție. Așadar $\det A=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}$, pentru orice $n\ge 2$.

De reținut

• Minorul ${\Delta }_{ij}$ se obține tăind linia $i$ și coloana $j$; complementul algebric este ${\delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij}$.
• Dezvoltarea după linia $i$: $\det A={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{\delta }_{ij}$; după coloana $j$: $\det A={\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}{\delta }_{ij}$. Toate cele $2n$ dezvoltări dau același număr.
• Alege linia sau coloana cu cele mai multe zerouri — fiecare zero șterge un determinant de ordin $n-1$ din calcul.
• Determinantul unei matrice triunghiulare sau diagonale este produsul diagonalei principale; în particular $\det I_n=1$.
• Elementele unei linii înmulțite cu complemenții ALTEI linii dau $0$.

Greșeli frecvente

• Uitarea semnului $(-1{)}^{i+j}$. Se dezvoltă cu minorii în loc de complemenți și rezultatul iese cu semne amestecate. Scrie tabla de semne pe ciornă înainte de a calcula.
• Pornirea cu $+$ pe orice linie. Șirul $+,-,+$ este al liniilor și coloanelor impare; pe linia a doua se începe cu $-$.
• Extinderea regulii lui Sarrus la ordinul $4$. Sarrus și regula triunghiului se aplică exclusiv la ordinul $3$; la ordinul $4$ merg doar dezvoltarea și transformările elementare.
• Tăierea greșită a liniei sau a coloanei. La ${\Delta }_{32}$ se elimină linia $3$ și coloana $2$, nu invers. Verifică: elementul $a_{32}$ nu trebuie să apară în minor.
• Amestecarea liniilor la dezvoltare. Complemenții trebuie să fie ai aceleiași linii pe care o parcurgi; altfel suma iese $0$.

Aplică acasă

1. Tabla de semne de buzunar. Desenează pe un carton tabla de semne de ordin $4$ (tablă de șah, cu $+$ în colțul din stânga sus) și ține-o la vedere o săptămână, cât lucrezi determinanți. După câteva zile o vei „vedea" direct pe matrice.

2. Aceeași matrice, patru drumuri. Alege o matrice de ordin $3$ cu numere între $-5$ și $5$ și calculează-i determinantul dezvoltând după fiecare dintre cele trei linii, apoi cu regula lui Sarrus. Toate patru trebuie să dea același număr; dacă unul iese diferit, ai găsit locul în care greșești sistematic.

3. Vânătoarea de zerouri. Ia zece determinanți de ordin $3$ și $4$ dintr-o culegere și, fără să-i calculezi, notează pentru fiecare linia sau coloana după care ai dezvolta. În peste jumătate dintre cazuri, alegerea bună se vede din prima privire.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce metoda de calcul folosită în tot restul capitolului: dezvoltarea determinantului după o linie. Are trei componente, iar elevii le pierd de obicei pe rând: tehnica minorului (ce tai și ce rămâne), semnul poziției (sursa clasică de greșeli) și strategia (alegerea liniei cu cele mai multe zerouri), care se învață prin repetiție.

De verificat în caiet: (1) minorul ${\Delta }_{ij}$ nu conține niciun element de pe linia $i$ sau coloana $j$; (2) semnele sunt luate din poziție, nu în ordinea $+,-,+$ automat; (3) rezultatul este confirmat pe o a doua cale — altă linie, sau regula lui Sarrus la ordinul $3$; (4) alegerea liniei este justificată în scris.

Întrebări de control: „Care este minorul lui $a_{32}$?"; „Ce semn are poziția $(2,3)$?"; „După ce linie ai dezvolta aici și de ce?"; „Cât este determinantul unei matrice triunghiulare?".

La BAC M1 tema apare aproape în fiecare variantă: determinanți de ordin $3$ de calculat, determinanți cu parametru pentru care se cere anularea, matrice triunghiulare recunoscute dintr-o privire. Semn că elevul a înțeles: alege singur linia după care dezvoltă și își verifică rezultatul pe a doua cale, fără să i se ceară.

Întrebări frecvente

Ce este minorul unui element dintr-un determinant? Este determinantul de ordin $n-1$ care rămâne după ce elimini linia și coloana pe care se află elementul. Se notează ${\Delta }_{ij}$, unde $i$ este linia și $j$ coloana elementului. Minorul nu conține niciun număr de pe linia $i$ sau de pe coloana $j$.

Care este diferența dintre minor și complement algebric? Complementul algebric este minorul înmulțit cu semnul poziției: ${\delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij}$. Când $i+j$ este par, cele două coincid; când $i+j$ este impar, sunt numere opuse. În dezvoltarea determinantului se folosesc complemenții, nu minorii.

Cum se dezvoltă un determinant după o linie? Iei fiecare element al liniei, îl înmulțești cu complementul lui algebric și aduni produsele: $\det A=a_{i1}{\delta }_{i1}+\cdots +a_{in}{\delta }_{in}$. Același rezultat se obține după orice altă linie sau după orice coloană.

După ce linie e cel mai bine să dezvolt? După linia sau coloana cu cele mai multe zerouri: fiecare zero anulează un termen întreg, adică un determinant de ordin $n-1$ pe care nu-l mai calculezi. Dacă niciuna nu are zerouri, alege una cu numere mici.

Se poate folosi regula lui Sarrus la un determinant de ordin 4? Nu. Regula lui Sarrus și regula triunghiului sunt valabile exclusiv la ordinul $3$. La ordinul $4$ determinantul are $24$ de termeni, iar orice schemă de diagonale ar da cel mult $8$. Acolo se dezvoltă după o linie sau se fac transformări elementare.

Cât este determinantul unei matrice triunghiulare? Este produsul elementelor de pe diagonala principală, indiferent de ordin și de sensul triunghiului. În particular, $\det I_n=1$.

Ce se întâmplă dacă înmulțesc o linie cu complemenții altei linii? Rezultatul este întotdeauna $0$, pentru că suma obținută este dezvoltarea unui determinant cu două linii identice. Pare o curiozitate, dar este exact ingredientul care face să funcționeze formula inversei cu matricea adjunctă.