Bac M1 2010, sesiunea august-septembrie — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2010 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026 · Baremul oficial al probei are o greșeală de tipar

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M1, în sesiunea august-septembrie 2010 a examenului național de bacalaureat — Varianta 6, cea extrasă în ziua examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul emis de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, rând cu rând, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare. În 2010 sigla profilului era încă „M1"; denumirea de azi, „M_mate-info", apare abia din modelul publicat pentru sesiunea 2013. Structura probei este însă aceeași ca astăzi: trei subiecte, trei ore, nouăzeci de puncte din itemi plus zece din oficiu.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul din august 2010:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere reale: compararea a două numere iraționale prin aducerea lor sub același radical — clasa a IX-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția modul: mulțimea valorilor (imaginea) unei funcții, demonstrată prin dublă incluziune — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: discriminantul și condiția de rădăcină dublă — clasa a IX-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Combinatorică: termenul general al binomului lui Newton și condiția ca el să fie rațional — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: pantele a două drepte și condiția de paralelism — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Probabilități: cazuri favorabile pe cazuri posibile, cu filtrarea printr-o ecuație trigonometrică — clasele a IX-a – a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice și determinanți: puterile unei matrice cu structură de permutare, determinantul unei matrice cu parametru și condiția de inversabilitate — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Grupuri: partea stabilă a unei legi de compoziție, forma canonică a legii, axiomele grupului și izomorfismul de grupuri — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Studiul funcției: ecuația tangentei, asimptota orizontală și o limită de șir care combină o sumă telescopică cu limita remarcabilă a numărului $e$ — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Șiruri de integrale: calculul unei sume de integrale prin simplificarea integrandului, monotonia șirului din inegalități între integranzi și limita lui prin încadrare — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea august 2010. Subiectul I este cel mai „de definiție" din toată perioada: itemul $2$ cere o demonstrație prin dublă incluziune, lucru neobișnuit pentru o cerință de cinci puncte, iar itemul $1$ nu se rezolvă cu calculatorul, ci ridicând ambele numere la puterea a treia. Subiectul al II-lea este clasicul cuplu matrice + structură algebrică: problema $1$ trăiește dintr-o singură observație — $A^3=a{I}_3$ — din care ies toate cele trei subpuncte; problema $2$ este rețeta completă a legii de compoziție, de la partea stabilă până la izomorfism, iar cheia ei este forma canonică $x\ast y=2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}$. Subiectul al III-lea închide proba cu două piese grele: o limită de șir în care suma telescopică se împerechează cu limita remarcabilă a numărului $e$, și un șir de integrale rezolvat integral prin inegalități, fără nicio primitivă calculată.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{1}{e}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: mulțimea valorilor scrisă fără dubla incluziune; „grup" declarat fără toate cele trei axiome plus partea stabilă; izomorfismul demonstrat fără bijectivitate; ecuația tangentei scrisă fără valoarea derivatei în punct; monotonia unui șir de integrale afirmată fără inegalitatea dintre integranzi.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Radicali: $k\sqrt[3]{u}=\sqrt[3]{k^{3}u}$ — două rădăcini cubice se compară comparând radicanzii. Imaginea unei funcții: $\mathrm{Im}f=\{f(x)\mid x\in D\}$; egalitatea a două mulțimi se arată prin dublă incluziune. Ecuația de gradul al doilea: $\Delta =b^2-4ac$; două soluții reale egale $⟺\Delta =0$. Binomul lui Newton: $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$. Panta: $m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$; două drepte neverticale sunt paralele $⟺$ au aceeași pantă. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$.
• Matrice: $(AB{)}^n$ nu este $A^n{B}^n$ decât dacă matricele comută; $\det (AB)=\det A\cdot \det B$, deci $\det \left(A^k\right)=(\det A{)}^k$; o matrice pătratică este inversabilă $⟺$ determinantul ei este nenul.
• Legi de compoziție și grupuri: $(G,\ast )$ este grup dacă legea este bine definită pe $G$ (parte stabilă), asociativă, are element neutru și fiecare element are simetric în $G$. Un izomorfism de grupuri este o funcție bijectivă cu $f(x\ast y)=f(x)\cdot f(y)$ — ambele condiții se verifică, niciuna nu o implică pe cealaltă.
• Derivate și limite: ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$ este $y-f\left(x_0\right)=f^{\prime }\left(x_0\right)(x-x_0)$; dreapta $y=\ell$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ dacă $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$, finită; limita remarcabilă ${\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t\to e$ când $t\to \pm \infty$, folosită sub forma $u_n^{v_n}=e^{v_n\ln u_n}$.
• Șiruri de integrale: integrala păstrează inegalitatea — dacă $g\le h$ pe $[a,b]$, atunci ${\int }_a^{b}g\le {\int }_a^{b}h$; criteriul cleștelui pentru limita unui șir încadrat între două șiruri cu aceeași limită; ${\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}$.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• ⚠️ $I_3$ și $I_n$ nu sunt din aceeași familie. La itemul $7$, $I_3$ este matricea unitate de ordinul al treilea, cea cu $1$ pe diagonală și $0$ în rest. La itemul $10$, $I_n$ este termenul de rang $n$ al unui șir de integrale, adică un număr real. Aceeași literă, două obiecte fără nicio legătură — se citește din context, dar la examen merită scris explicit ce înseamnă litera în fiecare rezolvare.
• Litera $f$ denumește două obiecte: funcția-izomorfism $f(x)=2x-3$ de la itemul $8$, subpunctul c), definită doar pe $M$, și funcția $f(x)=\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt[3]{2x+1}$ de la itemul $9$, definită pe $\mathbb{R}$. Litera $A$ este mulțimea de unghiuri de la itemul $6$ și matricea de la itemul $7$; litera $a$ este ordonata necunoscută a punctului $D$ la itemul $5$ și parametrul matricei la itemul $7$.
• Litera $m$ apare în trei roluri: parametrul ecuației de gradul al doilea la itemul $3$, notația consacrată a pantei ($m_{AB}$, $m_{CD}$) la itemul $5$ și parametrul legii de compoziție la itemul $8$.
• Elementul neutru al grupului de la itemul $8$ este numărul $2$, nu litera $e$ — de aceea nu există ciocnire cu numărul lui Euler, care apare o singură dată în toată proba, la itemul $9$, subpunctul c), în rezultatul $\frac{1}{e}$. Legea de compoziție se scrie $\ast$, exact ca în subiectul oficial.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Care dintre numerele $2\sqrt[3]{6}$ și $3\sqrt[3]{3}$ este mai mare?

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați mulțimea valorilor funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|$.

Itemul 3 (5 puncte)

Determinați $m\in \mathbb{R}$ pentru care ecuația $x^2-x+m^2=0$ are două soluții reale egale.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați numărul termenilor raționali din dezvoltarea ${\left(1+\sqrt[4]{2}\right)}^{41}$.

Itemul 5 (5 puncte)

În sistemul de coordonate $xOy$ se consideră punctele $A(2,1)$, $B(-2,3)$, $C(1,-3)$ și $D(4,a)$, unde $a\in \mathbb{R}$. Determinați $a\in \mathbb{R}$ astfel încât dreptele $AB$ și $CD$ să fie paralele.

Itemul 6 (5 puncte)

Fie mulțimea $A=\left\{0;\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2};\pi ;\frac{3\pi }{2}\right\}$. Care este probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea $A$, acesta să fie soluție a ecuației ${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x=1$?

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Fie matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ a& 0& 0\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$. Pentru $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, notăm $B_n=A^n+A^{n+1}+A^{n+2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $A^{2010}=a^{670}\cdot I_3$.

b) (5 puncte) Determinați $a\in \mathbb{R}$ pentru care $\det \left(B_1\right)=0$.

c) (5 puncte) Determinați $a\in \mathbb{R}$ pentru care toate matricele $B_n$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ sunt inversabile.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $\mathbb{R}$ se definește legea $x\ast y=2xy-3x-3y+m$, $m\in \mathbb{R}$. Fie mulțimea $M=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{3}{2}\right\}$.

a) (5 puncte) Determinați $m\in \mathbb{R}$ astfel încât $x\ast y\in M$, pentru orice $x,y\in M$.

b) (5 puncte) Pentru $m=6$ arătați că $(M,\ast )$ este grup.

c) (5 puncte) Pentru $m=6$, demonstrați că funcția $f:M\to {\mathbb{R}}^{\ast }$, $f(x)=2x-3$ este un izomorfism între grupurile $(M,\ast )$ și $\left({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot \right)$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt[3]{2x+1}$.

a) (5 puncte) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale la graficul funcției $f$ spre $+\infty$.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{f(1)+f(2)+\dots +f(n)}{-\sqrt[3]{2n+1}}\right)}^{\sqrt[3]{2n}}$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră șirul $(I_n{)}_{n\ge 1}$, $I_n={\int }_0^1\frac{x^{n}dx}{x^2+x+1}$.

a) (5 puncte) Calculați $I_1+I_2+I_3$.

b) (5 puncte) Arătați că șirul $(I_n{)}_{n\ge 1}$ este descrescător.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii august-septembrie 2010; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — compararea a două numere iraționale.

Numerele nu se pot compara direct, pentru că fiecare are un factor în fața radicalului. Se bagă factorul sub radical, folosind $k\sqrt[3]{u}=\sqrt[3]{k^{3}u}$. Pentru primul număr, $k=2$, deci $k^3=8$: $$2\sqrt[3]{6}=\sqrt[3]{8\cdot 6}=\sqrt[3]{48}\text{(2 p)}.$$ Pentru al doilea, $k=3$, deci $k^3=27$: $$3\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{27\cdot 3}=\sqrt[3]{81}\text{(2 p)}.$$ Funcția rădăcină cubică este strict crescătoare, deci ordinea radicalilor este ordinea radicanzilor; cum $48<81$, $$2\sqrt[3]{6}<3\sqrt[3]{3},\text{ deci }3\sqrt[3]{3}\text{ este mai mare}\text{(1 p)}.$$ (Același drum, scris cu puteri: $(2\sqrt[3]{6}{)}^3=8\cdot 6=48$ și $(3\sqrt[3]{3}{)}^3=27\cdot 3=81$, iar ridicarea la puterea a treia păstrează ordinea numerelor reale. Control numeric: $2\sqrt[3]{6}\approx 3,634$ și $3\sqrt[3]{3}\approx 4,327$. Unde se greșește de obicei: se compară doar radicanzii, $6$ cu $3$, uitând factorii din față — ar da răspunsul invers.)

Itemul 2. (5 p) — mulțimea valorilor funcției modul.

Mulțimea valorilor (imaginea) unei funcții este mulțimea tuturor numerelor pe care funcția chiar le ia. Egalitatea a două mulțimi se arată prin dublă incluziune. Prima incluziune: modulul este prin definiție nenegativ, deci nicio valoare a funcției nu poate fi negativă: $$|x|\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}⟹\mathrm{Im}f\subset [0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ A doua incluziune: orice număr $x\ge 0$ este atins de funcție, chiar în el însuși, pentru că modulul unui număr nenegativ este numărul însuși: $$x\ge 0⟹x=|x|=f(x)⟹[0,+\infty )\subset \mathrm{Im}f\text{(2 p)}.$$ Cele două incluziuni se închid una pe alta, deci $$\mathrm{Im}f=[0,+\infty )\text{(1 p)}.$$ (De ce nu se poate sări peste a doua incluziune: prima singură arată doar că valorile stau ÎN $[0,+\infty )$, nu că le acoperă pe toate — cu ea singură, imaginea ar putea fi și $\{0\}$, și $[0,1]$. A doua incluziune este cea care spune că nicio valoare nenegativă nu lipsește. Unde se greșește de obicei: se răspunde $\mathbb{R}$, confundând mulțimea valorilor cu codomeniul declarat în enunț — codomeniul este unde „încap" valorile, imaginea este unde ele chiar ajung.)

Itemul 3. (5 p) — rădăcină dublă la ecuația de gradul al doilea.

Ecuația $x^2-x+m^2=0$ are coeficienții $a=1$, $b=-1$, $c=m^2$, deci discriminantul este $$\Delta =b^2-4ac=1-4m^2\text{(2 p)}.$$ Cele două soluții ale unei ecuații de gradul al doilea, $\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$, coincid exact când radicalul se anulează: $$\text{ecuația are doua˘ soluții egale}⟺\Delta =0\text{(1 p)}.$$ Rezolvând $1-4m^2=0$, adică $m^2=\frac{1}{4}$: $$\Delta =0⟺\mathbf{m}=\pm \frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ (Verificare pentru $m=\frac{1}{2}$: ecuația devine $x^2-x+\frac{1}{4}=0$, adică ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2=0$, cu rădăcina dublă $\frac{1}{2}$. Aceeași ecuație iese și pentru $m=-\frac{1}{2}$, pentru că în ecuație intră $m^2$, nu $m$ — de aceea răspunsul are două valori. Unde se greșește de obicei: se scrie $m=\frac{1}{2}$ singur, uitând soluția negativă; sau se confundă condiția de rădăcini egale cu $\Delta >0$.)

Itemul 4. (5 p) — termeni raționali în dezvoltarea binomului.

În dezvoltarea ${\left(1+\sqrt[4]{2}\right)}^{41}$, termenul general se scrie cu formula binomului lui Newton, $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$, cu $n=41$, $a=1$ și $b=\sqrt[4]{2}$. Cum $1$ la orice putere face $1$, rămâne $$T_{k+1}=C_{41}^k\sqrt[4]{2^k}=C_{41}^k\cdot 2^{\frac{k}{4}},k\in \{0,1,\dots ,41\}\text{(2 p)}.$$ Coeficientul binomial $C_{41}^k$ este întreg, deci termenul este rațional exact când $2^{\frac{k}{4}}$ este rațional, adică exact când exponentul $\frac{k}{4}$ este întreg: $$T_{k+1}\in \mathbb{Q}⟺4\text{divide}k\text{(1 p)}.$$ Multiplii lui $4$ dintre $0$ și $41$ sunt $0,4,8,\dots ,40$, adică $\frac{40}{4}+1$ numere: $$\text{sunt }11\text{ termeni raționali}\text{(2 p)}.$$ (De ce „exact când": $2^{1/4}$, $2^{1/2}$ și $2^{3/4}$ sunt iraționale, deci un rest nenul al lui $k$ la împărțirea cu $4$ face termenul irațional. Unde se greșește de obicei: se numără multiplii lui $4$ până la $41$ uitând pe $0$, ceea ce dă $10$; sau se numără termenii de la $1$ la $41$, uitând că dezvoltarea are $42$ de termeni, de la $k=0$ la $k=41$. Notă: baremul oficial tipărește la acest rând $C_{k+1}^k$ în loc de $C_{41}^k$ — este o eroare de tipar, corectată aici.)

Itemul 5. (5 p) — paralelism prin pante, în reper cartezian.

Două drepte neverticale sunt paralele exact când au aceeași pantă, deci condiția este $$m_{AB}=m_{CD}\text{(1 p)}.$$ Panta unei drepte prin două puncte este raportul dintre diferența ordonatelor și diferența absciselor. Pentru $A(2,1)$, $B(-2,3)$ și pentru $C(1,-3)$, $D(4,a)$: $$m_{AB}=\frac{3-1}{-2-2}=-\frac{1}{2}\text{ și }{m}_{CD}=\frac{a-(-3)}{4-1}=\frac{a+3}{3}\text{(2 p)}.$$ Egalând cele două pante, $\frac{a+3}{3}=-\frac{1}{2}$, de unde $2(a+3)=-3$: $$\text{finalizare: }\mathbf{a}=-\frac{9}{2}\text{(2 p)}.$$ (Control: cu $a=-\frac{9}{2}$ punctul $D$ este $\left(4,-\frac{9}{2}\right)$, iar $m_{CD}=\frac{-\frac{9}{2}+3}{3}=\frac{-\frac{3}{2}}{3}=-\frac{1}{2}$ — exact panta lui $AB$. Cele două drepte sunt paralele propriu-zis, nu confundate: $C(1,-3)$ nu se află pe dreapta $AB$, a cărei ecuație este $y=-\frac{1}{2}x+2$ și care în $x=1$ dă $\frac{3}{2}\ne -3$. Unde se greșește de obicei: se calculează panta răsturnat, ca raport al diferenței absciselor la diferența ordonatelor; sau se scriu cele două diferențe în ordini diferite, ceea ce schimbă semnul.)

Itemul 6. (5 p) — probabilitate filtrată printr-o ecuație trigonometrică.

Se verifică pe rând fiecare dintre cele cinci elemente ale mulțimii $A$. Pentru $x=0$: ${\sin }^{3}0+{\cos }^{3}0=0+1=1$, convine. Pentru $x=\frac{\pi }{2}$: $1+0=1$, convine. Pentru $x=\frac{\pi }{6}$: $\frac{1}{8}+\frac{3\sqrt{3}}{8}\approx 0,77\ne 1$. Pentru $x=\pi$: $0+(-1)=-1$. Pentru $x=\frac{3\pi }{2}$: $-1+0=-1$. Așadar $${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x=1,x\in A,\text{numai pentru }x\in \left\{0;\frac{\pi }{2}\right\}\text{(3 p)}.$$ Mulțimea $A$ are cinci elemente, deci cinci cazuri posibile, iar cazurile favorabile sunt două: $$P=\frac{2}{5}\text{(2 p)}.$$ (De ce doar acestea, și fără verificare element cu element: din ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ rezultă ${\sin }^{3}x\le {\sin }^{2}x$ și ${\cos }^{3}x\le {\cos }^{2}x$, deci ${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x\le 1$, cu egalitate exact când fiecare inegalitate este egalitate, adică atunci când sinusul și cosinusul iau doar valorile $0$ și $1$. Unde se greșește de obicei: se scrie probabilitatea ca număr de cazuri favorabile, fără împărțirea la cazurile posibile; sau se confundă ${\sin }^{3}x$ cu $\sin \left(3x\right)$.)

Itemul 7. (15 p) — puterile unei matrice de ordinul al treilea cu parametru.

a) (5 p) Matricea $A$ mută liniile una peste alta, deci puterile ei se calculează ușor. Înmulțind $A$ cu ea însăși: $$A^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ a& 0& 0\\ 0& a& 0\end{array}\right)\text{(1 p)}.$$ Încă o înmulțire cu $A$ readuce matricea la forma diagonală, cu $a$ pe diagonală: $$A^3=a{I}_3\text{(2 p)}.$$ Aici $I_3$ este matricea unitate de ordinul al treilea. Cum $2010=3\cdot 670$, puterea cerută se scrie ca putere a lui $A^3$, iar constanta $a$ iese în fața matricei unitate: $$A^{2010}=(A^3{)}^{670}=(a{I}_3{)}^{670}={\mathbf{a}}^{670}{\mathbf{I}}_3\text{(2 p)}.$$ (Control pe determinanți: $\det A=a$, deci $\det \left(A^{2010}\right)=a^{2010}$; pe de altă parte $\det \left(a^{670}{I}_3\right)=(a^{670}{)}^3=a^{2010}$ — se potrivește. Unde se greșește de obicei: se scrie $(a{I}_3{)}^{670}=a{I}_3$, uitând că scalarul se ridică și el la putere; sau se calculează $A^4$, $A^5$, … la nesfârșit, fără să se observe că $A^3$ este scalară și că de acolo totul se repetă.)

b) (5 p) Pentru $n=1$, adunând cele trei puteri deja calculate element cu element: $$B_1=A+A^2+A^3=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ a& a& 1\\ a& a& a\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Determinantul se calculează scoțând factorul comun $a$ de pe prima coloană și dezvoltând: $$\begin{array}{rl}\det \left(B_1\right)& =a(a^2-2a+1)\\ & =a(a-1{)}^2\text{(2 p)}.\end{array}$$ Un produs este nul exact când un factor este nul: $$\det \left(B_1\right)=0⟺\mathbf{a}=0\text{ sau }\mathbf{a}=1\text{(1 p)}.$$ (Control numeric: pentru $a=2$ formula dă $2\cdot 1=2$, iar dezvoltarea directă a determinantului $\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 2& 2& 1\\ 2& 2& 2\end{array}\right|$ dă tot $2$. Unde se greșește de obicei: se adună doar $A$ și $A^2$, uitând $A^3=a{I}_3$, care este chiar cel care aduce $a$ pe diagonală.)

c) (5 p) Toate puterile lui $A$ pornesc din același loc, deci $B_n$ se scrie cu $B_1$ scos factor: $$\begin{array}{rl}{B}_n& =A^n+A^{n+1}+A^{n+2}\\ & =A^{n-1}(A+A^2+A^3)\\ & =A^{n-1}{B}_1\text{(1 p)}.\end{array}$$ Criteriul de inversabilitate al unei matrice pătratice este determinantul nenul: $$B_n\text{inversabila˘}⟺\det \left(B_n\right)\ne 0\text{(1 p)}.$$ Determinantul unui produs este produsul determinanților, iar $\det A=a$, deci $\det \left(A^{n-1}\right)=a^{n-1}$: $$\begin{array}{rl}\det B_n& =a^{n-1}\cdot a(a-1{)}^2\\ & =a^n(a-1{)}^2\text{(2 p)}.\end{array}$$ Această expresie este nenulă pentru orice $n\ge 1$ exact când $a\ne 0$ și $a\ne 1$: $$a\in \mathbb{R}\setminus \{0;1\}\text{(1 p)}.$$ (Observație: pentru $a\ne 0$ și $a\ne 1$, condiția se verifică simultan pentru TOȚI $n$ — de aceea răspunsul nu depinde de $n$, deși cerința spune „toate matricele $B_n$". Control numeric: pentru $a=2$ și $n=3$, $\det B_3=8\cdot 1=8\ne 0$. Unde se greșește de obicei: se scoate $B_1$ la stânga, scriind $B_1{A}^{n-1}$ — aici chiar iese același determinant, dar produsul de matrice nu este comutativ, deci ordinea trebuie justificată; corect este să se scoată $A^{n-1}$ la stânga, cum face baremul.)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție, grup și izomorfism.

a) (5 p) Toată problema stă în forma canonică a legii: se caută constanta $c$ pentru care $x\ast y$ se scrie cu paranteze de tipul $(x-c)(y-c)$. Aici $c=\frac{3}{2}$, iar desfăcând $2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)=2xy-3x-3y+\frac{9}{2}$ se vede ce lipsește: $$x\ast y=2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}+m-6\text{(1 p)}.$$ Dacă $m=6$, ultimii doi termeni se anulează și rămâne $x\ast y-\frac{3}{2}=2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)$; cele două paranteze sunt nenule pentru $x,y\in M$, deci și produsul lor: $$\text{daca˘ }m=6,\text{ atunci oricare ar fi }x,y\in M\text{ rezulta˘ }x\ast y\ne \frac{3}{2},\text{adica˘ }x\ast y\in M\text{(2 p)}.$$ Rămâne de arătat că nicio altă valoare a lui $m$ nu merge. Pentru $x=0$ legea devine $0\ast y=-3y+m$, iar ecuația $-3y+m=\frac{3}{2}$ dă un $y$ anume: $$\text{daca˘ }m\ne 6,\text{ atunci }0\ast \frac{2m-3}{6}=\frac{3}{2}\text{(1 p)}.$$ Acest $y$ chiar este în $M$ tocmai pentru că $m\ne 6$ (altfel el ar fi egal cu $\frac{3}{2}$), și la fel $0\in M$; s-au găsit deci două elemente din $M$ al căror compus iese din $M$: $$\text{cum }0,\frac{2m-3}{6}\in M\text{ rezulta˘ }0\ast \frac{2m-3}{6}\notin M,\text{deci }\mathbf{m}=6\text{(1 p)}.$$ (Cei doi pași fac împreună o echivalență: primul arată că $m=6$ este suficient, al doilea că este necesar. Fără al doilea, răspunsul ar fi doar „merge pentru $m=6$", nu „numai pentru $m=6$" — iar cerința spune „determinați", adică toate valorile. Control: pentru $m=0$ avem $0\ast \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}$, deși ambele numere sunt în $M$.)

b) (5 p) Pentru $m=6$ legea are forma canonică $x\ast y=2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}$. Partea stabilă a fost deja arătată la subpunctul a). Se verifică apoi cele trei axiome. Prima: $$\text{asociativitatea}\text{(1 p)}.$$ Ea se citește direct din forma canonică: ambele compuneri, $(x\ast y)\ast z$ și $x\ast (y\ast z)$, dau $4\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)\left(z-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}$. A doua axiomă cere un element $e$ cu $x\ast e=e\ast x=x$; din $2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(e-\frac{3}{2}\right)=x-\frac{3}{2}$ rezultă $e-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$: $$\text{justificarea faptului ca˘ elementul neutru este }2\text{(2 p)}.$$ A treia axiomă cere, pentru fiecare $x\in M$, un simetric $x^{\prime }$ tot din $M$ cu $x\ast x^{\prime }=2$; din $2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x^{\prime }-\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}$ se scoate $x^{\prime }$: $$\text{justificarea faptului ca˘ pentru }x\in M\text{ exista˘ }{x}^{\prime }=\frac{3x-4}{2x-3}\in M\text{ astfel ıˆncaˆt }x\ast x^{\prime }=x^{\prime }\ast x=2\text{(2 p)}.$$ (De verificat neapărat, altfel demonstrația este incompletă: simetricul chiar rămâne în $M$. Într-adevăr, $\frac{3x-4}{2x-3}=\frac{3}{2}$ ar cere $2(3x-4)=3(2x-3)$, adică $-8=-9$ — imposibil, deci $x^{\prime }\ne \frac{3}{2}$ oricare ar fi $x$. Control numeric: pentru $x=1$ iese $x^{\prime }=\frac{-1}{-1}=1$, iar $1\ast 1=2-3-3+6=2$ — chiar elementul neutru. Legea este și comutativă, ceea ce scutește de jumătate din verificări.)

c) (5 p) Un izomorfism de grupuri este o funcție bijectivă care duce legea primului grup în legea celui de-al doilea. Se verifică întâi proprietatea de morfism, folosind forma canonică: $$\text{verificarea relației }f(x\ast y)=f(x)\cdot f(y),\forall x,y\in M\text{(3 p)}.$$ Într-adevăr, $f(x\ast y)=2\left[2\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{2}\right]-3=4\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)=(2x-3)(2y-3)=f(x)f(y)$. Apoi bijectivitatea: $$\text{justificarea faptului ca˘ }f\text{ este bijectiva˘}\text{(2 p)}.$$ Funcția $f(x)=2x-3$ este strict crescătoare pe $M$, deci injectivă; iar pentru orice $t\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ ecuația $2x-3=t$ are soluția $x=\frac{t+3}{2}$, care este în $M$ (căci $x=\frac{3}{2}$ ar da $t=0$, exclus din ${\mathbb{R}}^{\ast }$), deci $f$ este și surjectivă.

(Cele două condiții sunt independente: o funcție poate păstra legea fără să fie bijectivă, și invers — de aceea baremul le punctează separat. Control de coerență: un izomorfism duce neutrul în neutru, iar aici $f(2)=1$, exact elementul neutru al lui $\left({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot \right)$; și duce simetricul în invers, $f(x^{\prime })=\frac{1}{f(x)}$ — se verifică pe $x=1$, unde $f(1)=-1$ și $f(1^{\prime })=f(1)=-1=\frac{1}{-1}$. Unde se greșește de obicei: se verifică doar relația de morfism și se scrie „deci este izomorfism".)

Itemul 9. (15 p) — tangentă, asimptotă orizontală și o limită de șir.

a) (5 p) Funcția este o diferență de două rădăcini cubice, fiecare derivată cu formula $(\sqrt[3]{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{3\sqrt[3]{u^2}}$, cu $u^{\prime }=2$ în ambele cazuri: $$f^{\prime }(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{(2x-1{)}^2}}-\frac{2}{3\sqrt[3]{(2x+1{)}^2}},x\ne \pm \frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$ În punctul de abscisă $x=0$ ambele rădăcini cubice devin $1$ (căci $\sqrt[3]{(-1{)}^2}=\sqrt[3]{1}=1$), deci cele două fracții sunt egale și derivata se anulează; iar $f(0)=\sqrt[3]{-1}-\sqrt[3]{1}=-1-1$: $$f(0)=-2\text{ și }{f}^{\prime }(0)=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei în punctul $(0,f(0))$ este $y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)$, adică $y+2=0$: $$\mathbf{y}+2=0,\text{adica˘ tangenta este dreapta orizontala˘ }y=-2\text{(1 p)}.$$ (Control numeric: raportul incremental $\frac{f(0,001)-f(-0,001)}{0,002}$ dă $0,000$, confirmând $f^{\prime }(0)=0$. Geometric, punctul $(0,-2)$ este un punct de extrem local al graficului — de aceea tangenta este orizontală. Unde se greșește de obicei: se scrie tangenta ca $y=f^{\prime }(0)x$, uitând translația cu $f(0)$; sau se derivează $\sqrt[3]{u}$ ca $\frac{1}{3\sqrt[3]{u^2}}$, fără factorul $u^{\prime }=2$.)

b) (5 p) Spre $+\infty$, cele două rădăcini cubice cresc amândouă nemărginit, deci diferența lor este o nedeterminare $\infty -\infty$. Ea se ridică raționalizând cu $a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$: la numărător rămâne $(2x-1)-(2x+1)=-2$, constant, iar numitorul crește ca $3\sqrt[3]{(2x{)}^2}$, deci $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0\text{(3 p)}.$$ Limita fiind finită, dreapta orizontală corespunzătoare este asimptotă: $$\mathbf{y}=0\text{ asimptota˘ orizontala˘ spre }+\infty \text{(2 p)}.$$ (Control numeric: $f\left(10^{10}\right)\approx -9\cdot 10^{-8}$, deci graficul chiar se lipește de axa $Ox$. Observație: aceeași dreaptă este asimptotă și spre $-\infty$, dar enunțul cere doar capătul $+\infty$, și capătul se scrie mereu în concluzie. Unde se greșește de obicei: se scrie direct „$\infty -\infty =0$", ceea ce nu este o justificare — nedeterminarea trebuie ridicată.)

c) (5 p) Suma din numărător este telescopică: fiecare termen $f(k)=\sqrt[3]{2k-1}-\sqrt[3]{2k+1}$ îl anulează pe vecinul său, așa că din toată suma rămân doar capetele: $$f(1)+f(2)+\dots +f(n)=\sqrt[3]{1}-\sqrt[3]{2n+1}=1-\sqrt[3]{2n+1}\text{(2 p)}.$$ Împărțind la $-\sqrt[3]{2n+1}$, baza puterii devine $1-\frac{1}{\sqrt[3]{2n+1}}$, adică o expresie de tipul $1+\frac{1}{t}$ cu $t=-\sqrt[3]{2n+1}$. Se pregătește limita remarcabilă, ridicând baza la exponentul $t$ și corectând cu raportul dintre exponentul cerut și $t$: $${\left(1-\frac{1}{\sqrt[3]{2n+1}}\right)}^{\sqrt[3]{2n}}={\left[{\left(1-\frac{1}{\sqrt[3]{2n+1}}\right)}^{-\sqrt[3]{2n+1}}\right]}^{{\alpha }_n},\text{ unde }{\alpha }_n=\frac{\sqrt[3]{2n}}{-\sqrt[3]{2n+1}}\text{(1 p)}.$$ Paranteza mare tinde la $e$, iar exponentul ${\alpha }_n$ tinde la $-1$, pentru că $\frac{2n}{2n+1}\to 1$: $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{f(1)+f(2)+\dots +f(n)}{-\sqrt[3]{2n+1}}\right)}^{\sqrt[3]{2n}}=e^{\underset{n\to \infty }{\lim }{\alpha }_n}=e^{-1}\text{(1 p)}.$$ Prin urmare limita cerută este $$e^{-1}=\frac{1}{\mathbf{e}}\text{(1 p)}.$$ (Litera $e$ înseamnă aici numărul lui Euler, baza logaritmului natural — în această probă nu apare niciun element neutru notat cu $e$: cel al grupului de la itemul $8$ este numărul $2$. Control numeric: pentru $n=10^9$ expresia dă $0,36773$, iar $\frac{1}{e}=0,36788$ — convergență lentă, dar clară. Unde se greșește de obicei: se scrie limita bazei, $1$, ridicată la $\infty$, și se răspunde $1$; cazul $1^{\infty }$ este o nedeterminare, nu un rezultat.)

Itemul 10. (15 p) — șir de integrale definite.

a) (5 p) Cele trei integrale au același numitor, deci se pot aduna sub o singură integrală: $$I_1+I_2+I_3={\int }_0^1\frac{x^3+x^2+x}{x^2+x+1}dx\text{(2 p)}.$$ La numărător se dă factor comun $x$, iar paranteza rămasă este chiar numitorul și se simplifică: $$={\int }_0^1\frac{x(x^2+x+1)}{x^2+x+1}dx={\int }_0^{1}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_0^1=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$ (Simplificarea este legitimă pentru că $x^2+x+1$ nu se anulează niciodată — discriminantul lui este $1-4=-3<0$. Control numeric: cele trei integrale calculate separat dau aproximativ $0,2470$, $0,1484$ și $0,1046$, iar suma lor este $0,500000$. Unde se greșește de obicei: se calculează fiecare integrală separat, ceea ce cere descompuneri lungi — trucul cerinței este tocmai că suma se simplifică, deși termenii nu.)

b) (5 p) Un șir este descrescător când $I_n\ge I_{n+1}$ pentru orice $n$. Se compară întâi integranzii. Pe intervalul de integrare, puterile lui $x$ scad odată cu creșterea exponentului: $$0\le x\le 1⟹x^n\ge x^{n+1}\text{(1 p)}.$$ Numitorul comun este strict pozitiv pe toată dreapta reală, deci împărțirea la el nu schimbă sensul inegalității: $$x^2+x+1>0,\forall x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Integrala păstrează inegalitatea dintre funcții, deci: $$\frac{x^n}{x^2+x+1}\ge \frac{x^{n+1}}{x^2+x+1},\forall x\in [0,1]⟹I_n\ge I_{n+1},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },\text{adica˘ șirul este descresca˘tor}\text{(2 p)}.$$ (De ce $x^n\ge x^{n+1}$ pe $[0,1]$: $x^{n+1}=x^n\cdot x$, iar înmulțirea cu un număr din $[0,1]$ nu poate mări un număr nenegativ. Control numeric: $I_1\approx 0,2470>I_2\approx 0,1484>I_3\approx 0,1046>I_4\approx 0,0803$. Unde se greșește de obicei: se compară direct integralele, fără să se treacă prin integranzi; sau se uită justificarea semnului numitorului, fără de care inegalitatea s-ar putea răsturna.)

c) (5 p) Limita nu se calculează prin formula lui $I_n$ — ea nici nu se scrie simplu. Se folosește criteriul cleștelui. Numitorul este cel puțin $1$ pe intervalul de integrare, deci fracția este cel mult $x^n$: $$x^2+x+1\ge 1,\forall x\ge 0⟹0\le \frac{x^n}{x^2+x+1}\le x^n,\forall x\in [0,1]\text{(2 p)}.$$ Integrând inegalitatea pe $[0,1]$ și folosind ${\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}{|}_0^1$: $$0\le I_n\le {\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}\text{(2 p)}.$$ Ambele capete ale încadrării tind la $0$ (primul este constant $0$, al doilea tinde la $0$), deci $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0\text{(1 p)}.$$ (Control numeric: $I_{200}\approx 0,00167$, iar marginea de sus $\frac{1}{201}\approx 0,00498$ — încadrarea se respectă, iar amândouă coboară spre zero. Observație: șirul fiind și descrescător, de la subpunctul b), și mărginit inferior de $0$, existența limitei era deja asigurată; încadrarea aduce în plus valoarea ei. Unde se greșește de obicei: se scrie „integrandul tinde la $0$, deci integrala tinde la $0$" — adevărat aici, dar nejustificat: trecerea la limită sub integrală cere o teoremă care nu se face în liceu, pe când încadrarea este elementară.)