Bac M1 2010, sesiunea iunie-iulie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2010 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026 · Baremul oficial al probei are o greșeală de tipar

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial dat la proba E. c), Matematică M1, în varianta de rezervă a sesiunii iunie-iulie 2010 a examenului național de bacalaureat — Varianta 10, cea publicată de autoritatea examenului. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul emis de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare, rând cu rând, așa cum a fost publicat împreună cu subiectul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare. În 2010 sigla profilului era încă „M1"; denumirea de azi, „M_mate-info", apare abia din modelul publicat pentru sesiunea 2013. Structura probei este însă aceeași ca astăzi: trei subiecte, trei ore, nouăzeci de puncte din itemi plus zece din oficiu.

Structura probei, așa cum arată ea în subiectul de rezervă din 2010:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: puterile lui $i$ și verificarea unei soluții într-o ecuație de gradul al doilea — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Compunerea funcțiilor și funcția de gradul al doilea: $(f\circ g)(x)$ pentru o funcție de gradul întâi compusă cu una de gradul al doilea, plus condiția de semn constant — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație irațională cu radical dintr-un pătrat perfect: $\sqrt{u^2}=|u|$ și rezolvarea ecuației cu modul — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Progresii aritmetice: numărul termenilor unei progresii citite din exponenți — clasa a IX-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: mijlocul unui segment și ecuația dreptei prin două puncte — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: sinusul unei diferențe de unghiuri și valorile remarcabile — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Sisteme liniare cu parametru: rezolvarea unui sistem particular, discuția compatibilității prin rang și condiția de soluție unică prin determinant — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: rădăcini complexe conjugate, relațiile lui Viète, teorema împărțirii cu rest și un raționament prin reducere la absurd asupra semnului rădăcinilor — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Studiul funcției: procedura în trei pași a asimptotei oblice, raportul incremental la un punct cu tangentă verticală și o limită de tip $\frac{\infty }{\infty }$ cu logaritmi — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrala definită: integrarea prin substituție, monotonia unei primitive citită din semnul funcției și o integrală calculată prin simetria $x\mapsto 2\pi -x$ — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, sesiunea 2010 la varianta de rezervă. Subiectul I nu are nicio cerință-șablon: fiecare dintre cele șase este scurtă, dar are un pas care se sare ușor — modulul de la itemul $3$, exponenții de la itemul $4$, mijlocul laturii de la itemul $5$. Subiectul al II-lea este, de la un capăt la altul, algebră cu parametru: la problema $1$ un sistem în care cei trei parametri de discuție ies dintr-un singur determinant factorizat, la problema $2$ un polinom despre care nu se cere niciodată să fie rezolvat, ci doar citit prin Viète și prin teorema împărțirii cu rest. Subiectul al III-lea este cel mai greu al probei: radicalul de ordinul al treilea de la problema $1$ cere raționalizarea cu $a^3-b^3$, iar problema $2$ se închide cu o integrală care nu se calculează, ci se anulează printr-un truc de simetrie.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ și $\frac{\pi }{4}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: scoaterea radicalului dintr-un pătrat fără modul; concluzia „sistemul este compatibil" fără rangul matricei extinse; ecuația asimptotei oblice scrisă fără calculul separat al pantei și al termenului liber; afirmația „funcția nu e derivabilă" fără limita raportului incremental; aria sau integrala scrisă fără justificarea semnului.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; un număr este soluție a unei ecuații exact când, înlocuit, dă $0$. Compunerea funcțiilor: $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ — se calculează dinăuntru în afară. Radicalul dintr-un pătrat: $\sqrt{u^2}=|u|$, întotdeauna cu modul. Progresia aritmetică: numărul termenilor de la $0$ la $N$ cu rația $r$ este $\frac{N}{r}+1$. Mijlocul segmentului: $M_{BC}\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right)$. Sinusul diferenței: $\sin (x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$.
• Sisteme liniare: un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute are soluție unică exact când determinantul matricei sistemului este nenul (regula lui Cramer); când determinantul este nul, compatibilitatea se decide comparând $\mathrm{rang}A$ cu $\mathrm{rang}\overline{A}$, unde $\overline{A}$ este matricea extinsă, cea în care s-a adăugat coloana termenilor liberi (teorema Kronecker–Capelli).
• Polinoame: rădăcinile complexe nereale ale unui polinom cu coeficienți reali vin în perechi conjugate; relațiile lui Viète pentru gradul al treilea, $x_1+x_2+x_3=-\frac{a_2}{a_3}$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{a_1}{a_3}$, $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{a_0}{a_3}$; teorema împărțirii cu rest, $f=g\cdot q+r$ cu $\mathrm{grad}r<\mathrm{grad}g$.
• Asimptote și derivate: procedura în trei pași a asimptotei oblice spre $+\infty$: $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ finit și nenul, apoi $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-mx)$ finit, apoi se scrie dreapta $y=mx+n$ cu capătul precizat. Raționalizarea de ordinul al treilea: $a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$. Derivabilitatea într-un punct: funcția este derivabilă în $x_0$ exact când $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ există și este finită.
• Integrale: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; substituția $t=\phi (x)$ schimbă și capetele; $\int \frac{dt}{1+t^2}=\mathrm{arctg}t+\mathcal{C}$; o primitivă este strict crescătoare pe un interval pe care funcția este pozitivă și se anulează cel mult în puncte izolate.

Patru dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=2x+a$ de la itemul $2$, polinomul $f=X^3-3X^2+mX-n$ de la itemul $8$, funcția $f(x)=\sqrt[3]{x^3-3x+2}$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=\frac{\cos x}{2-{\cos }^{2}x}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $a$ este parametrul celor două funcții la itemul $2$ și parametrul sistemului la itemul $7$ — două roluri fără nicio legătură între ele. Litera $m$ este coeficientul polinomului la itemul $8$, dar, în rezolvarea itemului $9$, este numele consacrat al pantei asimptotei oblice; acolo este un nume de pas de procedură, nu o necunoscută a problemei.
• Semnul $\circ$ de la itemul $2$ înseamnă compunerea funcțiilor, $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ — în această probă nu apare nicio lege de compoziție, deci nu există risc de confuzie cu $\ast$.
• La itemul $7$, necunoscutele sistemului sunt $x$, $y$, $z$; la itemul $8$, $x_1$, $x_2$, $x_3$ sunt rădăcinile polinomului, nu necunoscute de aflat. Bara din $\overline{A}$ nu are legătură cu conjugatul unui număr complex: ea marchează matricea extinsă a sistemului.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că numărul $i\sqrt{2}-1$ este soluție a ecuației $z^2+2z+3=0$.

Itemul 2 (5 puncte)

Fie funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+a$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^2-a$. Determinați $a\in \mathbb{R}$ pentru care $(f\circ g)(x)>0$, oricare ar fi $x\in \mathbb{R}$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2-2x+1}=x+1$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați numărul elementelor mulțimii $A=\left\{1,3^3,3^6,3^9,\dots ,3^{2010}\right\}$.

Itemul 5 (5 puncte)

În sistemul de coordonate $xOy$ se consideră punctele $A(3,5)$, $B(-2,5)$ și $C(6,-3)$. Scrieți ecuația medianei corespunzătoare laturii $[BC]$, în triunghiul $ABC$.

Itemul 6 (5 puncte)

Calculați $\sin \frac{\pi }{12}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Fie sistemul $$\{\begin{array}{l}x+y+az=1\\ x+2ay+z=-1\\ 2ax+y+(a+1)z=0\end{array},$$ unde $x,y,z\in \mathbb{R}$ și $a$ este parametru real.

a) (5 puncte) Rezolvați sistemul pentru $a=0$.

b) (5 puncte) Verificați dacă pentru $a=-1$ sistemul este compatibil.

c) (5 puncte) Determinați $a\in \mathbb{R}$ pentru care sistemul are soluție unică.

Itemul 8 (15 puncte)

Fie $m,n\in \mathbb{R}$ și polinomul $f=X^3-3X^2+mX-n$ care are rădăcinile $x_1,x_2,x_3\in \mathbb{C}$.

a) (5 puncte) Determinați valorile reale $m$ și $n$ pentru care $x_1=2+i$.

b) (5 puncte) Determinați valorile reale $m$ și $n$ pentru care restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $(X-1{)}^2$ este egal cu $0$.

c) (5 puncte) Arătați că, dacă toate rădăcinile polinomului $f$ sunt reale și $m>0$, $n>0$, atunci $x_1,x_2,x_3$ sunt strict pozitive.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Fie funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x^3-3x+2}$.

a) (5 puncte) Arătați că dreapta de ecuație $y=x$ este asimptotă oblică pentru graficul funcției $f$ spre $+\infty$.

b) (5 puncte) Studiați derivabilitatea funcției $f$ în punctul $x=-2$.

c) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln f(x)}{\ln x}$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\cos x}{2-{\cos }^{2}x}$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x)dx$.

b) (5 puncte) Arătați că orice primitivă a funcției $f$ este strict crescătoare pe intervalul $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$.

c) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^{2\pi }x\cdot f(x)dx$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al variantei de rezervă a sesiunii iunie-iulie 2010; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe și ecuație de gradul al doilea.

A arăta că un număr este soluție înseamnă a-l înlocui în ecuație și a obține $0$. Se scrie deci membrul stâng cu $z=i\sqrt{2}-1$: $$(i\sqrt{2}-1{)}^2+2(i\sqrt{2}-1)+3\text{(1 p)}.$$ Pătratul se desface după formula $(u-v{)}^2=u^2-2uv+v^2$, cu $u=i\sqrt{2}$ și $v=1$; paranteza a doua se înmulțește cu $2$: $$=2i^2-2i\sqrt{2}+1+2i\sqrt{2}-2+3\text{(2 p)}.$$ Termenii $-2i\sqrt{2}$ și $+2i\sqrt{2}$ se reduc, iar $2i^2=-2$, deci rămâne $-2+1-2+3$, adică $$(i\sqrt{2}-1{)}^2+2(i\sqrt{2}-1)+3=0\text{(2 p)}.$$ (Control pe alt drum: ecuația $z^2+2z+3=0$ are $\Delta =4-12=-8$, deci rădăcinile $z=\frac{-2\pm i\sqrt{8}}{2}=-1\pm i\sqrt{2}$ — iar $i\sqrt{2}-1$ este exact una dintre ele. Unde se greșește de obicei: se scrie $(i\sqrt{2}{)}^2=2$, uitând că $i^2=-1$, sau se sare peste dublul produs din formula pătratului.)

Itemul 2. (5 p) — compunerea funcțiilor și semnul unei funcții de gradul al doilea.

Compunerea $f\circ g$ înseamnă „mai întâi $g$, apoi $f$": se ia rezultatul lui $g$ și se pune în locul lui $x$ din formula lui $f$. Cum $f(x)=2x+a$ și $g(x)=x^2-a$, avem $$(f\circ g)(x)=f(g(x))=2(x^2-a)+a\text{(2 p)}.$$ Desfăcând paranteza, $2x^2-2a+a$, iar termenii în $a$ se adună: $$(f\circ g)(x)=2x^2-a\text{(1 p)}.$$ Expresia $2x^2$ ia toate valorile din $[0,+\infty )$, iar cea mai mică dintre ele este $0$, atinsă în $x=0$. Prin urmare $2x^2-a>0$ pentru orice $x$ real exact când chiar cea mai mică valoare este strict pozitivă, adică $0-a>0$: $$2x^2-a>0,\forall x\in \mathbb{R}⟺\mathbf{a}<0\text{(2 p)}.$$ (Unde se greșește de obicei: se cere $\Delta <0$ pentru $2x^2-a$, ceea ce dă $8a<0$, adică tot $a<0$ — același răspuns, dar pe un drum care ascunde motivul; și se acceptă $a=0$, deși atunci în $x=0$ expresia face exact $0$, nu ceva strict pozitiv. Control numeric: pentru $a=-1$ avem $2x^2+1\ge 1>0$; pentru $a=0$, în $x=0$ expresia este nulă, deci inegalitatea strictă cade.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație irațională cu pătrat perfect sub radical.

Sub radical stă un pătrat perfect, $x^2-2x+1=(x-1{)}^2$, deci ecuația se rescrie $$\sqrt{(x-1{)}^2}=x+1\text{(2 p)}.$$ Radicalul de ordinul al doilea dintr-un pătrat nu este baza, ci modulul ei — regula $\sqrt{u^2}=|u|$ este obligatorie aici, pentru că $x-1$ poate fi negativ: $$|x-1|=x+1\text{(1 p)}.$$ Ecuația cu modul se desface pe cazuri. Dacă $x\ge 1$, ea devine $x-1=x+1$, adică $-1=1$ — imposibil. Dacă $x<1$, ea devine $1-x=x+1$, de unde $2x=0$, deci $$\mathbf{x}=0\text{(2 p)}.$$ (Verificare, obligatorie la orice ecuație irațională: $\sqrt{0-0+1}=1$ și $0+1=1$ — soluția convine. Unde se greșește de obicei: se scrie direct $x-1=x+1$ și se conchide „nu are soluții", pierzând modulul; sau se ridică la pătrat fără condiția $x+1\ge 0$ și se acceptă și o soluție străină.)

Itemul 4. (5 p) — progresie aritmetică citită din exponenți.

Elementele mulțimii sunt puteri ale lui $3$: primul este $1=3^0$, apoi $3^3$, $3^6$, $3^9$ și așa mai departe, până la $3^{2010}$. Toate au aceeași bază, deci sunt distincte două câte două, iar mulțimea are exact atâtea elemente câți exponenți sunt. Exponenții $$0,3,6,9,\dots ,2010\text{ sunt ıˆn progresie aritmetica˘ cu rația }3\text{(2 p)}.$$ Într-o progresie aritmetică cu primul termen $0$ și rația $3$, termenul de rang $k$ este $3(k-1)$; egalând cu $2010$ obținem $k-1=670$, deci $$\text{numa˘rul termenilor este }671\text{(3 p)}.$$ (Control: exponenții sunt exact multiplii lui $3$ din intervalul $[0,2010]$, adică $3\cdot 0,3\cdot 1,\dots ,3\cdot 670$; de la $0$ la $670$ sunt $671$ de numere întregi. Unde se greșește de obicei: se răspunde $670$, uitând că numărătoarea începe de la exponentul $0$, sau se împarte $2010$ la $3$ și se oprește acolo.)

Itemul 5. (5 p) — mediana într-un triunghi, în reper cartezian.

Mediana din $A$ unește vârful $A$ cu mijlocul laturii opuse, $[BC]$. Mijlocul unui segment are drept coordonate mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor, deci pentru $B(-2,5)$ și $C(6,-3)$: $$M\left(\frac{-2+6}{2},\frac{5+(-3)}{2}\right),\text{ adica˘ }\mathbf{M}(2,1)\text{(2 p)}.$$ Dreapta $AM$ trece prin $A(3,5)$ și $M(2,1)$; panta ei este $\frac{5-1}{3-2}=4$, iar ecuația se scrie cu $y-y_M=4(x-x_M)$, adică $y-1=4(x-2)$: $$\text{ecuația medianei este }\mathbf{y}=4x-7\text{(3 p)}.$$ (Control: dreapta trece prin ambele puncte — pentru $x=3$ dă $y=5$, adică $A$; pentru $x=2$ dă $y=1$, adică $M$. Unde se greșește de obicei: se calculează mijlocul altei laturi, sau se scrie ecuația medianei prin $B$ ori prin $C$ — „mediana corespunzătoare laturii $[BC]$" înseamnă mediana din vârful opus lui $[BC]$, adică din $A$.)

Itemul 6. (5 p) — sinusul unei diferențe de unghiuri.

Unghiul $\frac{\pi }{12}$ nu este remarcabil, dar se scrie ca diferență de două unghiuri remarcabile: $\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}=\frac{4\pi -3\pi }{12}=\frac{\pi }{12}$. Cu formula $\sin (u-v)=\sin u\cos v-\cos u\sin v$: $$\sin \frac{\pi }{12}=\sin \left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4}-\cos \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}\text{(2 p)}.$$ Înlocuind valorile remarcabile $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$: $$\sin \frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\approx \frac{2,449-1,414}{4}\approx 0,2588$, iar $\frac{\pi }{12}=15^{\circ }$, unghi mic, deci sinusul trebuie să fie mic și pozitiv — se potrivește. Unde se greșește de obicei: se scrie $\sin \frac{\pi }{12}=\frac{\sin \pi }{12}$, ceea ce ar da $0$; sau se folosește $\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}$, drum la fel de corect, dar cu semnele inversate în formulă.)

Itemul 7. (15 p) — sistem liniar de trei ecuații cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=0$ toți coeficienții care conțin parametrul dispar și sistemul devine mult mai simplu: $$\{\begin{array}{l}x+y=1\\ x+z=-1\\ y+z=0\end{array}\text{(2 p)}.$$ Din a treia ecuație, $y=-z$; înlocuind în prima, $x-z=1$. Adunând-o cu a doua, $2x=0$, deci $x=0$, apoi $z=-1$ și $y=1$: $$S=\{(0,1,-1)\}\text{(3 p)}.$$ (Verificare în toate trei ecuațiile: $0+1=1$, $0+(-1)=-1$, $1+(-1)=0$ — corect. Determinantul sistemului la $a=0$ este $-2\ne 0$, deci soluția este într-adevăr unică, iar scrierea cu acolade a mulțimii soluțiilor este cea cerută de barem. Unde se greșește de obicei: se scrie soluția ca simplu triplet, fără mulțime, sau se uită să se pună $a=0$ și în coeficientul $a+1$ al lui $z$, care devine $1$.)

b) (5 p) Pentru $a=-1$ sistemul are matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& -2& 1\\ -2& 1& 0\end{array}\right)$, iar determinantul ei se anulează: $$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& -2& 1\\ -2& 1& 0\end{array}\right|\\ & =1\cdot (0-1)-1\cdot (0+2)+(-1)\cdot (1-4)\\ & =-1-2+3=0\text{(3 p)}.\end{array}$$ Determinantul fiind nul, regula lui Cramer nu se aplică; se trece la ranguri. Minorul din colțul din stânga sus, $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -2\end{array}\right|=-3\ne 0$, arată că $$\mathrm{rang}A=2\text{(1 p)}.$$ Matricea extinsă $\overline{A}$ se obține adăugând coloana termenilor liberi. Bordând minorul de mai sus cu linia a treia și cu acea coloană se obține determinantul caracteristic $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -2& -1\\ -2& 1& 0\end{array}\right|=1+2-3=0$, deci rangul nu crește și $$\begin{array}{rl}& \text{sistemul este compatibil, deoarece }\mathrm{rang}\overline{A}\\ & =2\text{(1 p)}.\end{array}$$ (Teorema Kronecker–Capelli spune exact atât: sistemul este compatibil dacă și numai dacă matricea sistemului și matricea extinsă au același rang. Aici rangul comun este $2<3$, deci sistemul este compatibil nedeterminat: are o infinitate de soluții, de forma $(t,2t,3t-1)$, cu $t$ număr real — se verifică imediat în toate trei ecuațiile. Unde se greșește de obicei: se conchide „incompatibil" doar pentru că determinantul este nul; determinantul nul exclude unicitatea, nu existența.)

c) (5 p) Sistemul are soluție unică exact când determinantul matricei sale este nenul. Se calculează determinantul general, în funcție de $a$, și se factorizează: $$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{ccc}1& 1& a\\ 1& 2a& 1\\ 2a& 1& a+1\end{array}\right|\\ & =-4a^3+2a^2+4a-2\\ & =-2(2a-1)(a-1)(a+1)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Un produs este nul exact când unul dintre factori este nul, deci determinantul se anulează pentru $a=\frac{1}{2}$, $a=1$ și $a=-1$. Sistemul are așadar soluție unică pentru $$a\in \mathbb{R}\setminus \left\{\pm 1,\frac{1}{2}\right\}\text{(2 p)}.$$ (Control al factorizării pe două valori: pentru $a=0$ produsul dă $-2\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot 1=-2$, exact determinantul calculat la subpunctul a); pentru $a=2$ el dă $-2\cdot 3\cdot 1\cdot 3=-18$, iar dezvoltarea directă a determinantului dă tot $-18$. Unde se greșește de obicei: se scrie condiția ca determinantul să fie zero, adică fix invers față de cerință; sau se pierde soluția $a=-1$, deja întâlnită la subpunctul b) — semn că cele trei subpuncte se leagă între ele.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al treilea cu doi parametri.

a) (5 p) Polinomul are coeficienți reali, deci rădăcinile lui complexe nereale vin în perechi conjugate: dacă $x_1=2+i$ este rădăcină, atunci și conjugatul ei este rădăcină: $$x_1=2+i⟹x_2=2-i\text{(1 p)}.$$ A treia rădăcină se află din prima relație a lui Viète, $x_1+x_2+x_3=3$ (suma rădăcinilor este minus coeficientul lui $X^2$, adică $3$): $$\text{folosind relațiile lui Vieˋte, }{x}_3=3-x_1-x_2=3-4=-1\text{(2 p)}.$$ Celelalte două relații ale lui Viète dau parametrii: $m=x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=5-2-i-2+i=1$ și $n=x_1{x}_2{x}_3=5\cdot (-1)=-5$, adică $$\mathbf{m}=1,\mathbf{n}=-5\text{(2 p)}.$$ (Control direct: cu $m=1$ și $n=-5$ polinomul devine $f=X^3-3X^2+X+5$, iar $f(-1)=-1-3-1+5=0$ și $f(2+i)=0$ prin calcul direct. Unde se greșește de obicei: se uită că $n$ intră în polinom cu semnul minus, deci $x_1{x}_2{x}_3=+n$ aici, nu $-n$; și se sare peste conjugată, deși ea este singurul motiv pentru care problema are soluție.)

b) (5 p) Împărțitorul $(X-1{)}^2=X^2-2X+1$ are gradul al doilea, deci restul are gradul cel mult întâi. Împărțind $f=X^3-3X^2+mX-n$ la $X^2-2X+1$ se obține câtul $X-1$ și $$\text{restul este }r=X(m-3)+1-n\text{(3 p)}.$$ Un polinom este nul exact când toți coeficienții lui sunt nuli, deci $m-3=0$ și $1-n=0$: $$\mathbf{m}=3\text{ și }\mathbf{n}=1\text{(2 p)}.$$ (Verificare: pentru $m=3$, $n=1$ polinomul devine $f=X^3-3X^2+3X-1=(X-1{)}^3$, care într-adevăr se împarte exact la $(X-1{)}^2$, cu câtul $X-1$. Un drum echivalent, fără împărțire: restul este nul exact când $1$ este rădăcină dublă, adică $f(1)=0$ și $f^{\prime }(1)=0$ — două ecuații care dau aceleași valori. Unde se greșește de obicei: se caută un rest constant, deși gradul împărțitorului este $2$, deci restul poate avea și termen în $X$.)

c) (5 p) Se raționează prin reducere la absurd, pe fiecare rădăcină în parte. Toate rădăcinile fiind reale prin ipoteză, presupunem că una dintre ele, să zicem $x_1$, nu este strict pozitivă, adică $x_1\le 0$. Atunci fiecare dintre cei patru termeni ai lui $f(x_1)$ are semn cunoscut: $$\text{presupunaˆnd prin absurd ca˘ }{x}_1\le 0\text{, rezulta˘ }{x}_1^3\le 0,-3x_1^2\le 0,m{x}_1\le 0,-n<0\text{(3 p)}.$$ Primul termen este negativ sau nul pentru că puterea a treia păstrează semnul; al doilea, pentru că un pătrat este nenegativ și se înmulțește cu $-3$; al treilea, pentru că $m>0$ și $x_1\le 0$; al patrulea este strict negativ pentru că $n>0$. Adunându-le, suma este strict negativă, dar suma este chiar $f(x_1)$, care este $0$ pentru că $x_1$ este rădăcină: $$\text{adunaˆnd cele patru relații se obține }0=f(x_1)<0,\text{contradicție}\text{(2 p)}.$$ Presupunerea a fost falsă, deci $x_1>0$; același raționament, literă cu literă, se aplică lui $x_2$ și lui $x_3$, deci toate trei rădăcinile sunt strict pozitive.

(Baremul oficial scrie argumentul o singură dată, pe $x_1$; el se repetă identic pe celelalte două rădăcini, iar asta este exact ce trebuie spus în plus ca să se acopere cerința „toate trei sunt strict pozitive". Control: pentru $m=3$, $n=1$ — valorile de la subpunctul b) — polinomul este $(X-1{)}^3$, cu rădăcina triplă $1>0$, așa cum prezice enunțul. Unde se greșește de obicei: se încearcă rezolvarea efectivă a ecuației, care nu se poate; sau se folosește doar prima relație a lui Viète, care singură nu exclude o rădăcină negativă.)

Itemul 9. (15 p) — asimptotă oblică, derivabilitate și o limită cu logaritmi.

a) (5 p) Asimptota oblică spre $+\infty$ se caută în trei pași. Panta este $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt[3]{\frac{x^3-3x+2}{x^3}}=\sqrt[3]{1}=1\text{(2 p)}.$$ Panta fiind finită și nenulă, se trece la termenul liber. Diferența $f(x)-x$ este o diferență de rădăcini cubice, care se raționalizează cu formula $a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$, luând $a=\sqrt[3]{x^3-3x+2}$ și $b=x$: $$n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^3-3x+2-x^3}{\sqrt[3]{(x^3-3x+2{)}^2}+x\sqrt[3]{x^3-3x+2}+x^2}=0\text{(2 p)}.$$ La numărător rămâne $-3x+2$, de gradul întâi, iar numitorul se comportă ca $3x^2$, de gradul al doilea; raportul tinde deci la $0$. Prin urmare $$\text{asimptota oblica˘ este }\mathbf{y}=\mathbf{x}\text{(1 p)}.$$ (Control numeric: $f\left(10^8\right)-10^8\approx -10^{-8}$, adică practic zero, iar $\frac{f\left(10^8\right)}{10^8}$ diferă de $1$ cu mai puțin de $10^{-15}$. Unde se greșește de obicei: se raționalizează cu formula de la radicalul de ordinul al doilea, $\frac{a^2-b^2}{a+b}$, care aici nu se aplică; sau se scrie ecuația dreptei fără să se precizeze capătul $+\infty$, deși baremul punctează separat concluzia.)

b) (5 p) Se calculează întâi $f(-2)=\sqrt[3]{-8+6+2}=\sqrt[3]{0}=0$, apoi se descompune expresia de sub radical, ca să se poată simplifica cu $x+2$: $$x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)\text{(1 p)}.$$ Raportul incremental devine, ducând numitorul $x+2$ sub radicalul de ordinul al treilea ca $(x+2{)}^3$: $$\frac{f(x)-f(-2)}{x+2}=\sqrt[3]{\frac{(x-1{)}^2}{(x+2{)}^2}}\text{(1 p)}.$$ Când $x\to -2$, numărătorul de sub radical tinde la $9$, iar numitorul $(x+2{)}^2$ tinde la $0$ prin valori pozitive, indiferent de partea din care se apropie $x$. Raportul de sub radical tinde deci la $+\infty$, și la fel rădăcina lui cubică: $$\underset{x\to -2}{\lim }\frac{f(x)-f(-2)}{x+2}=\infty \text{(2 p)}.$$ Limita raportului incremental există, dar este infinită; derivabilitatea cere ca ea să fie finită. Așadar $$\text{deci }f\text{ nu e derivabila˘ ıˆn }-2\text{(1 p)}.$$ (Geometric, graficul are în $(-2,0)$ o tangentă verticală: funcția este continuă acolo, dar panta tangentei este infinită. Control numeric: raportul incremental calculat pentru $x=-2+10^{-4}$ dă aproximativ $965$, iar pentru $x=-2+10^{-6}$ aproximativ $20800$ — crește nemărginit. Unde se greșește de obicei: se derivează formula lui $f$ și se spune „derivata nu există în $-2$ pentru că se anulează un numitor" — corect, dar nepunctat: baremul cere limita raportului incremental, adică definiția.)

c) (5 p) Logaritmul unei rădăcini cubice este o treime din logaritmul radicandului: $\ln f(x)=\frac{1}{3}\ln (x^3-3x+2)$. Treimea se mută la numitor, unde devine $3\ln x=\ln x^3$ — exact scrierea din barem: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln f(x)}{\ln x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x^3-3x+2)}{\ln x^3}\text{(2 p)}.$$ Atât la numărător, cât și la numitor stă logaritmul unei expresii care tinde la $+\infty$ ca $x^3$; scoțând $x^3$ factor comun sub logaritmul de sus, $\ln (x^3-3x+2)=\ln x^3+\ln \left(1-\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x^3}\right)$, iar al doilea termen tinde la $\ln 1=0$. Raportul tinde deci la $1$: $$\text{finalizare: limita este egala˘ cu }1\text{(3 p)}.$$ (Control numeric: pentru $x=10^{12}$ raportul dă $1,000000000000$, cu douăsprezece zecimale exacte. Al doilea drum, tot corect: $\ln f(x)=\frac{1}{3}\ln (x^3-3x+2)$, iar regula lui l'Hôpital aplicată cazului $\frac{\infty }{\infty }$ dă $\frac{x(3x^2-3)}{3(x^3-3x+2)}\to 1$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\ln f(x)=\frac{\ln x^3-3x+2}{3}$, adică se pierde paranteza radicandului. Notă: baremul oficial tipărește la acest rând $\ln (x^3-3x^2+2)$, cu un exponent în plus la termenul din mijloc — este o eroare de tipar față de enunț, corectată aici; numitorul $\ln x^3$ din barem este însă corect, fiind chiar $3\ln x$.)

Itemul 10. (15 p) — integrală definită, primitive și o integrală rezolvată prin simetrie.

a) (5 p) Numitorul se rescrie folosind ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$: $2-{\cos }^{2}x=1+{\sin }^{2}x$. Cum la numărător stă exact $\cos x$, adică derivata lui $\sin x$, integrala este pregătită pentru substituția $\sin x=t$, cu $\cos xdx=dt$; capetele se schimbă și ele, $x=0$ dând $t=0$, iar $x=\frac{\pi }{2}$ dând $t=1$: $$\text{cu substituția }\sin x=t\text{ se obține }{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x}{2-{\cos }^{2}x}dx={\int }_0^1\frac{dt}{1+t^2}\text{(3 p)}.$$ Primitiva lui $\frac{1}{1+t^2}$ este $\mathrm{arctg}t$, deci, cu formula Leibniz–Newton, $$=\mathrm{arctg}t{|}_0^1=\mathrm{arctg}1-\mathrm{arctg}0=\frac{\pi }{4}\text{(2 p)}.$$ (Control numeric: integrala calculată cu metoda lui Simpson pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ dă $0,785398163397$, iar $\frac{\pi }{4}=0,785398163397$ — coincid pe douăsprezece zecimale. Unde se greșește de obicei: se uită schimbarea capetelor la substituție și se scrie tot $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ pentru variabila $t$; sau se confundă $2-{\cos }^{2}x$ cu $2-\cos 2x$, care ar duce la un rezultat urât — semn sigur că enunțul a fost citit greșit.)

b) (5 p) O primitivă este, prin definiție, o funcție a cărei derivată este funcția dată. Deci $$\text{daca˘ funcția }F\text{ este o primitiva˘ a funcției }f,\text{ atunci }{F}^{\prime }(x)=\frac{\cos x}{2-{\cos }^{2}x},\forall x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]\text{(2 p)}.$$ Numitorul este strict pozitiv pe toată dreapta reală, pentru că ${\cos }^{2}x\le 1$ dă $2-{\cos }^{2}x\ge 1>0$; iar pe intervalul cerut cosinusul este nenegativ. Prin urmare $$\text{cum }\cos x\in [-1,1],\forall x\in \mathbb{R},\text{ rezulta˘ }{F}^{\prime }(x)=\frac{\cos x}{2-{\cos }^{2}x}\ge 0,\forall x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]\text{(2 p)}.$$ Derivata fiind nenegativă pe interval, $$F\text{ este strict cresca˘toare pe }\left[0,\frac{\pi }{2}\right]\text{(1 p)}.$$ (De precizat, pentru că baremul o trece sub tăcere: derivata se anulează într-un singur punct, capătul $x=\frac{\pi }{2}$, unde $\cos x=0$; pe restul intervalului ea este strict pozitivă. O funcție cu derivată pozitivă care se anulează doar în puncte izolate este strict crescătoare — de aceea concluzia este „strict", nu doar „crescătoare". Control: o primitivă explicită este $F(x)=\mathrm{arctg}(\sin x)$, iar $F(0)=0<F\left(\frac{\pi }{4}\right)\approx 0,6155<F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{4}$. Unde se greșește de obicei: se calculează o primitivă anume și se studiază doar aceea, deși enunțul cere orice primitivă — toate diferă printr-o constantă, deci au aceeași derivată și aceeași monotonie.)

c) (5 p) Integrala nu se calculează direct; se folosește o simetrie a funcției față de mijlocul intervalului. Se observă întâi că, deoarece cosinusul are perioada $2\pi$ și $\cos (2\pi -y)=\cos y$, $$f(y)=f(2\pi -y)\text{(1 p)}.$$ Notând $I={\int }_0^{2\pi }x\cdot f(x)dx$ și făcând schimbarea de variabilă $x=2\pi -y$ (care întoarce capetele și schimbă semnul lui $dx$): $$\text{cu substituția }x=2\pi -y\text{ se obține }I={\int }_0^{2\pi }(2\pi -y)f(y)dy\text{(1 p)}.$$ Desfăcând paranteza, integrala se sparge în două, iar a doua este chiar $I$ scris cu altă literă de integrare: $$=2\pi {\int }_0^{2\pi }f(y)dy-I\text{(1 p)}.$$ Rămâne de calculat integrala funcției pe o perioadă completă. Cu aceeași substituție ca la subpunctul a), $\sin y=t$, capetele devin amândouă $0$ (căci $\sin 0=\sin 2\pi =0$), deci $${\int }_0^{2\pi }f(y)dy=0\text{(1 p)}.$$ Egalitatea devine $I=2\pi \cdot 0-I$, adică $2I=0$: $$\text{deci }I=0\text{(1 p)}.$$ (Control numeric: integrala ${\int }_0^{2\pi }x\cdot f(x)dx$ calculată cu metoda lui Simpson dă $-6\cdot 10^{-14}$, adică zero în limita erorii de calcul. De ce funcționează trucul: graficul lui $f$ este simetric față de dreapta $x=\pi$, iar factorul $x$ este antisimetric față de aceeași dreaptă, după ce i se scade valoarea din mijloc — produsul se anulează pe perioadă. Unde se greșește de obicei: se caută o primitivă a lui $x\cdot f(x)$, care nu se scrie elementar cu mijloacele clasei; sau se uită că substituția $x=2\pi -y$ inversează capetele, iar minusul din $dx=-dy$ le pune la loc.)