Bac M1 2011, modelul oficial — rezolvat

Toate probele din 2011 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026 · Baremul oficial al probei are o greșeală de tipar

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este modelul oficial de subiect pentru proba E. c), Matematică M_mate-info, publicat înaintea sesiunilor din 2011 ca reper al structurii și al nivelului de dificultate. Un model nu se dă în ziua examenului: el este documentul prin care ministerul anunță, la începutul anului școlar, cum va arăta proba — de aceea nu poartă număr de variantă, ci mențiunea „MODEL". Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației, Cercetării, Tineretului și Sportului prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare publicat împreună cu modelul.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare. Pe model apare, în plus față de subiectele de sesiune, și precizarea „La toate subiectele se cer rezolvări complete".

Structura probei, așa cum o anunță modelul din 2011:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: modulul unui număr cu radical la partea imaginară — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul al doilea: mulțimea valorilor, determinată prin condiția de existență a soluțiilor — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Progresii geometrice: rația la pătrat și termenul de rang superior — clasa a IX-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: proprietățile logaritmului și injectivitatea lui — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Geometrie analitică: condiția de perpendicularitate a două drepte — clasa a XI-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie: formula fundamentală și semnul cosinusului pe cadranul al doilea — clasa a X-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Familie de matrice: o matrice nilpotentă ridicată la o putere mare, o relație funcțională $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$ și inversa citită din ea — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Lege de compoziție, grup, izomorfism: element neutru, element simetrizabil și morfism către grupul multiplicativ al numerelor reale strict pozitive — clasa a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, limită de tip $1^{\infty }$ și teorema lui Rolle: derivata într-un punct citită ca limită, limita cu numărul lui Euler și numărul rădăcinilor derivatei — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Șir de integrale: două integrale elementare cu arctangentă și logaritm, apoi un argument de divizibilitate a polinoamelor pentru raționalitate — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a anunțat, de fapt, modelul pentru 2011. Modelul a fixat un nivel vizibil mai ridicat la subpunctele c) decât la sesiunile obișnuite. Subiectul I este clasic și acoperă șase capitole diferite, fără nicio cerință lungă. Subiectul al II-lea aduce, la problema $1$, o matrice nilpotentă — diferența $A(2)-A(0)$ are cubul nul, deci puterea a $2010$-a este matricea nulă, oricât de mare ar fi exponentul; la problema $2$, o lege de compoziție pentru care izomorfismul cu $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$ este dat explicit, deci se cere doar verificarea, nu descoperirea lui. Subiectul al III-lea este cel mai greu: la problema $1$, subpunctul b) este o limită de tip $1^{\infty }$ care duce la $e^4$, iar subpunctul c) cere teorema lui Rolle aplicată de trei ori; la problema $2$, subpunctul c) se rezolvă printr-un argument de divizibilitate a polinoamelor — capitol care la noi stă în unitatea de supliment, chiar dacă itemul în sine este de analiză.

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $35$ de minute pentru Subiectul I, $50$ de minute pentru Subiectul al II-lea, $65$ de minute pentru Subiectul al III-lea (cel mai greu din probă) și ultimele $10$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $e^4$ și $\frac{\pi }{4}-\frac{\ln 2}{2}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise — modelul o spune explicit, într-o precizare care nu apare pe subiectele de sesiune. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: mulțimea valorilor unei funcții dată fără condiția pe discriminant; cosinusul scris cu ambele semne, fără alegerea cadranului; concluzia „este izomorfism" fără ambele jumătăți, bijectivitatea și proprietatea de morfism; aplicarea teoremei lui Rolle fără verificarea celor trei ipoteze (continuitate, derivabilitate, valori egale la capete).
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$; atenție, sub radical intră pătratul părții imaginare, deci un radical de acolo dispare. Mulțimea valorilor: $y\in \mathrm{Im}f$ înseamnă că ecuația $f(x)=y$ are soluție reală, deci $\Delta \ge 0$. Progresii geometrice: $b_{n+1}=b_{n}q$, deci $b_{n+k}=b_n{q}^k$ — între doi termeni aflați la doi pași distanță apare $q^2$, care se află fără să se cunoască semnul rației. Logaritmi: $k{\log }_{a}u={\log }_a{u}^k$, ${\log }_{a}u-{\log }_{a}v={\log }_a\frac{u}{v}$, iar din ${\log }_{a}u={\log }_{a}v$ rezultă $u=v$ (logaritmul este injectiv). Perpendicularitate: $m_d\cdot m_{d^{\prime }}=-1$. Trigonometrie: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$; pe cadranul al doilea sinusul este pozitiv, iar cosinusul negativ.
• Matrice: o matrice $N$ pentru care $N^k=O$ se numește nilpotentă; atunci $N^p=O$ pentru orice $p\ge k$, oricât de mare. Când o familie verifică $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$, inversa se citește direct: $A(x{)}^{-1}=A(-x)$, pentru că $A(x)\cdot A(-x)=A(0)=I_3$.
• Structuri algebrice: $e$ este element neutru dacă $x\ast e=e\ast x=x$ pentru orice $x$; $x^{\prime }$ este simetricul lui $x$ dacă $x\ast x^{\prime }=e$; o funcție este izomorfism de grupuri dacă este bijectivă și verifică $f(x\ast y)=f(x)\cdot f(y)$ — ambele jumătăți se demonstrează.
• Derivate și limite: $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=f^{\prime }\left(x_0\right)$; limita fundamentală $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{a}{n}\right)}^n=e^a$, în forma generală ${\left(1+\frac{1}{u_n}\right)}^{u_n}\to e$ când $u_n\to \infty$. Teorema lui Rolle: dacă $f$ este continuă pe $[a,b]$, derivabilă pe $(a,b)$ și $f(a)=f(b)$, atunci există $c\in (a,b)$ cu $f^{\prime }(c)=0$.
• Integrale: $\int \frac{dx}{x^2+1}=\mathrm{arctg}x+\mathcal{C}$, cu $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$; $\int \frac{xdx}{x^2+1}=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+\mathcal{C}$; integrala unui polinom cu coeficienți întregi pe $[0,1]$ este întotdeauna un număr rațional — pe asta se sprijină ultimul subpunct.

Cinci dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $e$ are două înțelesuri complet diferite în această probă: la itemul $8$ ea este elementul neutru al legii de compoziție, un număr din intervalul $(0,1)$, anume $\frac{1}{2}$; la itemul $9$, subpunctul b), $e^4$ conține numărul lui Euler, baza logaritmului natural, $e\approx 2,718$. Cele două nu au nicio legătură; contextul le separă, dar la redactare merită scris explicit despre care este vorba.
• Simbolul $I_3$ de la itemul $7$ este matricea unitate de ordinul al treilea, în timp ce $I_n$ de la itemul $10$ este termenul unui șir de integrale. Indicele înseamnă altceva în fiecare caz: acolo ordinul matricei, aici rangul termenului.
• Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=x^2+x+1$ la itemul $2$, izomorfismul $f(x)=\frac{1}{x}-1$ la itemul $8$ și $f(x)=(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+1$ la itemul $9$. La examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Litera $A$ este punctul $A(3,2)$ la itemul $5$ și matricea $A(x)$ la itemul $7$; litera $x$ este necunoscută la itemii $4$ și $6$, variabilă la itemii $2$, $9$ și $10$, parametru al matricei la itemul $7$ și element al mulțimii $G$ la itemul $8$.
• Litera $n$ este indicele unui șir de numere naturale la itemul $9$, subpunctul b), și rangul termenului din șirul de integrale la itemul $10$; la itemul $10$, subpunctul c), rangul este $4n+1$, deci $n$ numără altceva decât indicele integralei. Simbolul $\ast$ de la itemul $8$ este legea de compoziție dată în enunț, nu înmulțirea obișnuită — înmulțirea din grupul $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$ se scrie cu punct.

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. La toate subiectele se cer rezolvări complete.

Itemul 1 (5 puncte)

Calculați modulul numărului complex $z=1-i\sqrt{3}$.

Itemul 2 (5 puncte)

Determinați mulțimea valorilor funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+x+1$.

Itemul 3 (5 puncte)

Știind că doi termeni ai unei progresii geometrice sunt $b_3=6$ și $b_5=24$, determinați termenul $b_7$.

Itemul 4 (5 puncte)

Determinați $x>0$, știind că ${\log }_{a}x=2{\log }_{a}3-3{\log }_{a}2$, unde $a>0$, $a\ne 1$.

Itemul 5 (5 puncte)

Scrieți ecuația dreptei care conține punctul $A(3,2)$ și este perpendiculară pe dreapta $d:x+2y+5=0$.

Itemul 6 (5 puncte)

Știind că $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ și $\sin x=\frac{2\sqrt{2}}{3}$, calculați $\cos x$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Fie matricea $A(x)=\left(\begin{array}{ccc}1& -2x& 4x^2\\ 0& 1& -4x\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ din mulțimea ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$.

a) (5 puncte) Calculați $(A(2)-A(0){)}^{2010}$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$, oricare ar fi $x,y\in \mathbb{R}$.

c) (5 puncte) Demonstrați că matricea $A(x)$ este inversabilă și calculați inversa matricei $A(x)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea $G=(0,1)$ se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=\frac{xy}{2xy-x-y+1}$.

a) (5 puncte) Verificați dacă $e=\frac{1}{2}$ este elementul neutru al legii „$\ast$".

b) (5 puncte) Arătați că orice element din mulțimea $G$ este simetrizabil în raport cu legea „$\ast$".

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f:G\to {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, $f(x)=\frac{1}{x}-1$ este un izomorfism de la grupul $(G,\ast )$ la grupul $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Fie funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)+1$.

a) (5 puncte) Calculați $f^{\prime }(5)$.

b) (5 puncte) Calculați $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{f(n+1)-1}{f(n)-1}\right)}^n$.

c) (5 puncte) Arătați că ecuația $f^{\prime }(x)=0$ are exact trei soluții reale distincte.

Itemul 10 (15 puncte)

Fie șirul $(I_n{)}_{n\ge 0}$, $I_n={\int }_0^1\frac{(x^2+x+1{)}^n-x}{x^2+1}dx$.

a) (5 puncte) Calculați $I_0$.

b) (5 puncte) Verificați dacă $I_2-I_0\in \mathbb{Q}$.

c) (5 puncte) Arătați că $I_{4n+1}\in \mathbb{Q}$, oricare ar fi $n\in \mathbb{N}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al modelului din 2011; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — modulul unui număr complex.

Numărul are partea reală $1$ și partea imaginară $-\sqrt{3}$, iar sub radicalul modulului intră pătratele lor: $$|1-i\sqrt{3}|=\sqrt{1^2+{\left(-\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{1+3}\text{(3 p)}.$$ Radicalul de la partea imaginară dispare la ridicarea la pătrat, deci $$|1-i\sqrt{3}|=\sqrt{4}=2\text{(2 p)}.$$ (Control geometric: punctul $(1,-\sqrt{3})$ se află la distanța $2$ de origine, iar unghiul lui față de axa reală este $-60^{\circ }$ — numărul este $2(\cos (-60^{\circ })+i\sin (-60^{\circ }))$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\sqrt{1+\sqrt{3}}$, adică se uită ridicarea la pătrat a părții imaginare, sau se ia partea imaginară egală cu $\sqrt{3}$, fără semnul minus — aici nu contează, fiindcă oricum se ridică la pătrat, dar la alte cerințe contează.)

Itemul 2. (5 p) — mulțimea valorilor unei funcții de gradul al doilea.

Un număr $y$ este valoare a funcției exact atunci când ecuația $f(x)=y$ are cel puțin o soluție reală. Trecând totul într-un membru, ecuația de gradul al doilea în $x$ este $$x^2+x+1-y=0\text{(1 p)}.$$ Ea are soluții reale exact când discriminantul ei este nenegativ: $$\Delta =1-4(1-y)=4y-3\ge 0\text{(2 p)},$$ adică $y\ge \frac{3}{4}$. Prin urmare $$\mathrm{Im}f=\left[\frac{3}{4},+\infty \right)\text{(2 p)}.$$ (Același rezultat din forma canonică: $x^2+x+1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}$, iar pătratul este nenegativ, deci minimul este $\frac{3}{4}$, atins în $x=-\frac{1}{2}$. Parabola având coeficientul dominant pozitiv, ea urcă la $+\infty$ de ambele părți. Unde se greșește de obicei: se scrie capătul deschis, deși valoarea $\frac{3}{4}$ este atinsă, în vârful parabolei. Control numeric: $f(-0,5)=0,75$ și $f(-0,4)=0,76$.)

Itemul 3. (5 p) — progresie geometrică.

Termenii unei progresii geometrice verifică $b_{n+k}=b_n{q}^k$. Din primul termen și rație se poate afla oricare, dar aici cel mai scurt drum trece prin $b_1$: $$b_1=\frac{b_3}{q^2},\text{ iar din datele problemei }{b}_1=\frac{3}{2}\text{(1 p)}.$$ Rația la pătrat se obține din raportul celor doi termeni dați, aflați la doi pași distanță: $$q^2=\frac{b_5}{b_3}=\frac{24}{6}=4\text{(2 p)}.$$ Termenul cerut este cu doi pași după $b_5$, deci se înmulțește tot cu $q^2$: $$b_7=b_5{q}^2=24\cdot 4=96\text{(2 p)}.$$ (Observație importantă: nu este nevoie de semnul rației. Din $q^2=4$ rezultă $q=2$ sau $q=-2$, dar $b_7$ se obține înmulțind cu $q^2$, care are aceeași valoare în ambele cazuri. Control pe ambele progresii: cu $q=2$ șirul este $\frac{3}{2},3,6,12,24,48,96$; cu $q=-2$ este $\frac{3}{2},-3,6,-12,24,-48,96$ — același $b_7$. Unde se greșește de obicei: se caută $q$ și se alege doar una dintre valori, sau se înmulțește cu $q$ în loc de $q^2$.)

Itemul 4. (5 p) — ecuație logaritmică.

Coeficienții din fața logaritmilor urcă la exponent, după regula $k{\log }_{a}u={\log }_a{u}^k$: $${\log }_{a}x={\log }_a{3}^2-{\log }_a{2}^3={\log }_{a}9-{\log }_{a}8\text{(2 p)}.$$ Diferența a doi logaritmi de aceeași bază este logaritmul câtului, iar logaritmul este injectiv, deci din egalitatea logaritmilor rezultă egalitatea argumentelor: $${\log }_{a}x={\log }_a\frac{9}{8}⟹x=\frac{9}{8}\text{(3 p)}.$$ (Valoarea găsită este strict pozitivă, deci condiția $x>0$ din enunț este îndeplinită. Baza $a$ dispare complet din răspuns — asta se întâmplă mereu când toți logaritmii au aceeași bază, și de aceea enunțul o lasă nedeterminată, cerând doar $a>0$ și $a\ne 1$. Unde se greșește de obicei: coeficientul se pune ca factor la argument, $2{\log }_{a}3={\log }_{a}6$, în loc de exponent, ${\log }_{a}9$. Control: pentru $a=10$, $2\log 3-3\log 2\approx 0,954-0,903=0,051$, iar $\log 1,125\approx 0,051$.)

Itemul 5. (5 p) — dreapta perpendiculară pe o dreaptă dată.

Din $x+2y+5=0$ se scoate $y=-\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$, deci panta lui $d$ este $-\frac{1}{2}$; condiția de perpendicularitate cere ca produsul pantelor să fie $-1$: $$m_d=-\frac{1}{2}⟹m_{d^{\prime }}=2,\text{ unde }d\perp d^{\prime }\text{(2 p)}.$$ Dreapta $d^{\prime }$ trece prin $A(3,2)$, deci $y-2=2(x-3)$: $$\text{ecuația dreptei }{d}^{\prime }\text{ este }\mathbf{y}=2x-4\text{(3 p)}.$$ (Verificare: $A(3,2)$ chiar o verifică, $2\cdot 3-4=2$; iar $m_d\cdot m_{d^{\prime }}=-\frac{1}{2}\cdot 2=-1$, cum trebuie. Un control suplimentar: dreptele se intersectează în punctul în care $2x-4=-\frac{x}{2}-\frac{5}{2}$, adică $x=\frac{3}{5}$, deci ele chiar se taie. Unde se greșește de obicei: se ia $m_{d^{\prime }}=-\frac{1}{2}$, adică se scrie condiția de paralelism, sau se răstoarnă panta fără să se schimbe semnul, $m_{d^{\prime }}=-2$.)

Itemul 6. (5 p) — formula fundamentală a trigonometriei.

Din ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ și $\sin x=\frac{2\sqrt{2}}{3}$, adică ${\sin }^{2}x=\frac{8}{9}$: $${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}\text{(2 p)}.$$ Extrăgând rădăcina pătrată apar două posibilități: $$\cos x=\pm \frac{1}{3}\text{(1 p)}.$$ Semnul se alege după cadran: pe $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$, adică pe cadranul al doilea, cosinusul este negativ, deci $$x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)⟹\cos x=-\frac{1}{3}\text{(2 p)}.$$ (Control: cu $\sin x=\frac{2\sqrt{2}}{3}\approx 0,943$ și $\cos x=-\frac{1}{3}$, suma pătratelor este $\frac{8}{9}+\frac{1}{9}=1$, iar unghiul este aproximativ $160,5^{\circ }$ — chiar pe cadranul al doilea. Unde se greșește de obicei: se răspunde cu ambele semne, fără discuția de cadran, care este punctată separat; sau se ia ${\sin }^{2}x=\frac{2\cdot 2}{9}=\frac{4}{9}$, uitând că se ridică la pătrat și coeficientul $2$ din fața radicalului.)

Itemul 7. (15 p) — familie de matrice de ordinul al treilea.

a) (5 p) Se calculează cele două matrice și se scade element cu element. Pentru $x=2$, matricea este $\left(\begin{array}{ccc}1& -4& 16\\ 0& 1& -8\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, iar pentru $x=0$ ea devine chiar $I_3$: $$A(2)-A(0)=\left(\begin{array}{ccc}0& -4& 16\\ 0& 0& -8\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Matricea obținută este strict superior triunghiulară; pătratul ei are o singură poziție nenulă, iar cubul se anulează complet: $$(A(2)-A(0){)}^3=O_3\text{(2 p)}.$$ Cum $2010>3$, puterea cerută se scrie ca produs dintre cub și restul factorilor, deci $$(A(2)-A(0){)}^{2010}={\mathbf{O}}_3\text{(1 p)}.$$ (O matrice cu o putere nulă se numește nilpotentă; odată ce o putere se anulează, toate cele mai mari se anulează la rândul lor, oricât de mare ar fi exponentul — de aceea exponentul $2010$ nu sperie. Control intermediar: ${\left(\begin{array}{ccc}0& -4& 16\\ 0& 0& -8\\ 0& 0& 0\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 32\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$, iar înmulțind încă o dată se obține matricea nulă. Unde se greșește de obicei: se încearcă ridicarea directă la puterea $2010$, sau se scade $A(0)$ ca și cum ar fi matricea nulă — ea este $I_3$.)

b) (5 p) Se înmulțesc matricele după regula „linie pe coloană". Cele două zerouri de sub diagonală simplifică mult calculul, iar poziția din colțul din dreapta sus adună trei produse: $$\begin{array}{rl}& A(x)A(y)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& -2x-2y& 4y^2+8xy+4x^2\\ 0& 1& -4x-4y\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ Se recunosc formulele $-2x-2y=-2(x+y)$ și $4x^2+8xy+4y^2=4(x+y{)}^2$, deci matricea obținută este chiar cea din enunț, scrisă pentru $x+y$: $$\begin{array}{rl}& A(x)A(y)\\ & =A(x+y),\text{ oricare ar fi }x,y\\ & \in \mathbb{R}\text{(2 p)}.\end{array}$$ (Verificare pe poziția din colțul din dreapta sus: $1\cdot 4y^2+(-2x)(-4y)+4x^2\cdot 1=4y^2+8xy+4x^2=4(x+y{)}^2$ — pătratul perfect apare exact pentru că elementele au fost alese cu coeficienții $-2x$ și $4x^2$. Control numeric: $A(1)A(1)=A(2)$, adică ${\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 4\\ 0& 1& -4\\ 0& 0& 1\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{ccc}1& -4& 16\\ 0& 1& -8\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc elementele „poziție cu poziție", ca la adunare.)

c) (5 p) Matricea este triunghiulară, deci determinantul ei este produsul elementelor de pe diagonala principală: $$\begin{array}{rl}& \\ & \det (A(x))\\ & =1\\ & \ne 0,\text{ deci matricea este inversabila˘}\text{(1 p)}.\end{array}$$ Inversa nu trebuie calculată cu formula clasică: relația de la subpunctul b), scrisă pentru $y=-x$, o dă direct, pentru că $A(0)=I_3$: $$A(x)\cdot A(-x)=A(0)=I_3\text{(2 p)}.$$ Prin urmare inversa este chiar matricea familiei pentru parametrul opus: $$\begin{array}{rl}& (A(x){)}^{-1}\\ & =A(-x)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2x& 4x^2\\ 0& 1& 4x\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{(2 p)}.\end{array}$$ (⚠️ Divergență față de documentul oficial: în baremul tipărit, ultimul element al acestei matrice apare ca $0$ în loc de $1$ — o greșeală de tipar. Că este vorba de o eroare se vede din chiar rândul anterior al baremului, $A(x)A(-x)=A(0)=I_3$: dacă ultimul element ar fi zero, matricea nici n-ar mai fi inversabilă, iar produsul n-ar putea da $I_3$. Am transcris valoarea corectă. Verificare: $\left(\begin{array}{ccc}1& -2x& 4x^2\\ 0& 1& -4x\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2x& 4x^2\\ 0& 1& 4x\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=I_3$, poziția din colțul din dreapta sus dând $4x^2-8x^2+4x^2=0$. Unde se greșește de obicei: se calculează inversa prin matricea adjunctă — corect, dar de câteva ori mai lung decât folosirea relației de la b).)

Itemul 8. (15 p) — lege de compoziție, grup și izomorfism.

a) (5 p) Se calculează compusul unui element oarecare cu $\frac{1}{2}$, în ambele ordini — legea fiind simetrică în $x$ și $y$, cele două calcule coincid: $$x\ast \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\ast x=x,\text{ pentru orice }x\in G\text{(1 p)}.$$ Verificarea propriu-zisă: la numitor, termenii în $x$ se reduc și rămâne $\frac{1}{2}$: $$x\ast \frac{1}{2}=\frac{x\cdot \frac{1}{2}}{2x\cdot \frac{1}{2}-x-\frac{1}{2}+1}=\frac{\frac{x}{2}}{x-x+\frac{1}{2}}=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{1}{2}}=x\text{(3 p)}.$$ Cum $\frac{1}{2}$ aparține intervalului $(0,1)$ și verifică proprietatea pentru orice element, legea „$\ast$" are element neutru $$e=\frac{1}{2}\text{(1 p)}.$$ (Numitorul nu se anulează niciodată pe $G$: $2xy-x-y+1=(2x-1)\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}$, iar mai simplu se vede scriind $2xy-x-y+1=2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}>0$ când ambii factori au același semn, și se verifică direct în celelalte cazuri. Aici litera $e$ înseamnă elementul neutru, nu numărul lui Euler. Unde se greșește de obicei: se verifică doar $x\ast e=x$ și se uită $e\ast x=x$; la o lege simetrică ele coincid, dar simetria trebuie spusă.)

b) (5 p) Simetricul lui $x$ este acel $x^{\prime }$ pentru care $x\ast x^{\prime }=e$. Din $\frac{x{x}^{\prime }}{2x{x}^{\prime }-x-x^{\prime }+1}=\frac{1}{2}$ rezultă $2x{x}^{\prime }=2x{x}^{\prime }-x-x^{\prime }+1$, adică $x+x^{\prime }=1$: $$\text{orice element din }G\text{ este simetrizabil și }{x}^{\prime }=1-x\text{(3 p)}.$$ Mai rămâne de arătat că simetricul rămâne în mulțime: din $0<x<1$ rezultă $-1<-x<0$, deci $$0<x^{\prime }=1-x<1,\text{ deci }{x}^{\prime }\in G\text{(2 p)}.$$ (Termenii în $x{x}^{\prime }$ se reduc — de aceea ecuația, care părea de gradul al doilea, este de fapt de gradul întâi. Control numeric: pentru $x=\frac{1}{4}$ simetricul este $\frac{3}{4}$, iar $\frac{1}{4}\ast \frac{3}{4}=\frac{3/16}{3/8-1/4-3/4+1}=\frac{3/16}{3/8}=\frac{1}{2}$ — chiar elementul neutru. Unde se greșește de obicei: se oprește rezolvarea la formula $x^{\prime }=1-x$, fără verificarea apartenenței la $G$, care este punctată separat; ea este esențială, altfel legea n-ar avea structură de grup.)

c) (5 p) Un izomorfism cere două lucruri: bijectivitate și proprietatea de morfism.

Bijectivitatea. Funcția $f(x)=\frac{1}{x}-1$ este strict descrescătoare pe $(0,1)$, fiind diferența dintre $\frac{1}{x}$, strict descrescătoare, și o constantă; la capete are limitele $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$ și $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=0$, deci imaginea este exact $(0,+\infty )={\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$: $$\text{justificarea faptului ca˘ funcția }f\text{ este bijectiva˘}\text{(2 p)}.$$ Proprietatea de morfism. Se calculează $f$ pe compusul a două elemente, înlocuind $\frac{1}{x\ast y}=\frac{2xy-x-y+1}{xy}$ și scăzând $1=\frac{xy}{xy}$: $$f(x\ast y)=\frac{1}{x\ast y}-1=\frac{2xy-x-y+1-xy}{xy}=\frac{xy-x-y+1}{xy}=\frac{(x-1)(y-1)}{xy}\text{(2 p)}.$$ Pe de altă parte, produsul imaginilor dă aceeași expresie: $$f(x)f(y)=\left(\frac{1}{x}-1\right)\left(\frac{1}{y}-1\right)=\frac{(1-x)(1-y)}{xy}=\frac{(x-1)(y-1)}{xy}=f(x\ast y)\text{(1 p)}.$$ (Cele două paranteze schimbă semnul deodată, deci produsul lor rămâne același: $(1-x)(1-y)=(x-1)(y-1)$. Aici se vede și de ce legea are forma aceea complicată — ea este pur și simplu înmulțirea numerelor pozitive, „tradusă" prin funcția $f$. Control numeric: pentru $x=\frac{1}{2}$ și $y=\frac{1}{4}$, compusul este $\frac{1/8}{1/4-1/2-1/4+1}=\frac{1/8}{1/2}=\frac{1}{4}$, iar $f\left(\frac{1}{4}\right)=3$; pe de altă parte $f\left(\frac{1}{2}\right)f\left(\frac{1}{4}\right)=1\cdot 3=3$. Unde se greșește de obicei: se demonstrează doar proprietatea de morfism și se declară izomorfism — bijectivitatea este jumătate din definiție și se punctează separat.)

Itemul 9. (15 p) — derivată, limită de tip $1^{\infty }$ și teorema lui Rolle.

a) (5 p) Derivata în $5$ se poate calcula fără să se desfacă produsul, folosind chiar definiția ei ca limită. Cum $f(5)=0+1=1$, numărătorul se simplifică: $$f^{\prime }(5)=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{f(x)-f(5)}{x-5}=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{x-5}\text{(2 p)}.$$ Factorul $x-5$ se simplifică, iar ce rămâne este o funcție continuă, deci limita se obține prin înlocuire: $$f^{\prime }(5)=\underset{x\to 5}{\lim }(x-2)(x-3)(x-4)\text{(2 p)},$$ $$f^{\prime }(5)=3\cdot 2\cdot 1=6\text{(1 p)}.$$ (Același rezultat cu regula produsului: derivata unui produs de patru factori este suma a patru termeni, iar în $x=5$ trei dintre ei conțin factorul $x-5$ și se anulează, rămânând doar $(5-2)(5-3)(5-4)=6$. Control numeric: $\frac{f(5,001)-f(4,999)}{0,002}=6,000$. Unde se greșește de obicei: se desface polinomul de gradul al patrulea și se derivează termen cu termen — corect, dar de patru ori mai lung și cu multe ocazii de greșeală.)

b) (5 p) Se calculează întâi raportul din paranteză. Cum $f(n)-1=(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$ și $f(n+1)-1=(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)$, trei factori se simplifică: $$\frac{f(n+1)-1}{f(n)-1}=\frac{n-1}{n-5}\text{(1 p)}.$$ Limita devine $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{f(n+1)-1}{f(n)-1}\right)}^n=\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{n-1}{n-5}\right)}^n\text{(1 p)}.$$ Raportul se scrie ca $1$ plus ceva mic, ca să apară forma limitei fundamentale: $$=\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{4}{n-5}\right)}^n\text{(1 p)}.$$ Cazul este $1^{\infty }$; scriind exponentul ca $\frac{n-5}{4}\cdot \frac{4n}{n-5}$, prima parte tinde la $e$, iar a doua la $4$: $$=e^4\text{(2 p)}.$$ (Aici litera $e$ înseamnă numărul lui Euler, nu elementul neutru de la itemul $8$. Rețeta generală: ${\left(1+\frac{a}{n}\right)}^n\to e^a$, iar deplasarea cu $5$ de la numitor nu schimbă limita. Control numeric: pentru $n=10^5$, ${\left(\frac{n-1}{n-5}\right)}^n\approx 54,60$, iar $e^4\approx 54,598$. Unde se greșește de obicei: se scrie limita paranteze $=1$ și se conchide $1^n=1$ — este exact cazul de nedeterminare, iar exponentul $n$ „vede" viteza cu care paranteza se apropie de unu.)

c) (5 p) Se aplică teorema lui Rolle pe fiecare dintre cele trei intervale determinate de rădăcinile evidente. Mai întâi, valorile la capete sunt egale: $$f(2)=1,f(3)=1,f(4)=1,f(5)=1\text{(1 p)}.$$ Apoi cele două ipoteze de regularitate, verificate pentru că $f$ este funcție polinomială: $$f\text{ este continua˘ pe intervalele }[2,3],[3,4],[4,5]\text{(1 p)},$$ $$f\text{ este derivabila˘ pe intervalele }(2,3),(3,4),(4,5)\text{(1 p)}.$$ Teorema lui Rolle dă atunci câte o rădăcină a derivatei în interiorul fiecărui interval, deci trei rădăcini distincte (intervalele fiind disjuncte); cum $f^{\prime }$ este de gradul al treilea, ea nu poate avea mai mult de trei rădăcini: $$\text{din teorema lui Rolle și din faptul ca˘ }{f}^{\prime }\text{ este de gradul trei rezulta˘ ca˘ }{f}^{\prime }(x)=0\text{ are exact trei soluții reale distincte}\text{(2 p)}.$$ (Argumentul are două jumătăți care se completează: Rolle dă cel puțin trei, iar gradul dă cel mult trei — de aici „exact". Control numeric: rădăcinile derivatei sunt aproximativ $2,38$, $3,5$ și $4,62$, câte una în fiecare interval; cea din mijloc este exact $3,5$, prin simetria polinomului față de această valoare. Unde se greșește de obicei: se aplică Rolle fără să se verifice cele trei ipoteze, sau se uită argumentul de grad, care este cel ce transformă „cel puțin trei" în „exact trei".)

Itemul 10. (15 p) — șir de integrale și raționalitatea termenilor.

a) (5 p) Pentru $n=0$ numărătorul devine $(x^2+x+1{)}^0-x=1-x$, deci $$I_0={\int }_0^1\frac{1-x}{x^2+1}dx\text{(1 p)}.$$ Integrala se sparge în două bucăți standard. Prima este arctangenta: $${\int }_0^1\frac{1}{x^2+1}dx=\mathrm{arctg}x{|}_0^1=\frac{\pi }{4}\text{(1 p)}.$$ A doua are la numărător jumătate din derivata numitorului: $${\int }_0^1\frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\ln (x^2+1){|}_0^1=\frac{\ln 2}{2}\text{(2 p)}.$$ Scăzându-le: $$I_0=\frac{\pi }{4}-\frac{\ln 2}{2}\text{(1 p)}.$$ (Control numeric: $\frac{\pi }{4}-\frac{\ln 2}{2}\approx 0,7854-0,3466=0,4388$, iar integrala calculată numeric dă $0,438825$. Unde se greșește de obicei: se scrie $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{2}$ în loc de $\frac{\pi }{4}$, sau se uită factorul $\frac{1}{2}$ de la logaritm — derivata lui $x^2+1$ este $2x$, nu $x$. De reținut că orice putere cu exponentul zero a unei expresii nenule este $1$; aici $x^2+x+1>0$ pe tot intervalul.)

b) (5 p) Diferența anulează termenul $-x$ de la numărător, care apare în amândouă integralele: $$I_2-I_0={\int }_0^1\frac{(x^2+x+1{)}^2-1}{x^2+1}dx\text{(1 p)}.$$ Împărțind polinomul de la numărător, $x^4+2x^3+3x^2+2x$, la $x^2+1$, se obține câtul $x^2+2x+2$ și restul $-2$: $$I_2-I_0={\int }_0^1(x^2+2x+2)dx-{\int }_0^1\frac{2}{x^2+1}dx\text{(1 p)}.$$ Prima integrală este a unui polinom și dă un număr rațional, $\frac{1}{3}+1+2=\frac{10}{3}$: $$I_2-I_0=\frac{10}{3}-2{\int }_0^1\frac{dx}{x^2+1}\text{(1 p)}.$$ A doua integrală a fost deja calculată la subpunctul a) și valorează $\frac{\pi }{4}$, deci $$I_2-I_0=\frac{10}{3}-\frac{\pi }{2}\notin \mathbb{Q}\text{(2 p)}.$$ (De ce nu este rațional: $\pi$ este irațional, deci $\frac{\pi }{2}$ la fel, iar diferența dintre un rațional și un irațional este întotdeauna irațională — dacă ar fi rațională, scăzând-o din $\frac{10}{3}$ am obține că $\frac{\pi }{2}$ este rațional, contradicție. Enunțul cere „verificați dacă", deci răspunsul este „nu", cu justificare. Control numeric: $\frac{10}{3}-\frac{\pi }{2}\approx 3,3333-1,5708=1,7625$, iar diferența calculată numeric a celor două integrale dă $1,762537$. Unde se greșește de obicei: se dezvoltă $(x^2+x+1{)}^2$ greșit — corect este $x^4+2x^3+3x^2+2x+1$ — sau se sare peste împărțirea cu rest, deși ea este singurul mod de a desprinde partea polinomială.)

c) (5 p) Cheia este divizibilitatea polinoamelor. Scriind $x^2+x+1=(x^2+1)+x$ și desfăcând puterea cu binomul lui Newton, toți termenii în afară de $x^{4n+1}$ conțin factorul $x^2+1$; rămâne de arătat că și $x^{4n+1}-x$ se divide cu el. Dar $x^{4n+1}-x=x\left((x^4{)}^n-1\right)$, iar $(x^4{)}^n-1$ se divide cu $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$: $$X^2+1\text{ divide }(X^2+X+1{)}^{4n+1}-X\text{(2 p)}.$$ Împărțitorul fiind un polinom unitar cu coeficienți întregi, câtul are tot coeficienți întregi: $$\frac{(x^2+x+1{)}^{4n+1}-x}{x^2+1}=g(x),\text{ unde }g\in \mathbb{Z}[X]\text{(1 p)}.$$ Integrala unui polinom cu coeficienți întregi pe $[0,1]$ este o sumă finită de fracții $\frac{a_k}{k+1}$ cu $a_k$ întregi, deci un număr rațional: $$I_{4n+1}={\int }_0^{1}g(x)dx\in \mathbb{Q}\text{(2 p)}.$$ (Al doilea drum, mai scurt, pentru divizibilitate: rădăcinile lui $X^2+1$ sunt $\pm i$, iar $(i^2+i+1{)}^{4n+1}-i=i^{4n+1}-i=i-i=0$, fiindcă $i^{4n}=1$; la fel pentru $-i$. Un polinom care se anulează în ambele rădăcini distincte ale unui divizor de gradul al doilea se divide cu el. Control pe cazul $n=0$: $I_1={\int }_0^1\frac{x^2+x+1-x}{x^2+1}dx={\int }_0^{1}1dx=1\in \mathbb{Q}$ — iar aici $g(x)=1$, într-adevăr cu coeficienți întregi. Unde se greșește de obicei: se încearcă un calcul direct al integralei, imposibil pentru $n$ oarecare; toată ideea este că nu trebuie calculată, ci doar arătat că integrandul este polinom.)