Bac M1 2026, sesiunea iunie-iulie, varianta de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Toate probele din 2026 · Toate subiectele Bac M1 2010–2026 · Baremul oficial al probei are o greșeală de tipar

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat M1

Pentru părinți și profesori

Aceasta nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de rezervă al probei E. c), Matematică M_mate-info, pentru sesiunea iunie-iulie 2026 a examenului național de bacalaureat — Varianta 7. Variantele de rezervă se pregătesc pentru situațiile în care subiectul principal nu poate fi folosit și se publică de Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare împreună cu baremul lor; ele au exact aceeași structură, aceeași programă și același nivel ca subiectul principal, deci sunt material de antrenament la fel de bun. Enunțurile sunt reproduse exact, cu valorile, notațiile și ordinea din documentul publicat de Ministerul Educației și Cercetării. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi; structura punctajului urmează baremul oficial de evaluare și de notare.

Proba se adresează filierei teoretice, profilul real, specializarea matematică-informatică, și filierei vocaționale, profilul militar, aceeași specializare.

Structura probei, așa cum arată ea în varianta de rezervă din 2026:

Harta materiei acoperite, pe cerințe:

• Numere complexe: operații în formă algebrică, cu $i^2=-1$ — clasa a X-a. (Itemul 1 — 5 puncte)
• Funcția de gradul întâi: valorile unei funcții liniare în puncte vecine și o ecuație de gradul întâi — clasa a IX-a. (Itemul 2 — 5 puncte)
• Ecuație logaritmică: coeficientul $\frac{1}{2}$ urcat în exponent și condițiile de existență — clasa a X-a. (Itemul 3 — 5 puncte)
• Probabilități: cazuri favorabile pe cazuri posibile, într-o mulțime de multipli — clasa a X-a. (Itemul 4 — 5 puncte)
• Vectori în reper cartezian: o egalitate vectorială citită ca „mijloc de segment" — clasele a IX-a – a X-a. (Itemul 5 — 5 puncte)
• Trigonometrie în triunghiul dreptunghic: tangenta unui unghi ascuțit și aria triunghiului — clasa a IX-a. (Itemul 6 — 5 puncte)
• Matrice de ordinul al treilea cu parametru: determinantul unei matrice numerice, relația $A(a)\cdot A(a)=(2a-1)A(a)$ și o ecuație matriceală rezolvată prin identificarea coeficienților — clasa a XI-a. (Itemii 7a, 7b, 7c — 15 puncte)
• Polinoame: valoarea unui polinom într-un punct, împărțirea cu rest și condiția ca două rădăcini să fie opuse, tratată prin suma și diferența valorilor — clasele a X-a – a XII-a. (Itemii 8a, 8b, 8c — 15 puncte)
• Derivată, tangentă, numărul soluțiilor: derivarea unei sume cu radical și logaritm, ecuația tangentei într-un punct și discuția după parametrul $m$ — clasele a XI-a – a XII-a. (Itemii 9a, 9b, 9c — 15 puncte)
• Integrale definite și arie: simplificarea integrandului, integrarea prin părți cu logaritm și aria subgraficului unei funcții exponențiale — clasa a XII-a. (Itemii 10a, 10b, 10c — 15 puncte)

Ce a cerut, de fapt, varianta de rezervă a sesiunii 2026. Subiectul I este alcătuit din șase cerințe scurte, dar fiecare cu o mică piedică: semnul lui $3i^2$ la numerele complexe, coeficientul $\frac{1}{2}$ care se transformă în pătrat la logaritmi, multiplii de $15$ la probabilități, citirea egalității vectoriale ca „$A$ este mijlocul lui $BC$". Subiectul al II-lea a pus în slotul de algebră o familie de matrice idempotentă până la un factor (problema 1), unde subpunctul c) se rezolvă fără niciun calcul de matrice, doar folosind relația de la b), și un polinom de gradul al patrulea cu doi parametri (problema 2), al cărui ultim subpunct este de fapt o ecuație în numere naturale. Subiectul al III-lea cere, la problema 1, lanțul derivată $\to$ tangentă orizontală $\to$ discuție după parametru pe o funcție pară, iar la problema 2 două integrale în care integrandul se simplifică înainte de orice și o arie care se calculează după o rescriere ingenioasă a integrandului.

Notă pentru elevii care învață pe programa nouă: problema a doua a Subiectului al II-lea este despre polinoame, capitol care nu mai apare în programa clasei a XII-a intrată în vigoare, dar care se află în programa pe care o dau sesiunile de Bacalaureat M1 până în 2029. La noi, materia lui stă în unitatea de supliment „Inele, corpuri și polinoame".

Cum se aplică, ca probă completă:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din itemi + 10 puncte din oficiu).
• Timp de lucru: 3 ore, cronometrate, exact ca la examen. Reper de gestiune a timpului: $45$ de minute pentru Subiectul I, câte $50$ de minute pentru Subiectele al II-lea și al III-lea, iar ultimele $15$ minute pentru recitire.
• Materiale: foi de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator, fără formulare — ca la proba reală. Toate rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $6\sqrt{3}$, $e^2+9$ și $\frac{1}{2}\ln \frac{3e}{e+2}$.
• Redactare: la toate cele trei subiecte se cere rezolvare completă, cu justificări scrise. La Subiectele al II-lea și al III-lea, fiecare subpunct valorează câte 5 puncte, acordate pe pași.
• Regulile oficiale de notare, tipărite chiar pe barem: pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător; nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem; nota finală se obține împărțind la zece punctajul total.
• Se depunctează, ca la examen: soluțiile unei ecuații logaritmice date fără condițiile de existență; probabilitatea scrisă fără numărarea cazurilor posibile; simplificarea unei egalități matriceale prin $A(n)$ fără să se spună de ce se poate; concluzia „$x_1\ne 0$" folosită fără justificare la polinom; aria scrisă ca integrală fără verificarea semnului funcției.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut trimite la o unitate anume — harta de mai sus este și fișa de recuperare.

Interpretarea rezultatului:

Formule de reținut, pe subiecte:

• Numere complexe: $i^2=-1$; se desfac parantezele ca la polinoame, apoi se înlocuiește $i^2$. Funcții: valoarea unei funcții liniare într-un argument compus se obține înlocuind variabila peste tot. Logaritmi: $\frac{1}{2}{\log }_{b}u={\log }_b\sqrt{u}$, dar mai comod este să înmulțești ecuația cu $2$ și să folosești $2{\log }_{b}x={\log }_b{x}^2$; condițiile de existență se scriu înainte. Probabilități: $p=\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; multiplii lui $3$ care sunt și multipli de $5$ sunt multiplii lui $15$. Vectori: $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}$ înseamnă exact că $A$ este mijlocul segmentului $BC$. Triunghiul dreptunghic: $\mathrm{tg}B=\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{cateta ala˘turata˘}}$, iar aria este semiprodusul catetelor.
• Matrice: determinantul de ordinul al treilea prin regula lui Sarrus; când o familie de matrice satisface $A^2=kA$, orice putere se reduce la un multiplu al lui $A$, iar ecuațiile matriceale se rezolvă comparând coeficienții — cu grija de a spune de ce $A\ne O_3$.
• Polinoame: teorema împărțirii cu rest, $f=g\cdot q+r$ cu $\mathrm{grad}r<\mathrm{grad}g$; dacă $x_1$ și $-x_1$ sunt rădăcini, atunci suma $f(x_1)+f(-x_1)$ păstrează doar termenii de grad par, iar diferența doar pe cei de grad impar — două ecuații în loc de una.
• Derivate: $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$ și $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$; ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$ este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; numărul soluțiilor ecuației $f(x)=m$ se citește din tabloul de variație.
• Integrale și arii: Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$; integrarea prin părți, ${\int }_a^b{u}^{\prime }vdx=uv{|}_a^b-{\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx$, folosită mereu cu $v=\ln x$; aria subgraficului unei funcții continue și pozitive: $\mathcal{S}={\int }_a^{b}f(x)dx$, fără modul, dar numai după ce s-a spus de ce funcția este pozitivă.

Trei dezambiguizări de notație, pentru că subiectul oficial folosește aceleași litere în locuri diferite:

• Litera $f$ denumește în această probă patru obiecte diferite: funcția $f(x)=2x-5$ de la itemul $2$, polinomul $f$ de la itemul $8$, funcția $f(x)=2\sqrt{2x^2+1}-3\ln (2x^2+1)$ de la itemul $9$ și funcția $f(x)=4x^3+\frac{1}{x+2}$ de la itemul $10$. Așa este scris subiectul oficial și așa l-am transcris; fiecare item se citește separat, iar la examen se recomandă să reiei definiția funcției la începutul fiecărei rezolvări.
• Literele $a$ și $b$ sunt necunoscute la itemul $5$ (coordonate de puncte), parametru la itemul $7$ (parametrul familiei de matrice) și coeficienți la itemul $8$, unde subpunctul c) le cere naturale.
• Litera $n$ înseamnă la itemul $7$, subpunctul c), un număr natural căutat, iar la itemul $9$, subpunctul c), parametrul din membrul drept se notează $m$, nu $n$ — cele două litere nu se amestecă, deși ambele desemnează „numărul care variază".

Notă: în barem, cuvântul „itemul" este folosit ca termen de evaluare; la clasă, în vorbirea curentă, spunem „exercițiul" sau „cerința".

Itemi

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Se acordă câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele șase cerințe. Toate rezultatele se justifică prin calcul scris.

Itemul 1 (5 puncte)

Arătați că $3i(2+i)+2(2-3i)=1$, unde $i^2=-1$.

Itemul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-5$. Determinați numărul real $a$ pentru care $a+f(a-1)+f(a+1)=0$.

Itemul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\frac{1}{2}{\log }_2(6x-8)={\log }_{2}x$.

Itemul 4 (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A=\{3,6,9,\dots ,60\}$. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A$, acesta să fie divizibil cu $5$.

Itemul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,2)$, $B(a,0)$ și $C(1,b)$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}$.

Itemul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC=6$ și $B=\frac{\pi }{3}$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $6\sqrt{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Itemul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $$\begin{array}{rl}{I}_3& =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{și}A(a)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}2a-1& 2& 1\\ 0& -1& -a\\ 0& 2& 2a\end{array}\right),\end{array}$$ unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(3))=0$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(a)\cdot A(a)=(2a-1)A(a)$, pentru orice număr real $a$.

c) (5 puncte) Se consideră matricea $B(n)=A(n)+n{I}_3$, unde $n$ este număr natural. Determinați numărul natural $n$ pentru care $A(n)\cdot B(n)=2n^{2}A(n)$.

Itemul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^4-X^3+a{X}^2+bX-6$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale.

a) (5 puncte) Pentru $a=4$ și $b=0$, arătați că $f(-1)=0$.

b) (5 puncte) Pentru $a=b=1$, determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $g=X^2-X+1$.

c) (5 puncte) Determinați perechile $(a,b)$ de numere naturale pentru care două dintre rădăcinile polinomului $f$ sunt numere opuse.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte. Se cere rezolvare completă, cu justificări.

Itemul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2\sqrt{2x^2+1}-3\ln (2x^2+1)$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{4x\left(\sqrt{2x^2+1}-3\right)}{2x^2+1}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că ecuația $f(x)=m$ are exact două soluții, pentru orice $m\in (2,+\infty )$.

Itemul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x^3+\frac{1}{x+2}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\left(f(x)-\frac{1}{x+2}\right)dx=15$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^e\frac{4\ln x}{f(x)-4x^3}dx=e^2+9$.

c) (5 puncte) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g:(-2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=f\left(e^x\right)-4e^{3x}$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=1$ este egală cu $\frac{1}{2}\ln \frac{3e}{e+2}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, acordate pe pași. Repartiția punctelor pe pași urmează baremul oficial de evaluare și de notare al variantei de rezervă a sesiunii iunie-iulie 2026; rezolvările, explicațiile și controalele sunt scrise de noi.

Itemul 1. (5 p) — numere complexe în formă algebrică.

Se desfac cele două paranteze, înmulțind ca la polinoame: $$3i(2+i)+2(2-3i)=6i+3i^2+4-6i\text{(3 p)}.$$ Termenii $6i$ și $-6i$ se reduc, iar $3i^2=3\cdot (-1)=-3$, deci $$3i(2+i)+2(2-3i)=-3+4=1\text{(2 p)}.$$

(Control pe părți: partea imaginară este $6-6=0$, iar partea reală $-3+4=1$; un număr complex este egal cu un număr real exact când partea lui imaginară este nulă. Unde se greșește de obicei: se scrie $3i^2=3$, sau se uită distribuirea lui $3i$ peste ambii termeni din paranteză.)

Itemul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Se înlocuiește variabila cu fiecare dintre cele două argumente: $$f(a-1)=2(a-1)-5=2a-7,f(a+1)=2(a+1)-5=2a-3,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.$$ Condiția din enunț devine $$a+2a-7+2a-3=0,\text{ adica˘ }5a=10,\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=2\text{(3 p)}.$$

(Verificare: $f(1)=-3$ și $f(3)=1$, iar $2+(-3)+1=0$ — se potrivește. Unde se greșește de obicei: se uită termenul $a$ de la începutul sumei și se rezolvă $4a-10=0$; sau se calculează $f(a+1)$ ca $f(a)+1$, deși pasul corect este înlocuirea în formulă, care aduce factorul $2$ înmulțit cu $1$.)

Itemul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Condițiile de existență sunt $6x-8>0$ și $x>0$, adică $x>\frac{4}{3}$. Înmulțind ecuația cu $2$ și folosind $2{\log }_{2}x={\log }_2{x}^2$: $${\log }_2(6x-8)={\log }_2{x}^2,\text{ de unde obținem }{x}^2-6x+8=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația de gradul al doilea are discriminantul $\Delta =36-32=4$ și rădăcinile $$\mathbf{x}=2\text{ sau }\mathbf{x}=4,\text{ amaˆndoua˘ mai mari decaˆt }\frac{4}{3},\text{ deci convin}\text{(3 p)}.$$

(Verificare pentru $x=2$: $\frac{1}{2}{\log }_{2}4=\frac{1}{2}\cdot 2=1={\log }_{2}2$. Pentru $x=4$: $\frac{1}{2}{\log }_{2}16=\frac{1}{2}\cdot 4=2={\log }_{2}4$. Unde se greșește de obicei: se coboară coeficientul $\frac{1}{2}$ în membrul greșit, obținând $6x-8=\sqrt{x}$; drumul curat este să înmulțești toată ecuația cu $2$, ca logaritmul cu coeficient să rămână singur.)

Itemul 4. (5 p) — probabilități pe o mulțime de multipli.

Mulțimea $A=\{3,6,9,\dots ,60\}$ conține multiplii lui $3$ de la $3$ la $60$, adică $3\cdot 1,3\cdot 2,\dots ,3\cdot 20$; are deci $20$ de elemente și tot atâtea cazuri posibile (2 p).

Un element al lui $A$ este divizibil cu $5$ exact când este multiplu și de $3$, și de $5$, adică multiplu de $15$: numerele $15$, $30$, $45$ și $60$. Sunt $4$ cazuri favorabile, deci $$p=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}\text{(3 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se numără $60$ de cazuri posibile, ca și cum mulțimea ar conține toate numerele până la $60$; sau se caută multiplii lui $5$ din intervalul $[3,60]$, fără condiția suplimentară că trebuie să fie și în $A$. Control: $\frac{1}{5}=0,2$, iar unul din fiecare cinci multipli consecutivi de $3$ este și multiplu de $5$ — se potrivește.)

Itemul 5. (5 p) — vectori în reper cartezian.

Împărțind egalitatea din enunț la $2$ se obține $\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$, adică punctul $A$ este mijlocul segmentului $BC$ (2 p).

Coordonatele mijlocului sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor, deci $$\frac{a+1}{2}=2,\frac{0+b}{2}=2,\text{ de unde obținem }\mathbf{a}=3\text{ și }\mathbf{b}=4\text{(3 p)}.$$

(Control: cu $B(3,0)$ și $C(1,4)$, mijlocul lui $BC$ este $\left(\frac{3+1}{2},\frac{0+4}{2}\right)=(2,2)$, exact punctul $A$. Unde se greșește de obicei: se lucrează pe componente fără să se împartă la $2$, adică se scrie $a+1=2$ și $b=2$; sau se citește egalitatea invers, ca și cum $B$ ar fi mijlocul lui $AC$.)

Itemul 6. (5 p) — trigonometrie în triunghiul dreptunghic.

Unghiul drept fiind în $A$, catetele sunt $AB$ și $AC$. Tangenta unghiului $B$ este raportul dintre cateta opusă lui $B$ și cateta alăturată: $$\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB},\text{ deci }\sqrt{3}=\frac{6}{AB},\text{ de unde obținem }AB=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\text{(3 p)}.$$ Aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul catetelor, deci $${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{2\sqrt{3}\cdot 6}{2}=6\sqrt{3}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se ia $\mathrm{tg}B=\frac{AB}{AC}$, adică raportul răsturnat, și iese $AB=6\sqrt{3}$; controlul e imediat: tangenta fiind mai mare decât $1$, cateta opusă trebuie să fie mai mare decât cea alăturată, deci $AC>AB$. A doua capcană este raționalizarea: $\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$. Control numeric: $6\sqrt{3}\approx 10,39$.)

Itemul 7. (15 p) — familie de matrice cu proprietatea $A^2=(2a-1)A$.

a) (5 p) Pentru $a=3$ matricea devine, iar determinantul ei se scrie: $$\begin{array}{rl}& A(3)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}5& 2& 1\\ 0& -1& -3\\ 0& 2& 6\end{array}\right)⟹\det (A(3))\\ & =\left|\begin{array}{ccc}5& 2& 1\\ 0& -1& -3\\ 0& 2& 6\end{array}\right|\text{(2 p)}.\end{array}$$ Cu regula lui Sarrus, produsele de pe diagonalele „descendente" minus cele de pe diagonalele „ascendente" dau $$\begin{array}{rl}\det (A(3))& =-30+0+0-0+30-0\\ & =0\text{(3 p)}.\end{array}$$

(Drumul cel mai scurt este dezvoltarea după prima coloană, care are două zerouri: $\det (A(3))=5\cdot \left|\begin{array}{cc}-1& -3\\ 2& 6\end{array}\right|=5(-6+6)=0$ — aceeași valoare, cu un singur determinant de ordinul al doilea de calculat. De reținut: prima coloană a matricei $A(a)$ are zerouri pe ultimele două linii pentru orice $a$, deci trucul merge la orice valoare a parametrului.)

b) (5 p) Se înmulțesc cele două matrice după regula „linie pe coloană". Prima coloană a produsului este ${\left(\begin{array}{ccc}(2a-1{)}^2& 0& 0\end{array}\right)}^{\mathsf{T}}$, iar celelalte se calculează element cu element: $$\begin{array}{rl}& A(a)\cdot A(a)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}(2a-1{)}^2& 4a-2& 2a-1\\ 0& 1-2a& a-2a^2\\ 0& -2+4a& -2a+4a^2\end{array}\right)\text{(3 p)}.\end{array}$$ În fiecare element se poate scoate factorul $2a-1$, iar ce rămâne este chiar matricea de plecare: $$\begin{array}{rl}& A(a)\cdot A(a)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}(2a-1{)}^2& 2(2a-1)& 2a-1\\ 0& -(2a-1)& -a(2a-1)\\ 0& 2(2a-1)& 2a(2a-1)\end{array}\right)\\ & =(2a-1)A(a),\\ & \text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(2 p)}.\end{array}$$

(Verificare pe o poziție: elementul din mijloc este $0\cdot 2+(-1)(-1)+(-a)\cdot 2=1-2a=-(2a-1)$, iar $A(a)$ are acolo $-1$ — se potrivește. Unde se greșește de obicei: se înmulțesc elementele „poziție cu poziție", ca la adunare. Control numeric: pentru $a=3$ relația spune $A(3{)}^2=5A(3)$, iar pentru $a=\frac{1}{2}$ ea spune $A{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=O_3$.)

c) (5 p) Nu e nevoie de niciun calcul de matrice: se desface produsul și se folosește relația de la subpunctul b), scrisă pentru $a=n$: $$\begin{array}{rl}& \\ & A(n)\cdot B(n)\\ & \\ & =A(n)(A(n)+n{I}_3)\\ & =A(n)\cdot A(n)+nA(n)\\ & =(2n-1)A(n)+nA(n)\\ & =(3n-1)A(n),\\ & \text{ pentru orice numa˘r natural }n\text{(3 p)}.\end{array}$$ Egalitatea din enunț devine $(3n-1)A(n)=2n^{2}A(n)$, adică $(2n^2-3n+1)A(n)=O_3$. Matricea $A(n)$ nu este matricea nulă (elementul ei de pe linia a doua, coloana a doua, este $-1$ pentru orice $n$), deci trebuie ca $2n^2-3n+1=0$; rădăcinile sunt $n=1$ și $n=\frac{1}{2}$, iar cum $n$ este număr natural, obținem $\mathbf{n}=1$ (2 p).

(Verificare: pentru $n=1$, $A(1)\cdot B(1)=(3\cdot 1-1)A(1)=2A(1)$, iar $2n^{2}A(n)=2A(1)$ — egalitate. Unde se greșește de obicei: se calculează efectiv produsul a două matrice de ordinul al treilea, ceea ce mănâncă timp și aduce erori de semn; sau se simplifică egalitatea prin $A(n)$ fără să se spună de ce se poate — motivul este exact acela că $A(n)\ne O_3$.)

Itemul 8. (15 p) — polinom de gradul al patrulea cu doi parametri.

a) (5 p) Pentru $a=4$ și $b=0$ polinomul devine $f=X^4-X^3+4X^2-6$, iar valoarea lui în $-1$ se obține înlocuind nedeterminata: $$f(-1)=(-1{)}^4-(-1{)}^3+4(-1{)}^2-6=1+1+4-6\text{(3 p)}.$$ Efectuând adunările, $$f(-1)=0\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se scrie $(-1{)}^3=1$ și se pierde semnul dublu din $-(-1{)}^3=+1$; sau se uită că $b=0$ face să dispară termenul $bX$. Consecință utilă: $-1$ este rădăcină a acestui polinom, deci $X+1$ îl divide.)

b) (5 p) Pentru $a=b=1$ polinomul este $f=X^4-X^3+X^2+X-6$. Se observă că primii trei termeni sunt chiar $X^2$ înmulțit cu $g$: $$f=X^4-X^3+X^2+X-6=(X^2-X+1)X^2+X-6,\text{ deci caˆtul ıˆmpa˘rțirii este }{\mathbf{X}}^2\text{(3 p)}.$$ Ce a rămas are gradul $1<2=\mathrm{grad}g$, deci teorema împărțirii cu rest este verificată și restul este $\mathbf{X}-6$ (2 p).

(Verificare prin desfacere: $(X^2-X+1)X^2+X-6=X^4-X^3+X^2+X-6$, adică exact $f$. Unde se greșește de obicei: se face împărțirea lungă și se oprește prea devreme, lăsând un rest de gradul al doilea; restul trebuie să aibă gradul strict mai mic decât al împărțitorului, adică cel mult $1$ aici.)

c) (5 p) Fie $x_1$ și $x_2=-x_1$ cele două rădăcini opuse. Atunci $f(x_1)=f(-x_1)=0$, de unde rezultă și $f(x_1)+f(-x_1)=0$, și $f(x_1)-f(-x_1)=0$. În sumă rămân doar termenii de grad par, iar în diferență doar cei de grad impar: $$x_1^4+a{x}_1^2-6=0\text{și}{x}_1^3-b{x}_1=0\text{(2 p)}.$$ Dacă am avea $x_1=0$, prima relație ar da $-6=0$, fals; deci $x_1\ne 0$ și, simplificând a doua relație prin $x_1$, obținem $b=x_1^2$. Înlocuind $x_1^2=b$ în prima relație, $b^2+ab-6=0$, adică $$b(a+b)=6;$$ cum $a$ și $b$ sunt numere naturale, $b$ este divizor al lui $6$ și $a=\frac{6}{b}-b\ge 0$. Pentru $b=1$ iese $a=5$, pentru $b=2$ iese $a=1$, iar pentru $b=3$ și $b=6$ ar ieși $a$ negativ. Perechile căutate sunt $$(1,2)\text{ și }(5,1),\text{ care convin}\text{(3 p)}.$$

(Verificare pentru $(a,b)=(5,1)$: $f=X^4-X^3+5X^2+X-6=(X^2-1)(X^2-X+6)$, deci $1$ și $-1$ sunt rădăcini opuse. Pentru $(a,b)=(1,2)$: $f=X^4-X^3+X^2+2X-6=(X^2-2)(X^2-X+3)$, deci $\sqrt{2}$ și $-\sqrt{2}$ sunt rădăcini opuse. Unde se greșește de obicei: se simplifică a doua relație prin $x_1$ fără să se spună de ce $x_1\ne 0$; și se uită că $b=0$ ar da $b(a+b)=0\ne 6$, deci $b$ este cel puțin $1$.)

Itemul 9. (15 p) — derivată cu radical și logaritm, tangentă și numărul soluțiilor.

a) (5 p) Ambii termeni sunt funcții compuse, cu aceeași funcție dinăuntru, $u(x)=2x^2+1$, a cărei derivată este $u^{\prime }(x)=4x$. Cu $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$ și $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$: $$f^{\prime }(x)=2\cdot \frac{4x}{2\sqrt{2x^2+1}}-3\cdot \frac{4x}{2x^2+1}=\frac{4x}{\sqrt{2x^2+1}}-3\cdot \frac{4x}{2x^2+1}\text{(3 p)}.$$ Aducând la numitorul comun $2x^2+1$, folosind $\sqrt{2x^2+1}\cdot \sqrt{2x^2+1}=2x^2+1$, și dând factor comun $4x$: $$f^{\prime }(x)=\frac{4x\sqrt{2x^2+1}-12x}{2x^2+1}=\frac{4x\left(\sqrt{2x^2+1}-3\right)}{2x^2+1},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Control numeric: în $x=1$ formula dă $f^{\prime }(1)=\frac{4(\sqrt{3}-3)}{3}\approx -1,690$, iar raportul incremental $\frac{f(1,001)-f(0,999)}{0,002}$ dă tot $-1,690$. Unde se greșește de obicei: se derivează $\ln (2x^2+1)$ ca $\frac{1}{2x^2+1}$, adică se uită $u^{\prime }$; sau la aducerea la numitor comun se înmulțește numărătorul cu $\sqrt{2x^2+1}$ și se uită să se facă la fel și cu $\frac{4x}{\sqrt{2x^2+1}}$.)

b) (5 p) Se calculează cele două numere care intră în ecuația tangentei. Pentru $x=0$ avem $2\cdot 0^2+1=1$, deci $$f(0)=2\sqrt{1}-3\ln 1=2,f^{\prime }(0)=\frac{4\cdot 0\cdot (\sqrt{1}-3)}{1}=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$ este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$, deci aici $$y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0),\text{ adica˘ }\mathbf{y}=2\text{(3 p)}.$$

(Panta fiind nulă, tangenta este orizontală — ceea ce se putea prevedea, pentru că $f$ este funcție pară, iar graficul unei funcții pare derivabile are tangentă orizontală în punctul de pe axa $Oy$. Unde se greșește de obicei: se scrie ecuația ca $y=f^{\prime }(0)\cdot x$, uitând termenul $f(0)$; sau se confundă abscisa $x=0$ cu ordonata și se scrie $x=2$.)

c) (5 p) Numitorul fiind pozitiv, semnul derivatei este semnul produsului $4x\left(\sqrt{2x^2+1}-3\right)$. Al doilea factor se anulează când $2x^2+1=9$, adică $x=\pm 2$, deci $f^{\prime }(x)=0$ pentru $x=-2$, $x=0$ sau $x=2$. Pentru orice $x\in (-\infty ,-2)$ avem $f^{\prime }(x)<0$, deci $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,-2)$; pentru orice $x\in [-2,0]$ avem $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[-2,0]$; pentru orice $x\in [0,2]$ avem $f^{\prime }(x)\le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[0,2]$; pentru orice $x\in (2,+\infty )$ avem $f^{\prime }(x)>0$, deci $f$ este strict crescătoare pe $(2,+\infty )$ (2 p).

Valoarea $f(0)=2$ este cel mai mare număr atins de funcție pe intervalul $[-2,2]$, iar $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty ;$$ funcția fiind continuă pe $\mathbb{R}$, pentru orice $m>2$ dreapta $y=m$ trece pe deasupra întregii porțiuni din mijloc și taie doar cele două ramuri exterioare, fiecare o singură dată. Prin urmare ecuația $f(x)=m$ are exact două soluții, pentru orice $m\in (2,+\infty )$ (3 p).

(De ce limitele sunt $+\infty$: notând $u=\sqrt{2x^2+1}\to +\infty$, funcția se scrie $2u-6\ln u$, iar radicalul crește mai repede decât logaritmul. Unde se greșește de obicei: se spune „funcția este pară, deci ecuația are un număr par de soluții" — adevărat, dar insuficient, pentru că numărul par ar putea fi și $4$; ce taie discuția este că maximul local din mijloc valorează exact $2$. Control numeric: minimele locale sunt $f(\pm 2)=6-6\ln 3\approx -0,59$, iar pentru $m=5$ soluțiile sunt aproximativ $\pm 5,75$ — chiar două.)

Itemul 10. (15 p) — integrale definite și arie.

a) (5 p) Toată dificultatea stă în simplificarea integrandului: fracția din $f$ se reduce cu cea scăzută, $${\int }_1^2\left(f(x)-\frac{1}{x+2}\right)dx={\int }_1^{2}4x^{3}dx=x^4{|}_1^2\text{(3 p)}.$$ Cu formula Leibniz–Newton, $${\int }_1^2\left(f(x)-\frac{1}{x+2}\right)dx=16-1=15\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se integrează cei doi termeni separat, ceea ce aduce inutil un $\ln$ care oricum s-ar reduce. Control numeric: integrala lui $4x^3$ pe $[1,2]$, calculată numeric, dă $15,000$.)

b) (5 p) De data aceasta se simplifică numitorul: $f(x)-4x^3=\frac{1}{x+2}$, deci împărțirea la el înseamnă înmulțire cu $x+2$. Integrandul devine $4(x+2)\ln x=(4x+8)\ln x$, iar $4x+8$ este derivata lui $2x^2+8x$, deci se integrează prin părți: $${\int }_1^e\frac{4\ln x}{f(x)-4x^3}dx={\int }_1^e(4x+8)\ln xdx={\int }_1^e(2x^2+8x{)}^{\prime }\ln xdx=(2x^2+8x)\ln x{|}_1^e-(x^2+8x){|}_1^e\text{(3 p)}.$$ La al doilea termen s-a folosit $(2x^2+8x)\cdot \frac{1}{x}=2x+8$, a cărui primitivă este $x^2+8x$. Înlocuind capetele, cu $\ln e=1$ și $\ln 1=0$: $${\int }_1^e\frac{4\ln x}{f(x)-4x^3}dx=2e^2+8e-e^2-8e+9={\mathbf{e}}^2+9\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se alege $u^{\prime }=\ln x$ și $v=4x+8$, adică se pune logaritmul în rolul funcției care se integrează — atunci trebuie știută primitiva lui $\ln x$, un ocol inutil; regula practică este că $\ln x$ se pune întotdeauna în rolul funcției care se derivează. A doua capcană este semnul: din al doilea termen se scade valoarea în $1$, adică $-(1+8)=-9$, care intră cu plus. Control numeric: $e^2+9\approx 16,389$, iar integrala calculată numeric dă $16,389$.)

c) (5 p) Se scrie întâi funcția $g$ explicit, înlocuind $x$ cu $e^x$ în formula lui $f$: cum $f\left(e^x\right)=4e^{3x}+\frac{1}{e^x+2}$, termenul $4e^{3x}$ se reduce și rămâne $$g(x)=\frac{1}{e^x+2}.$$ Funcția $g$ este continuă și strict pozitivă, deci aria cerută este chiar integrala, fără modul. Rescriind integrandul ca $\frac{1}{e^x+2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{(e^x+2)-e^x}{e^x+2}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{e^x}{e^x+2}\right)$ și recunoscând la al doilea termen forma $\frac{u^{\prime }}{u}$: $$\mathcal{S}={\int }_0^{1}g(x)dx=\frac{1}{2}{\int }_0^1\left(1-\frac{e^x}{e^x+2}\right)dx=\frac{1}{2}\left(x{|}_0^1-\ln (e^x+2){|}_0^1\right)\text{(3 p)}.$$ Înlocuind capetele și strângând logaritmii, cu $1=\ln e$: $$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\left(1-\ln \frac{e+2}{3}\right)=\frac{1}{2}\left(\ln e-\ln \frac{e+2}{3}\right)=\frac{1}{2}\ln \frac{3e}{\mathbf{e}+2}\text{(2 p)}.$$

(Unde se greșește de obicei: se calculează $f\left(e^x\right)$ ca $e^{f(x)}$, sau se uită că $(e^x{)}^3=e^{3x}$, și atunci termenii nu se mai reduc. A doua capcană este rescrierea: fără trucul „adun și scad $e^x$ la numărător", integrandul $\frac{1}{e^x+2}$ pare fără primitivă elementară. Control numeric: $\frac{1}{2}\ln \frac{3e}{e+2}\approx 0,27358$, iar integrala calculată numeric pe $[0,1]$ dă $0,273584$.)