Termenul general al dezvoltării binomiale

Formulă din tema Combinatorică, clasa a X-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Formula dă orice termen al dezvoltării lui $(a+b{)}^n$, fără să scrii toată dezvoltarea. Atenție la rang: termenul de rang $k+1$ corespunde valorii $k$, deci pentru termenul al patrulea iei $k=3$. Două verificări obligatorii: suma exponenților dintr-un termen este $n$, iar indicele de sus al combinării este chiar exponentul lui $b$. Pentru cerințe de tipul „termenul liber” sau „termenul care îl conține pe $x^2$”, aduni puterile lui $x$ într-un singur exponent, pui condiția și rezolvi în $k$; soluția trebuie să fie naturală, cu $0\le k\le n$.

Exemplu: În $(x+2{)}^6$, termenul care îl conține pe $x^4$: din $6-k=4$ rezultă $k=2$, deci $T_3=C_6^2{x}^4\cdot 2^2=15\cdot 4x^4=60x^4$. • În ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^6$ avem $T_{k+1}=C_6^k{x}^{6-2k}$; din $6-2k=0$ rezultă $k=3$, deci termenul liber este $C_6^3=20$.