Hiperbola echilateră raportată la asimptote

Formulă din tema Conice, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Hiperbola echilateră este cea cu $a=b$; asimptotele ei sunt $y=\pm x$, deci perpendiculare, iar excentricitatea este $\sqrt{2}$ pentru toate. Rotind reperul cu $\frac{\pi }{4}$, adică luând chiar asimptotele drept axe, ecuația devine $xy=k$ — este exact graficul funcției $x\mapsto \frac{k}{x}$, cunoscut din clasa a IX-a. Aceasta este puntea dintre „funcția de proporționalitate inversă” și conice: hiperbola nu e o curbă nouă, ci una veche, privită din alt reper.

Exemplu: $xy=8$ este hiperbola echilateră cu $\frac{a^2}{2}=8$, deci $a=4$; vârfurile ei sunt $(\pm 2\sqrt{2},\pm 2\sqrt{2})$, iar asimptotele sunt chiar axele de coordonate.