Dreapta față de cerc: distanța de la centru

Formulă din tema Conice, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$C(a,b)$ este centrul, iar $d:ux+vy+w=0$. Comparația cu raza decide poziția: distanța mai mică decât $r$ — dreaptă secantă (două puncte comune); egală cu $r$ — tangentă; mai mare — exterioară. Este drumul cel mai scurt, mai rapid decât rezolvarea sistemului; sistemul rămâne necesar doar când se cer efectiv punctele de intersecție. Lungimea coardei tăiate de o secantă este $2\sqrt{r^2-{\mathrm{dist}}^2(C,d)}$. Tangenta într-un punct al cercului este perpendiculara pe rază în acel punct.

Exemplu: Pentru $C(3,-2)$, $r=5$ și $d:4x+3y-19=0$: $\mathrm{dist}=\frac{|12-6-19|}{5}=\frac{13}{5}<5$, deci dreapta e secantă, iar coarda are lungimea $2\sqrt{25-\frac{169}{25}}=\frac{4\sqrt{114}}{5}$.