Puterea cu exponent rațional

Formulă din tema Exponențiale și logaritmi, clasa a X-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Puterea cu exponent fracționar este doar un alt chip al radicalului: numitorul exponentului dă ordinul radicalului, iar numărătorul rămâne exponent. Caz particular esențial: $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$. Baza trebuie să fie strict pozitivă — la baze negative definiția s-ar contrazice, pentru că $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ ar da două valori diferite pentru același număr. Rezultatul este întotdeauna strict pozitiv. Toate regulile puterilor rămân valabile: $a^r{a}^s=a^{r+s}$, $\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$, ${\left(a^r\right)}^s=a^{rs}$, $(ab{)}^r=a^r{b}^r$. Rețeta de calcul: descompune baza în factori primi, extrage întâi radicalul și abia apoi ridică la putere.

Exemplu: $8^{\frac{2}{3}}={\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2=2^2=4$. • $32^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{32}=2$. • $16^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{16^{\frac{3}{4}}}=\frac{1}{{\left(\sqrt[4]{16}\right)}^3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$. • $27^{\frac{2}{3}}=9$.