Proprietățile înmulțirii matricelor

Formulă din tema Matrice și operații cu matrice, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$A$, $B$, $C$ sunt matrice pentru care produsele scrise au sens; $I_n$ este matricea unitate (are $1$ pe diagonala principală și $0$ în rest), iar $O_n$ este matricea nulă. Înmulțirea este asociativă și distributivă față de adunare, dar nu este comutativă — de aceea la orice înmulțire cu o matrice se spune de care parte se face. Două consecințe pe care se cade constant: $A\cdot B=O_n$ nu implică $A=O_n$ sau $B=O_n$ (există divizori ai lui zero), iar $(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$, care se reduce la $A^2+2AB+B^2$ numai dacă $AB=BA$. Nu există împărțire de matrice: se înmulțește cu inversa, precizând partea.

Exemplu: Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$: $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, iar $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ — diferite. • $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)=O_2$, deși niciun factor nu este nul.