Puterea unei matrice pătratice

Formulă din tema Matrice și operații cu matrice, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ trebuie să fie pătratică — numai atunci $A\cdot A$ are sens; $m,n\in \mathbb{N}$. Puterile aceleiași matrice comută între ele, deci regulile de mai sus sunt aceleași ca la numere. Capcană: $(A\cdot B{)}^n\ne A^n{B}^n$ dacă $AB\ne BA$. Metoda de lucru: se calculează $A^2$, $A^3$, se ghicește forma lui $A^n$ și se demonstrează prin inducție — presupunerea fără demonstrație nu se punctează. Alte trei drumuri: binomul lui Newton (când $A$ se scrie ca sumă de matrice care comută), șirurile recurente și relația Hamilton-Cayley.

Exemplu: Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$: $A^2=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$, $A^3=\left(\begin{array}{cc}8& 7\\ 0& 1\end{array}\right)$, de unde $A^n=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& 2^n-1\\ 0& 1\end{array}\right)$, demonstrat prin inducție. • Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& -1\end{array}\right)$ avem $A^2=I_2$, deci $A^{10}=I_2$ și $A^{11}=A$.