Înmulțirea a două matrice

Formulă din tema Matrice și operații cu matrice, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$, $B\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{C})$, iar $C=A\cdot B\in {\mathcal{M}}_{m,p}(\mathbb{C})$. Regula de potrivire: produsul există numai dacă numărul de coloane ale lui $A$ este egal cu numărul de linii ale lui $B$; tipul rezultatului se citește de la capete, $(m\times n)\cdot (n\times p)=(m\times p)$. Elementul $c_{ij}$ se obține plimbând linia $i$ din $A$ peste coloana $j$ din $B$, înmulțind pe poziții și adunând. Capcană: $AB$ poate exista fără ca $BA$ să existe, iar când există amândouă pot fi de tipuri diferite.

Exemplu: $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ 2& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 4+2\cdot 2& 1\cdot (-1)+2\cdot 5\\ 3\cdot 4+0\cdot 2& 3\cdot (-1)+0\cdot 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 9\\ 12& -3\end{array}\right)$. • $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\end{array}\right)$ — o matrice-linie ori o matrice-coloană dă o matrice $1\times 1$.