Legea de compoziție: definiție, exemple și contraexemple

Algebra clasei a XII-a începe cu o noțiune care poartă un nume solemn — legea de compoziție — și care se ascunde, de fapt, într-un gest pe care îl faci de ani de zile fără să-i dai vreun nume. Pe cadranul unui ceas, dacă acum e ora $9$ și mai trec cinci ore, nu spui „ora $14$", ci ora $2$: ai luat două ore de pe cadran și ai obținut tot o oră de pe cadran. Ceva a intrat în calcul de două ori și a ieșit o singură dată, iar rezultatul a rămas în aceeași lume. Legea de compoziție este regula care asociază oricăror două elemente ale unei mulțimi, luate în această ordine, un singur rezultat din aceeași mulțime; de aceea i se mai spune operație algebrică binară, iar rezultatul se numește compus.

Exact același tipar l-ai văzut de zeci de ori: aduni două numere reale și obții un număr real; înmulțești două matrice pătratice de ordin $2$ și obții tot o matrice pătratică de ordin $2$; compui două funcții definite pe $\mathbb{R}$ cu valori în $\mathbb{R}$ și obții tot o astfel de funcție. Matematica a hotărât să dea un nume scheletului comun al acestor situații, iar numele lui este lege de compoziție. De aici încolo, toată algebra anului — și, cu ea, a doua problemă din Subiectul al II-lea de la Bacalaureat M1, cea de clasa a XII-a — se construiește pe acest schelet.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești o lege de compoziție pe o mulțime nevidă $M$ ca funcție $\ast :M\times M\to M$ și să explici de ce rezultatul trebuie să rămână în $M$.
• Vei ști să verifici dacă o operație dată este sau nu lege de compoziție pe o mulțime precizată, cu cele două condiții obligatorii.
• Vei ști să dai contraexemple convingătoare: o singură pereche de elemente care „iese" din mulțime desființează afirmația.
• Vei ști să lucrezi cu legile scrise prin formule, de tipul $x\ast y=xy-2x-2y+6$, și să le pui alături forma factorizată.
• Vei ști să recunoști legi de compoziție pe mulțimi care nu sunt de numere: matrice, funcții, submulțimi.
• Vei ști să folosești corect limbajul: compusul lui $x$ cu $y$, notațiile $\ast$, $\circ$, $+$, $\cdot$, și să eviți confuziile dintre ele.

Hai să descoperim împreună

1. Trei operații cunoscute, un singur tipar

Ia trei situații pe care le stăpânești deja și privește-le nu după ce calculează, ci după forma calculului.

Adunarea numerelor reale. Iei două numere reale, $x$ și $y$, și obții un singur număr real, $x+y$. Intrarea: o pereche. Ieșirea: un element din aceeași mulțime.

Înmulțirea matricelor. La Înmulțirea a două matrice: definiție și tehnica de calcul ai învățat că produsul a două matrice din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ este tot o matrice din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. Din nou: intră o pereche, iese un element din aceeași mulțime.

Compunerea funcțiilor. În Operații cu funcții; compunerea funcțiilor ai văzut că, dacă $f$ și $g$ sunt funcții de la $\mathbb{R}$ la $\mathbb{R}$, atunci $f\circ g$ este tot o funcție de la $\mathbb{R}$ la $\mathbb{R}$. Aceeași formă.

Cele trei operații nu au nimic în comun ca semnificație — una adună cantități, alta amestecă tablouri de numere, a treia înlănțuie transformări. Au însă în comun exact structura de intrare și de ieșire: o mulțime $M$, o pereche de elemente din $M$, un rezultat unic în $M$. Iar tot ce se poate demonstra folosind numai această structură va fi adevărat, dintr-o singură lovitură, în toate cele trei situații și în încă multe altele. Aceasta este ideea centrală a algebrei de clasa a XII-a: studiezi tiparul, nu exemplul. Iar tiparul are un nume și o definiție, pe care merită s-o citești rar, de două ori.

Legea de compoziție pe o mulțime nevidă $M$ este o funcție definită pe produsul cartezian $M\times M$ cu valori în $M$, care asociază fiecărei perechi ordonate $(x,y)$ de elemente din $M$ un singur element notat $x\ast y$, tot din $M$; se mai numește operație algebrică binară, iar elementul $x\ast y$ poartă numele de compusul lui $x$ cu $y$.

2. Ce este o lege de compoziție?

Scrisă simbolic, definiția de mai sus arată așa:

$$\ast :M\times M\to M,(x,y)\mapsto x\ast y.$$

Trei observații despre această definiție, fiecare cu greutatea ei:

(a) Este vorba despre o funcție. Prin urmare, fiecărei perechi $(x,y)$ îi corespunde un singur rezultat, iar acest rezultat există pentru orice pereche. Nu ai voie să spui „legea nu e definită pentru $x=0$" și să numești lucrul acesta, totuși, lege de compoziție pe $M$.

(b) Perechea este ordonată. Perechile $(x,y)$ și $(y,x)$ sunt, în general, diferite, deci $x\ast y$ și $y\ast x$ pot fi numere diferite. La scădere pe $\mathbb{Z}$: $3-5=-2$, dar $5-3=2$. Faptul că uneori cele două coincid este o proprietate specială, pe care o vom studia la Comutativitatea unei legi de compoziție; simetria tablei.

(c) Codomeniul este chiar $M$. Aceasta este condiția care „mușcă" în practică. Media aritmetică a două numere întregi este o funcție perfect definită pe $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$, dar cu valori în $\mathbb{Q}$: pentru $x=1$ și $y=2$ obții $\frac{3}{2}$, care nu mai este întreg. Deci media aritmetică nu este lege de compoziție pe $\mathbb{Z}$, deși este lege de compoziție pe $\mathbb{Q}$ și pe $\mathbb{R}$.

Notațiile. O lege oarecare, despre care nu presupunem nimic, se notează cu asterisc: $x\ast y$. Când pe aceeași mulțime lucrăm cu două legi diferite, a doua se notează $x\circ y$ — așa apar perechile de legi în subiectele de Bacalaureat M1. Semnul $\circ$ rămâne însă și semnul compunerii funcțiilor, așa că, atunci când legea este compunerea, o scriem $f\circ g$ și o spunem pe litere. Când legea are proprietățile adunării obișnuite, se scrie aditiv, cu $+$; când le are pe ale înmulțirii, se scrie multiplicativ, cu $\cdot$ sau prin simpla alăturare, $xy$.

3. Când o operație NU este lege de compoziție?

Din definiție ies exact două motive de respingere. Le vei folosi la fiecare exercițiu, deci merită învățate ca pe o listă scurtă.

Motivul 1 — operația nu e definită peste tot. Împărțirea nu este lege de compoziție pe $\mathbb{R}$, pentru că $3:0$ nu are sens. Pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ însă este, fiindcă acolo nu mai există numitorul $0$ și câtul a două numere reale nenule e tot un număr real nenul. La fel, operația $x\ast y=\sqrt{x-y}$ nu este lege de compoziție pe $\mathbb{R}$: pentru $x=3$ și $y=5$ ar trebui să calculăm $\sqrt{-2}$, ceea ce în $\mathbb{R}$ nu se poate.

Motivul 2 — rezultatul iese din mulțime. Scăderea nu este lege de compoziție pe $\mathbb{N}$, pentru că $2-5=-3\notin \mathbb{N}$. Pe $\mathbb{Z}$ este. Împărțirea nu este lege de compoziție pe ${\mathbb{Z}}^{\ast }$, pentru că $2:3=\frac{2}{3}\notin \mathbb{Z}$.

Observă cum funcționează o respingere: un singur contraexemplu ajunge. Nu trebuie să arăți că operația dă rezultate greșite mereu — e destul o pereche. În schimb, pentru a accepta o operație ca lege de compoziție, trebuie o demonstrație valabilă pentru orice pereche, cu litere, nu cu numere alese de tine.

Și încă un avertisment de limbaj: expresia „este lege de compoziție" nu are sens singură. Ea se rostește întotdeauna împreună cu mulțimea: scăderea este lege de compoziție pe $\mathbb{Z}$ și nu este lege de compoziție pe $\mathbb{N}$. Aceeași formulă, două verdicte diferite, după mulțimea pe care o pui dedesubt.

4. Exemple remarcabile pe mulțimile de numere

Programa cere explicit exemplele de pe mulțimile de numere studiate, așa că le strângem pe toate într-un tabel, cu verdictul fiecăreia.

Câteva lămuriri asupra tabelului. Împărțirea pică pe toate mulțimile din listă din cauza lui $0$; devine lege de compoziție de îndată ce scoatem zeroul, adică pe ${\mathbb{Q}}^{\ast }$, ${\mathbb{R}}^{\ast }$ și ${\mathbb{C}}^{\ast }$. Media aritmetică pică pe $\mathbb{N}$ și pe $\mathbb{Z}$ dintr-un motiv diferit — nu numitorul e problema, ci faptul că împărțirea la $2$ scoate rezultatul din mulțime: $\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$. Iar $\max$ nu are sens pe $\mathbb{C}$, pentru că mulțimea numerelor complexe nu este ordonată.

Merită adăugate încă două exemple, foarte des întâlnite în subiectele de examen: pe ${\mathbb{N}}^{\ast }$, cel mai mare divizor comun $(x,y)$ și cel mai mic multiplu comun $[x,y]$ sunt amândouă legi de compoziție. De pildă $(12,18)=6$ și $[12,18]=36$. Rezultatul e mereu un număr natural nenul, deci ambele condiții sunt îndeplinite.

5. Cum recunoști o lege dată printr-o formulă?

Cel mai des, la clasă și la examen, legea nu vine cu nume, ci cu o formulă. De exemplu, pe $\mathbb{R}$ se definește

$$x\ast y=xy-2x-2y+6.$$

Este lege de compoziție pe $\mathbb{R}$? Da, și verificarea e imediată: expresia din dreapta este un polinom în $x$ și $y$, deci are sens pentru orice pereche de numere reale, iar rezultatul este tot un număr real. Ambele condiții sunt îndeplinite, fără niciun caz special de discutat.

Calculăm câteva compuse ca să prindem gustul: $3\ast 5=15-6-10+6=5$; $0\ast 0=0-0-0+6=6$; $2\ast 7=14-4-14+6=2$.

Ultimul rezultat e curios: orice ai compune cu $2$, obții tot $2$. Explicația se vede dacă rescriem formula grupând inteligent termenii:

$$x\ast y=xy-2x-2y+6=(x-2)(y-2)+2.$$

Verifică desfăcând parantezele: $(x-2)(y-2)+2=xy-2x-2y+4+2=xy-2x-2y+6$. Da, este aceeași formulă. Iar acum totul devine transparent: dacă $x=2$, primul factor se anulează și rămâne $2\ast y=0\cdot (y-2)+2=2$, indiferent de $y$.

Reține tiparul, pentru că îl vei folosi tot anul: o lege de forma $x\ast y=xy-ax-ay+b$ se scrie sub forma factorizată $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ exact atunci când $b=a^2+a$, iar din această formă se citesc aproape toate proprietățile ei. Verifică: pentru $a=2$ avem $a^2+a=6$, exact termenul liber al legii de mai sus. Metoda sistematică de a găsi numărul $a$ o vei învăța la Legi de compoziție pe mulțimi de numere, definite prin formule; aici ne interesează doar că forma factorizată există și se scrie alături de formulă, niciodată în locul ei.

Există și legi „aditive" de același fel: $x\ast y=x+y-3$ se rescrie $x\ast y=(x-3)+(y-3)+3$, iar $x\ast y=x+y-xy$ se rescrie $x\ast y=1-(1-x)(1-y)$. Toate trei sunt legi de compoziție pe $\mathbb{R}$, din același motiv: sunt polinoame în $x$ și $y$.

6. Există legi de compoziție pe mulțimi care nu sunt de numere?

Definiția nu pomenește nicăieri numere, așa că nimic nu ne oprește să compunem alte obiecte.

Pe mulțimi de matrice. Adunarea și înmulțirea sunt legi de compoziție pe ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$: suma și produsul a două matrice pătratice de ordin $2$ sunt tot matrice pătratice de ordin $2$. Atenție însă la scădere pe mulțimea matricelor inversabile: diferența a două matrice inversabile poate avea determinantul $0$, deci acolo condiția a doua cade.

Pe mulțimi de funcții. Fie $\mathcal{F}$ mulțimea tuturor funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Adunarea funcțiilor, înmulțirea lor și compunerea $f\circ g$ sunt trei legi de compoziție diferite pe aceeași mulțime $\mathcal{F}$ — un exemplu excelent de mulțime pe care coexistă mai multe legi.

Pe mulțimea părților unei mulțimi. Dacă $E$ este o mulțime oarecare și $\mathcal{P}(E)$ este mulțimea tuturor submulțimilor ei, atunci reuniunea, intersecția și diferența simetrică sunt legi de compoziție pe $\mathcal{P}(E)$: din două submulțimi ale lui $E$ obții tot o submulțime a lui $E$. Le studiem pe îndelete la Legi de compoziție pe mulțimea părților: reuniunea, intersecția, diferența simetrică.

Ce urmează în unitate: la Tabla unei legi de compoziție pe o mulțime finită învățăm să scriem o lege pe o mulțime cu puține elemente sub formă de tabel, iar la Parte stabilă și legea de compoziție indusă vedem când o submulțime „se descurcă singură" cu legea moștenită. Abia după aceea trecem la proprietăți: asociativitate, comutativitate, element neutru și elemente simetrizabile.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificarea directă a definiției

Arătați că $x\ast y=x+y-xy$ este lege de compoziție pe $\mathbb{Z}$, dar nu este lege de compoziție pe $\mathbb{N}$.

Rezolvare. Pe $\mathbb{Z}$: fie $x,y\in \mathbb{Z}$ arbitrare. Suma, produsul și diferența numerelor întregi sunt numere întregi, deci $x+y-xy\in \mathbb{Z}$. Expresia are sens pentru orice pereche și rezultatul rămâne în $\mathbb{Z}$, deci $\ast$ este lege de compoziție pe $\mathbb{Z}$.

Pe $\mathbb{N}$: căutăm un contraexemplu. Pentru $x=2$ și $y=3$ obținem $2\ast 3=2+3-6=-1\notin \mathbb{N}$. Un singur caz e suficient, deci $\ast$ nu este lege de compoziție pe $\mathbb{N}$.

Exemplul 2 — Aceeași formulă, mulțimi diferite

Se consideră $x\ast y=\frac{x+y}{2}$. Pe care dintre mulțimile $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ este $\ast$ lege de compoziție?

Rezolvare. Expresia are sens pentru orice pereche de numere, deci prima condiție e îndeplinită peste tot; totul se decide la a doua.

Pe $\mathbb{Z}$: $1\ast 2=\frac{3}{2}\notin \mathbb{Z}$, deci nu.

Pe $\mathbb{Q}$: dacă $x,y\in \mathbb{Q}$, atunci $x+y\in \mathbb{Q}$ și, împărțind un rațional la $2$, obținem tot un rațional; de exemplu $\frac{1}{3}\ast \frac{1}{2}=\frac{5/6}{2}=\frac{5}{12}$. Deci da.

Pe $\mathbb{R}$: același argument, cu $\mathbb{R}$ în loc de $\mathbb{Q}$. Deci da.

Exemplul 3 — Contraexemplu bine ales

Este scăderea lege de compoziție pe mulțimea $M=\{0,1,2\}$?

Rezolvare. Nu. Luăm $x=0$ și $y=1$: $0-1=-1\notin M$. Perechea $(0,1)$ este un contraexemplu, deci scăderea nu este lege de compoziție pe $M$.

Observație de metodă: la mulțimi finite, contraexemplul se caută la margini — cel mai mic minus cel mai mare, cel mai mare plus cel mai mare. Acolo „iese" o operație, dacă iese.

Exemplul 4 — Trei legi pe aceeași mulțime de funcții

Fie $\mathcal{F}$ mulțimea funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Arătați că adunarea funcțiilor și compunerea funcțiilor sunt legi de compoziție pe $\mathcal{F}$ și calculați $f+g$ și $f\circ g$ pentru $f(x)=2x+1$ și $g(x)=x^2$.

Rezolvare. Dacă $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, atunci funcția $f+g$, definită prin $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$, are domeniul $\mathbb{R}$ și valori reale, deci aparține lui $\mathcal{F}$. La fel, $f\circ g$, definită prin $(f\circ g)(x)=f(g(x))$, are sens pentru orice $x$ real (domeniul lui $f$ este tot $\mathbb{R}$) și ia valori reale, deci aparține lui $\mathcal{F}$. Ambele sunt, așadar, legi de compoziție pe $\mathcal{F}$.

Concret: $(f+g)(x)=2x+1+x^2$, iar $(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2)=2x^2+1$. Pentru comparație, $(g\circ f)(x)=g(2x+1)=(2x+1{)}^2=4x^2+4x+1$ — un semn timpuriu că ordinea contează.

Exemplul 5 — Forma factorizată, pusă la treabă

Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\ast y=xy-2x-2y+6$. Calculați $4\ast 5$, $3\ast 3$ și arătați că $x\ast 2=2$ pentru orice $x$ real.

Rezolvare. Direct din formulă: $4\ast 5=20-8-10+6=8$ și $3\ast 3=9-6-6+6=3$.

Scriem acum forma factorizată $x\ast y=(x-2)(y-2)+2$ și verificăm cu ea rezultatele: $4\ast 5=(4-2)(5-2)+2=2\cdot 3+2=8$ ✓ și $3\ast 3=1\cdot 1+2=3$ ✓.

Pentru ultima cerință, punem $y=2$ în forma factorizată: $x\ast 2=(x-2)(2-2)+2=(x-2)\cdot 0+2=2$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție $x\ast y=xy-3x-3y+12$. a) Arătați că $x\ast y=(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $x$ și $y$. b) Calculați $4\ast 5$ și $2\ast 2$. c) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast x=7$.

Rezolvare. a) Desfacem paranteza din membrul drept:

$$(x-3)(y-3)+3=xy-3x-3y+9+3=xy-3x-3y+12=x\ast y.$$

Egalitatea are loc pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$, deci cerința e demonstrată.

b) Cu forma factorizată, calculul e mai scurt: $4\ast 5=(4-3)(5-3)+3=1\cdot 2+3=5$ și $2\ast 2=(2-3)(2-3)+3=(-1)(-1)+3=4$. Verificare pe formula inițială: $20-12-15+12=5$ ✓ și $4-6-6+12=4$ ✓.

c) Ecuația $x\ast x=7$ devine, în forma factorizată, $(x-3{)}^2+3=7$, adică $(x-3{)}^2=4$, deci $x-3=2$ sau $x-3=-2$. Obținem $x=5$ sau $x=1$.

Verificare: $1\ast 1=1-3-3+12=7$ ✓ și $5\ast 5=25-15-15+12=7$ ✓. Așadar $x\in \{1,5\}$.

Observă cât de mult a scurtat forma factorizată punctul c): pe formula desfăcută ar fi trebuit să rezolvi $x^2-6x+12=7$, adică $x^2-6x+5=0$ — același răspuns, dar cu discriminant și cu mai multe ocazii de greșeală.

Să exersăm

La fiecare cerință, scrie mai întâi mulțimea pe care se lucrează. Pentru a respinge, caută o singură pereche care iese din mulțime; pentru a accepta, lucrează cu litere, nu cu numere alese de tine.

1. Este adunarea lege de compoziție pe $\mathbb{N}$? Dar scăderea? Justifică fiecare răspuns.

2. Arată că împărțirea nu este lege de compoziție pe $\mathbb{R}$, dar este pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$.

3. Calculează $2\ast 5$, $(-1)\ast 3$ și $0\ast 0$ pentru $x\ast y=xy-x-y+2$.

4. Scrie legea de la exercițiul $3$ sub forma factorizată $(x-a)(y-a)+a$ și verifică rezultatele obținute acolo.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o operație este lege de compoziție pe $\mathbb{Z}$, atunci este lege de compoziție și pe $\mathbb{N}$."

6. Este $x\ast y=\sqrt{xy}$ lege de compoziție pe $\mathbb{R}$? Dar pe $[0,+\infty )$?

7. Arată că $x\ast y=x+y-3$ este lege de compoziție pe $\mathbb{Z}$ și scrie-i forma factorizată.

8. Pe $M=\{1,2,3\}$ se definește $x\ast y=$ cel mai mare dintre $x$ și $y$. Este $\ast$ lege de compoziție pe $M$?

9. Pe aceeași mulțime $M=\{1,2,3\}$, este $x\ast y=x+y$ lege de compoziție?

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice lege de compoziție $\ast$ pe o mulțime $M$ și orice $x,y\in M$ avem $x\ast y=y\ast x$."

11. Arată că înmulțirea este lege de compoziție pe mulțimea $\{-1,1\}$, dar adunarea nu este.

12. (Problemă aplicată.) Pe cadranul unui ceas cu $12$ ore, definim $x\ast y$ = ora arătată de ac dacă pornim de la ora $x$ și mai trec $y$ ore. Calculează $9\ast 5$, $11\ast 4$ și $12\ast 12$, apoi explică de ce $\ast$ este lege de compoziție pe mulțimea celor $12$ ore.

13. Este media aritmetică lege de compoziție pe mulțimea numerelor pare? Dar pe mulțimea numerelor impare?

14. Pe ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, arată că adunarea și înmulțirea matricelor sunt legi de compoziție.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\ast y=xy-4x-4y+20$. a) Arată că $x\ast y=(x-4)(y-4)+4$. b) Calculează $5\ast 6$. c) Rezolvă ecuația $x\ast x=8$.

16. Fie $\mathcal{F}$ mulțimea funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Este împărțirea funcțiilor, $\frac{f}{g}$, lege de compoziție pe $\mathcal{F}$?

17. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Cel mai mare divizor comun este lege de compoziție pe ${\mathbb{N}}^{\ast }$."

18. (Provocare.) Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\ast y=x+y-xy$. Arată că $x\ast y=1-(1-x)(1-y)$ și determină toate numerele reale $x$ cu proprietatea că $x\ast y=1$ pentru orice $y$ real.

Răspunsuri și explicații

1. Adunarea: da — suma a două numere naturale este număr natural. Scăderea: nu — $2-5=-3\notin \mathbb{N}$.

2. Pe $\mathbb{R}$: $3:0$ nu are sens, deci operația nu e definită pe toată mulțimea $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$. Pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$: pentru $x,y$ reale nenule, $\frac{x}{y}$ este un număr real nenul, deci ambele condiții sunt îndeplinite.

3. $2\ast 5=10-2-5+2=5$; $(-1)\ast 3=-3+1-3+2=-3$; $0\ast 0=0-0-0+2=2$.

4. $a=1$: $x\ast y=(x-1)(y-1)+1$. Verificare: $(2-1)(5-1)+1=5$ ✓; $(-1-1)(3-1)+1=-4+1=-3$ ✓; $(0-1)(0-1)+1=2$ ✓.

5. Fals. Scăderea este lege de compoziție pe $\mathbb{Z}$, dar nu și pe $\mathbb{N}$, unde $2-5=-3$ iese din mulțime.

6. Pe $\mathbb{R}$: nu — pentru $x=-1$, $y=2$ ar trebui calculat $\sqrt{-2}$. Pe $[0,+\infty )$: da — produsul a două numere nenegative este nenegativ, iar rădăcina lui este un număr real nenegativ.

7. Suma și diferența numerelor întregi sunt întregi, deci $x+y-3\in \mathbb{Z}$. Forma factorizată: $x\ast y=(x-3)+(y-3)+3$.

8. Da — cel mai mare dintre două elemente ale lui $M$ este tot un element al lui $M$; se poate verifica pe toate cele $9$ perechi.

9. Nu — $2+3=5\notin M$.

10. Fals. Definiția nu cere nimic de acest fel; scăderea pe $\mathbb{Z}$ este lege de compoziție, dar $3-5=-2\ne 2=5-3$.

11. Înmulțire: $1\cdot 1=1$, $1\cdot (-1)=-1$, $(-1)\cdot (-1)=1$ — toate rezultatele sunt în mulțime. Adunare: $(-1)+(-1)=-2\notin \{-1,1\}$.

12. $9\ast 5=2$; $11\ast 4=3$; $12\ast 12=12$. Este lege de compoziție pentru că, pornind de la o oră de pe cadran și adunând un număr de ore de pe cadran, acul se oprește tot pe o oră de pe cadran — rezultatul nu poate ieși din mulțimea celor $12$ ore.

13. Pe mulțimea numerelor pare: nu. Media a două numere pare $2a$ și $2b$ este $a+b$, număr întreg, dar nu neapărat par: $\frac{2+4}{2}=3$, care este impar. Pe mulțimea numerelor impare: tot nu, pentru că $\frac{1+3}{2}=2$, număr par. În ambele cazuri, contraexemplul arată că rezultatul iese din mulțime.

14. Suma a două matrice de tip $2\times 2$ se calculează element cu element și este tot de tip $2\times 2$; produsul a două matrice de tip $2\times 2$ este, prin regula de înmulțire, tot de tip $2\times 2$. Ambele operații sunt definite pentru orice pereche, deci sunt legi de compoziție pe ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

15. a) $(x-4)(y-4)+4=xy-4x-4y+16+4=xy-4x-4y+20$ ✓. b) $5\ast 6=(5-4)(6-4)+4=1\cdot 2+4=6$. c) $(x-4{)}^2+4=8\Rightarrow (x-4{)}^2=4\Rightarrow x\in \{2,6\}$; verificare: $2\ast 2=4-8-8+20=8$ ✓.

16. Nu. Dacă $g$ este funcția nulă, câtul $\frac{f}{g}$ nu are sens în niciun punct; chiar și pentru $g(x)=x$, câtul nu este definit în $x=0$, deci nu aparține mulțimii $\mathcal{F}$ a funcțiilor definite pe tot $\mathbb{R}$.

17. Adevărat. Pentru orice $x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, cel mai mare divizor comun $(x,y)$ există, este unic și este număr natural nenul; de pildă $(12,18)=6$.

18. $1-(1-x)(1-y)=1-(1-x-y+xy)=x+y-xy$ ✓. Condiția $x\ast y=1$ pentru orice $y$ înseamnă $1-(1-x)(1-y)=1$, adică $(1-x)(1-y)=0$ pentru orice $y$; luând $y=0$ obținem $1-x=0$, deci $x=1$. Reciproc, pentru $x=1$ avem $1\ast y=1+y-y=1$, oricare ar fi $y$. Răspuns: $x=1$.

De reținut

• O lege de compoziție pe mulțimea nevidă $M$ este o funcție $\ast :M\times M\to M$, deci fiecărei perechi ordonate $(x,y)$ de elemente din $M$ îi corespunde un singur element $x\ast y$, tot din $M$.
• Verdictul „este lege de compoziție" se dă întotdeauna împreună cu mulțimea: scăderea este lege de compoziție pe $\mathbb{Z}$, dar nu și pe $\mathbb{N}$.
• O operație nu este lege de compoziție din exact două motive: fie nu e definită pentru toate perechile, fie rezultatul iese din mulțime.
• Pentru a respinge o operație e suficient un singur contraexemplu, iar pentru a o accepta e nevoie de o demonstrație cu litere, valabilă pentru orice pereche de elemente.
• Legile date prin formule de tipul $x\ast y=xy-ax-ay+a^2+a$ se scriu întotdeauna și sub forma factorizată $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$, pentru că din ea se citesc direct proprietățile legii.

Greșeli frecvente

• Verificarea pe câteva numere alese convenabil. Trei perechi care ies bine nu demonstrează nimic; demonstrația se face cu $x$ și $y$ arbitrare. Numerele servesc doar la respingere, nu la acceptare.
• Uitarea mulțimii. „$\ast$ este lege de compoziție" nu este o afirmație completă. Aceeași formulă poate fi lege pe $\mathbb{R}$ și să nu fie pe $\mathbb{N}$ — mulțimea face jumătate din enunț.
• Confuzia dintre „nu e definită" și „iese din mulțime". Împărțirea pică pe $\mathbb{R}$ pentru că nu e definită când $y=0$; media aritmetică pică pe $\mathbb{Z}$ pentru că rezultatul nu mai e întreg. Sunt două motive diferite și se scriu diferit.
• Presupunerea că ordinea nu contează. Definiția lucrează cu perechi ordonate, deci $x\ast y$ și $y\ast x$ nu au niciun motiv să coincidă. Egalitatea lor este o proprietate în plus, care trebuie demonstrată separat.
• Înlocuirea formulei cu forma factorizată, fără verificare. Forma $(x-a)(y-a)+a$ se scrie alături de formula inițială, după ce ai desfăcut parantezele și ai constatat că se obține exact formula dată. Sărind peste verificare, riști să lucrezi tot exercițiul cu un $a$ greșit.

Aplică acasă

1. Ceasul ca mulțime. Desenează cadranul unui ceas și scrie zece compuneri de tipul „ora $x$, plus $y$ ore". Verifică de fiecare dată că rezultatul e tot o oră de pe cadran, apoi încearcă aceeași operație pe un cadran cu doar $5$ ore și scrie ce se schimbă.

2. Vânătoarea de contraexemple. Ia mulțimile $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, mulțimea numerelor pare și mulțimea numerelor impare. Pentru fiecare dintre operațiile $+$, $-$, $\cdot$, scrie într-un tabel „da" sau „nu" și, unde ai scris „nu", notează perechea care strică. Vei obține doisprezece verdicte, fiecare cu justificarea lui într-un rând.

3. Inventează o lege. Alege un număr $a$ care îți place și scrie legea $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ pe $\mathbb{R}$. Desfă parantezele, obține forma dezvoltată, apoi calculează $a\ast 7$, $(a+1)\ast (a+1)$ și rezolvă ecuația $x\ast x=a+9$. Compară rezultatele cu ale unui coleg care a ales alt $a$.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide unitatea de algebră a clasei a XII-a și are un rol pe care merită să-l știți: nu introduce o tehnică de calcul, ci un mod de a privi. Elevul face de la clasa I operații cu numere; aici i se cere, prima dată, să vadă operația însăși ca obiect de studiu — o funcție definită pe perechi. Trecerea aceasta de la „calculez" la „studiez calculul" este pasul de maturitate matematică al anului, iar dificultatea nu stă în calcule, ci în abstractizare.

De verificat în caiet: (1) la fiecare verdict e scrisă și mulțimea pe care se lucrează; (2) respingerile sunt făcute cu un contraexemplu concret, iar acceptările cu litere; (3) legile date prin formulă au scrisă alături forma factorizată, cu desfacerea parantezelor arătată o dată; (4) elevul nu confundă cele două motive de respingere. Întrebări de control: „Ce înseamnă că $\ast$ este lege de compoziție pe $M$?"; „De ce scăderea nu e lege de compoziție pe $\mathbb{N}$?"; „Câte perechi trebuie verificate ca să respingi o operație?"; „Ce se câștigă scriind $x\ast y=(x-2)(y-2)+2$?".

La BAC M1, subiectul de algebră al clasei a XII-a pornește aproape întotdeauna de la o lege dată prin formulă, iar primul subpunct cere fie un calcul direct, fie tocmai scrierea sub formă factorizată. Cine stăpânește lecția aceasta intră în tot capitolul cu pasul drept. Semn că elevul a înțeles: dat fiind un enunț nou, spune singur, fără să i se ceară, „verific dacă rezultatul rămâne în mulțime".

Întrebări frecvente

Ce este o lege de compoziție la clasa a 12-a? O lege de compoziție pe o mulțime nevidă $M$ este o funcție $\ast :M\times M\to M$: fiecărei perechi ordonate de elemente din $M$ îi asociază un singur element, tot din $M$. Se mai numește operație algebrică binară, iar rezultatul $x\ast y$ se numește compusul lui $x$ cu $y$. Adunarea numerelor reale și înmulțirea matricelor sunt exemple.

Cum arăt că o operație este lege de compoziție pe o mulțime? Verifici două lucruri, în această ordine: că operația are sens pentru orice pereche de elemente din mulțime și că rezultatul rămâne în mulțime. Demonstrația se face cu $x$ și $y$ arbitrare, nu pe exemple numerice. Dacă una dintre condiții cade, dai un contraexemplu concret și verdictul este „nu".

De ce scăderea nu este lege de compoziție pe mulțimea numerelor naturale? Pentru că rezultatul poate ieși din mulțime: $2-5=-3$, iar $-3$ nu este număr natural. Un singur contraexemplu este suficient pentru respingere. Pe $\mathbb{Z}$, în schimb, scăderea este lege de compoziție, fiindcă diferența a două numere întregi este întotdeauna un număr întreg.

Care este diferența dintre o lege de compoziție și o funcție obișnuită? Nu este niciuna de esență: legea de compoziție este o funcție, doar că una de un tip special. Domeniul ei este produsul cartezian $M\times M$, adică mulțimea perechilor, iar codomeniul este chiar $M$. Notația se schimbă din obișnuință: scriem $x\ast y$ în loc de $\ast (x,y)$, așa cum scriem $x+y$, nu $+(x,y)$.

Ce înseamnă forma factorizată a unei legi de compoziție? Este rescrierea formulei sub forma $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$, obținută grupând convenabil termenii. De exemplu, $xy-2x-2y+6=(x-2)(y-2)+2$. Forma aceasta face vizibile dintr-o privire proprietățile legii și scurtează mult calculele, mai ales la rezolvarea ecuațiilor.

Pot exista mai multe legi de compoziție pe aceeași mulțime? Da, și este cazul obișnuit. Pe $\mathbb{R}$ există adunarea, înmulțirea, scăderea, $\max$, $\min$ și o infinitate de legi date prin formule. Pe mulțimea funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ coexistă adunarea, înmulțirea și compunerea. Când se lucrează cu două legi deodată, a doua se notează $\circ$.

Unde apar legile de compoziție în subiectele de Bacalaureat M1? La Bacalaureat M1 ele deschid a doua problemă din Subiectul al II-lea, cea de algebră de clasa a XII-a. Enunțul dă o lege printr-o formulă, iar subpunctele cer un calcul, o proprietate și, de obicei, rezolvarea unei ecuații. Lecțiile următoare din unitate acoperă exact aceste tipuri de cerințe.

Contează ordinea la o lege de compoziție? Da, prin definiție. Legea lucrează cu perechi ordonate, deci $x\ast y$ și $y\ast x$ pot fi diferite: la scădere pe $\mathbb{Z}$, $3-5=-2$, dar $5-3=2$. Când cele două rezultate coincid pentru orice pereche, spunem că legea are o proprietate în plus, studiată separat în unitatea aceasta.