Tabla unei legi de compoziție pe o mulțime finită

Prima unealtă de lucru a algebrei de clasa a XII-a este tabla unei legi de compoziție, iar tu o folosești, fără s-o numești așa, din clasa a doua: tabla înmulțirii. Acolo, pe prima linie și pe prima coloană stau numerele de la $1$ la $10$, iar în căsuța de la intersecția liniei lui $7$ cu coloana lui $8$ scrie $56$. Nimic altceva decât o listă completă, așezată frumos, a tuturor produselor posibile. Tabla unei legi de compoziție este tabelul pătratic în care se trec toate compunerile posibile dintre elementele unei mulțimi finite: la intersecția liniei lui $x$ cu coloana lui $y$ stă rezultatul $x\ast y$.

Ideea aceasta simplă devine puternică atunci când mulțimea are puține elemente. Dacă $M$ are trei sau patru elemente, poți scrie într-un singur tabel toate compunerile posibile — nouă, respectiv șaisprezece — și de atunci încolo nu mai ai nevoie de nicio formulă: legea e cunoscută în întregime. Mai mult, proprietățile ei devin lucruri pe care le vezi, nu lucruri pe care le calculezi, iar la Bacalaureat M1 tabla e adesea calea cea mai scurtă către răspuns.

Ce vei învăța

• Vei ști să completezi tabla unei legi de compoziție date pe o mulțime finită, cu ordinea corectă a liniilor și a coloanelor.
• Vei ști să reprezinți o lege pe o mulțime finită și prin dependență funcțională, prin diagramă și prin arbore, nu doar prin tablă.
• Vei ști să citești comutativitatea dintr-o tablă, ca simetrie față de diagonala principală.
• Vei ști să găsești elementul neutru privind liniile și coloanele care reproduc antetul.
• Vei ști să depistezi elementele simetrizabile, căutând elementul neutru în interiorul tablei.
• Vei ști de ce asociativitatea nu se citește direct din tablă și câte verificări ar cere ea.

Hai să descoperim împreună

1. De la tabla înmulțirii la tabla operației

Tabla unei legi de compoziție pe o mulțime finită este tabelul pătratic care are elementele mulțimii trecute, în aceeași ordine, pe prima linie și pe prima coloană, iar în căsuța de la intersecția liniei lui $x$ cu coloana lui $y$ conține compusul $x\ast y$; ea cuprinde, așadar, absolut toate compunerile posibile, fără nicio excepție.

Trei convenții de scriere, pe care le respectăm în toate lecțiile:

• în colțul din stânga sus se pune semnul legii, $\ast$ — el spune cititorului despre ce operație e vorba;
• pe prima linie (antetul de sus) și pe prima coloană (antetul din stânga) se scriu elementele mulțimii în aceeași ordine; dacă ordinile diferă, tabla devine imposibil de citit;
• rezultatul $x\ast y$ se caută întâi pe linie (elementul din stânga al compunerii), apoi pe coloană (elementul din dreapta). Ordinea aceasta contează, pentru că, așa cum ai văzut la Legea de compoziție: definiție, exemple și contraexemple, perechea $(x,y)$ este ordonată.

Iată tabla-etalon a lecției. Pe mulțimea $M=\{0,1,2,3\}$ definim $x\ast y$ = restul împărțirii lui $x+y$ la $4$. Este „ceasul cu patru ore": după $3$ vine iarăși $0$.

Citește câteva căsuțe ca să te obișnuiești: $2\ast 3$ se află pe linia lui $2$, în coloana lui $3$, și este $1$ (într-adevăr, $2+3=5$, iar restul lui $5$ la împărțirea cu $4$ este $1$). La fel, $3\ast 3=2$, pentru că $3+3=6=4+2$.

2. Cum se completează tabla unei legi de compoziție?

Rețeta are patru pași și merită urmată în această ordine, chiar dacă pare pedantă — economisește erori.

Pasul 1. Scrie mulțimea și fixează ordinea elementelor. Pentru mulțimi de numere, ordinea crescătoare e cea firească.

Pasul 2. Desenează tabelul cu $n+1$ linii și $n+1$ coloane, pune $\ast$ în colț și copiază elementele în cele două antete, în aceeași ordine.

Pasul 3. Completează linie cu linie, de la stânga la dreapta. Pe linia elementului $x$ calculezi, pe rând, $x\ast a_1$, $x\ast a_2$, …, $x\ast a_n$. Așa nu sari nicio căsuță.

Pasul 4. Verifică. Prima verificare, obligatorie: toate valorile din tablă aparțin mulțimii $M$. Dacă apare un element străin, ori ai greșit un calcul, ori operația nu este lege de compoziție pe $M$ — și atunci tabla nici nu se poate scrie.

Numărul de căsuțe de completat este $n^2$: pentru $n=4$ sunt $16$ compuneri, pentru $n=6$ ar fi $36$. De aceea tabla se folosește la mulțimi mici; peste opt elemente, se lucrează cu formule.

Să mai scriem o tablă, pe aceeași mulțime $M=\{0,1,2,3\}$, dar cu o a doua lege: $x\circ y$ = restul împărțirii lui $xy$ la $4$. Când pe o mulțime lucrăm cu două legi, a doua se notează $\circ$.

Verifică singur două căsuțe: $3\circ 3$ este restul lui $9$ la $4$, adică $1$; iar $2\circ 2$ este restul lui $4$ la $4$, adică $0$.

3. Ce alte reprezentări are o lege pe o mulțime finită?

Programa cere explicit ca legile de pe mulțimi finite să fie privite prin mai multe reprezentări, pentru că fiecare scoate în evidență altceva. Le luăm pe rând, pe exemplul mic $M=\{0,1\}$ cu $x\ast y$ = restul lui $x+y$ la $2$ (adunarea parităților).

Dependența funcțională. Este reprezentarea cea mai apropiată de definiție: legea e o funcție, deci o descriem prin lista perechilor cu imaginile lor.

$$(0,0)\mapsto 0,(0,1)\mapsto 1,(1,0)\mapsto 1,(1,1)\mapsto 0.$$

Avantajul: se vede limpede că domeniul este $M\times M$, adică mulțimea perechilor, și că fiecare pereche are exact o imagine. Dezavantajul: pentru $n=4$ lista are $16$ rânduri și devine greu de cuprins cu privirea.

Tabla. Aceeași informație, așezată pătratic:

Diagrama. Desenăm în stânga cele patru perechi din $M\times M$, în dreapta cele două elemente ale lui $M$, și tragem câte o săgeată de la fiecare pereche la compusul ei. Perechile care duc în același element se pot încercui împreună, ca într-o diagramă de tip Venn: într-un oval intră $(0,0)$ și $(1,1)$, care dau $0$; în celălalt, $(0,1)$ și $(1,0)$, care dau $1$.

Arborele. Pornim dintr-o rădăcină, ramificăm după prima alegere ($x$ poate fi $0$ sau $1$), apoi după a doua ($y$ la fel), iar în fiecare frunză scriem rezultatul $x\ast y$. Arborele are $n$ ramuri la primul nivel, $n$ la al doilea și $n^2$ frunze — aici, patru.

Arborele e reprezentarea care arată cel mai bine ordinea alegerilor — întâi elementul din stânga, apoi cel din dreapta — și de aceea e util exact atunci când legea nu e comutativă.

4. Ce se citește direct din tabla operației?

Aici stă adevărata putere a tablei. Trei proprietăți se văd cu ochiul liber, fără niciun calcul. Le enunțăm ca reguli de recunoaștere; definițiile riguroase și demonstrațiile vin în lecțiile următoare ale unității.

Comutativitatea — simetria față de diagonala principală. Diagonala principală este șirul căsuțelor $x\ast x$, de la stânga sus la dreapta jos. Legea are proprietatea $x\ast y=y\ast x$ pentru orice pereche exact atunci când tabla arată la fel după o oglindire în această diagonală. În tabla-etalon de mai sus, căsuța de pe linia $1$, coloana $3$ conține $0$, iar cea de pe linia $3$, coloana $1$ conține tot $0$; verificarea reușește peste tot, deci legea e comutativă. Studiul complet e la Comutativitatea unei legi de compoziție; simetria tablei.

Elementul neutru — linia și coloana care reproduc antetele. Un element $e$ se numește neutru dacă $e\ast x=x$ și $x\ast e=x$ pentru orice $x$. Pe tablă, prima condiție înseamnă că linia lui $e$ este identică cu antetul de sus, iar a doua că coloana lui $e$ este identică cu antetul din stânga. În tabla-etalon, linia lui $0$ este $0,1,2,3$ — exact antetul — și la fel coloana lui $0$; deci $e=0$. În tabla celei de-a doua legi, linia și coloana lui $1$ reproduc antetele, deci acolo elementul neutru este $1$. Amănuntele, la Elementul neutru al unei legi de compoziție.

Elementele simetrizabile — unde apare $e$ în interiorul tablei. Un element $x$ are simetric dacă există $y$ cu $x\ast y=y\ast x=e$; atunci $y$ se notează $x^{\prime }$. Pe tablă: cauți $e$ pe linia lui $x$; dacă îl găsești în coloana lui $y$ și, simetric, îl găsești și pe linia lui $y$ în coloana lui $x$, atunci $x^{\prime }=y$. În tabla-etalon, $0$ apare pe fiecare linie, deci toate elementele au simetric: $0^{\prime }=0$, $1^{\prime }=3$, $2^{\prime }=2$, $3^{\prime }=1$. În tabla legii $\circ$, elementul neutru $1$ apare doar pe liniile lui $1$ și $3$ — deci doar acestea două au simetric, cu $1^{\prime }=1$ și $3^{\prime }=3$, fiindcă $3\circ 3=1$. Continuarea, la Elemente simetrizabile și simetricul unui element.

5. De ce nu se vede asociativitatea în tablă?

Pentru că asociativitatea, egalitatea $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$, implică trei elemente, iar tabla arată numai compuneri de câte două. Nu există un desen, o simetrie sau o culoare care s-o dezvăluie: singura cale sigură este verificarea tripletelor, iar acestea sunt $n^3$ la număr — $64$ pentru o mulțime cu patru elemente. De aceea asociativitatea se demonstrează, de regulă, algebric, pornind de la formula legii, nu de pe tablă. Metodele sunt la Asociativitatea unei legi de compoziție.

În schimb, pentru a respinge asociativitatea, tabla e foarte comodă: e destul un singur triplet nepotrivit. Iată exemplul preferat, jocul „piatră–foarfece–hârtie". Pe mulțimea $M=\{p,h,f\}$ definim $x\ast y$ = mișcarea câștigătoare dintre cele două (iar dacă sunt egale, chiar ea). Aceleași trei mișcări revin, notate cu majuscule pe $M=\{P,F,H\}$, la asociativitatea unei legi de compoziție și la elementul neutru: e aceeași lege, doar litera diferă.

Tabla e simetrică față de diagonala principală, deci legea e comutativă. Nu are element neutru: nicio linie nu reproduce antetul. Și nu este asociativă:

$$(p\ast h)\ast f=h\ast f=f,\text{dar}p\ast (h\ast f)=p\ast f=p.$$

Un singur triplet a fost de ajuns. Reține tehnica: pentru a demonstra asociativitatea ai nevoie de un raționament general; pentru a o desființa, de un contraexemplu.

6. Cum arată o tablă care nu e simetrică și una fără element neutru?

Ca să nu rămâi cu impresia că toate tablele sunt frumoase, iată legea „proiecția pe primul argument": pe $M=\{a,b\}$, punem $x\ast y=x$.

Tabla nu este simetrică: $a\ast b=a$, dar $b\ast a=b$, deci legea nu e comutativă. Nicio linie nu reproduce antetul de sus, deci nu există element neutru. În schimb legea este asociativă, pentru că amândoi membrii egalității $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ sunt egali cu $x$. Este exemplul care arată că cele trei proprietăți sunt independente una de alta: poți avea una fără celelalte.

O capcană utilă, tot aici: dacă legea ar fi „proiecția pe al doilea argument", $x\ast y=y$, atunci fiecare linie ar reproduce antetul de sus — și totuși nu ar exista element neutru, pentru că nicio coloană nu reproduce antetul din stânga. Concluzia: la elementul neutru se verifică amândouă condițiile, linia și coloana.

7. Câte legi de compoziție există pe o mulțime finită?

Întrebarea are un răspuns surprinzător de mare. A defini o lege înseamnă exact a completa o tablă, iar în fiecare dintre cele $n^2$ căsuțe poți pune, independent, oricare dintre cele $n$ elemente. Prin urmare numărul legilor de compoziție pe o mulțime cu $n$ elemente este

$$n^{n^2}.$$

Pentru $n=2$ ies $2^4=16$ legi; pentru $n=3$, deja $3^9=19683$; pentru $n=4$, peste patru miliarde. Dintre toate acestea, doar o mică parte sunt asociative, comutative sau au element neutru — și tocmai de aceea studiem proprietățile: ele selectează, din mulțimea uriașă a tablelor posibile, pe cele câteva cu care se poate face matematică.

Tabla-etalon a lecției, „ceasul cu patru ore", este una dintre cele bune: e comutativă, are element neutru și toate elementele au simetric. O vom întâlni din nou, cu numele ei adevărat, la Mulțimea claselor de resturi modulo n; adunarea claselor, iar la Parte stabilă și legea de compoziție indusă vom vedea ce submulțimi ale ei „se descurcă singure".

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tabla legii $\max$

Scrieți tabla legii $x\ast y=\max (x,y)$ pe mulțimea $M=\{1,2,3\}$ și citiți din ea comutativitatea și elementul neutru.

Rezolvare. Completăm linie cu linie: pe linia lui $1$ punem $\max (1,1)=1$, $\max (1,2)=2$, $\max (1,3)=3$; și tot așa.

Toate valorile sunt în $M$, deci $\ast$ este lege de compoziție pe $M$. Tabla e simetrică față de diagonala principală, deci legea e comutativă. Linia lui $1$ este $1,2,3$ — exact antetul de sus — iar coloana lui $1$ este $1,2,3$ — exact antetul din stânga; prin urmare elementul neutru este $e=1$.

Exemplul 2 — Elemente simetrizabile citite din tablă

Folosind tabla legii $x\circ y$ = restul împărțirii lui $xy$ la $4$ pe $M=\{0,1,2,3\}$, determinați elementele care au simetric.

Rezolvare. Elementul neutru este $1$ (linia și coloana lui reproduc antetele). Căutăm $1$ în interiorul tablei: apare în căsuța de pe linia $1$, coloana $1$, și în căsuța de pe linia $3$, coloana $3$. Nicăieri altundeva.

Prin urmare $1\circ 1=1$, deci $1^{\prime }=1$, și $3\circ 3=1$, deci $3^{\prime }=3$. Elementele $0$ și $2$ nu au simetric: pe linia lui $0$ apar numai zerouri, iar pe linia lui $2$ apar doar $0$ și $2$ — elementul neutru $1$ lipsește din amândouă.

Exemplul 3 — O tablă dată, trei întrebări

Pe mulțimea $M=\{a,b,c\}$, o lege $\ast$ are tabla de mai jos. Este legea comutativă? Are element neutru? Ce este $a\ast (b\ast c)$?

Rezolvare. Comparăm căsuțele oglindite față de diagonala principală: linia $b$–coloana $c$ conține $a$, iar linia $c$–coloana $b$ conține tot $a$; celelalte perechi se verifică la fel. Tabla e simetrică, deci legea este comutativă.

Linia lui $a$ este $a,b,c$, adică antetul de sus, iar coloana lui $a$ este $a,b,c$, adică antetul din stânga. Deci $e=a$.

Pentru ultima cerință, calculăm dinăuntru în afară: $b\ast c=a$ (linia $b$, coloana $c$), apoi $a\ast a=a$. Așadar $a\ast (b\ast c)=a$.

Exemplul 4 — Respingerea asociativității cu un contraexemplu

Arătați că legea din tabla jocului „piatră–foarfece–hârtie" nu este asociativă și că nu are element neutru.

Rezolvare. Pentru asociativitate, alegem tripletul $(p,h,f)$:

$$(p\ast h)\ast f=h\ast f=f,p\ast (h\ast f)=p\ast f=p,$$

iar $f\ne p$. Un singur contraexemplu desființează proprietatea, deci legea nu este asociativă.

Pentru elementul neutru, cercetăm cele trei linii. Linia lui $p$ este $p,h,p$, iar antetul de sus este $p,h,f$ — nu coincid. Linia lui $h$ este $h,h,f$ — nu coincide. Linia lui $f$ este $p,f,f$ — nu coincide. Cum niciun element nu trece prima condiție, legea nu are element neutru.

Exemplul 5 — Aceeași lege, patru reprezentări

Pentru $M=\{0,1\}$ cu $x\ast y$ = restul împărțirii lui $x+y$ la $2$, scrieți dependența funcțională, tabla și descrieți arborele.

Rezolvare. Dependența funcțională, adică lista perechilor cu imaginile lor:

$$(0,0)\mapsto 0,(0,1)\mapsto 1,(1,0)\mapsto 1,(1,1)\mapsto 0.$$

Tabla:

Arborele: din rădăcină pleacă două ramuri, pentru $x=0$ și $x=1$; din fiecare dintre acestea pleacă alte două, pentru $y=0$ și $y=1$; frunzele, citite de la stânga la dreapta, poartă valorile $0$, $1$, $1$, $0$. Sunt $2^2=4$ frunze, adică exact numărul căsuțelor din tablă.

Citim din tablă: legea e comutativă (tabla e simetrică), are elementul neutru $0$ și fiecare element este propriul său simetric, pentru că $0\ast 0=0$ și $1\ast 1=0$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Pe mulțimea $M=\{0,1,2,3\}$ se consideră legea de compoziție $x\ast y$ = restul împărțirii lui $x+y$ la $4$. Cerințe de tipul celor din Subiectul al II-lea: a) Scrieți tabla legii $\ast$. b) Arătați că legea are element neutru și determinați simetricul fiecărui element. c) Rezolvați în $M$ ecuația $3\ast x=1$.

Rezolvare. a) Completăm linie cu linie, luând de fiecare dată restul sumei la împărțirea cu $4$:

Toate cele $16$ valori aparțin lui $M$, deci $\ast$ este într-adevăr lege de compoziție pe $M$.

b) Linia lui $0$ este $0,1,2,3$, identică cu antetul de sus, iar coloana lui $0$ este $0,1,2,3$, identică cu antetul din stânga. Deci $e=0$.

Căutăm acum $0$ în interiorul tablei, linie cu linie: pe linia lui $0$ apare în coloana lui $0$; pe linia lui $1$, în coloana lui $3$; pe linia lui $2$, în coloana lui $2$; pe linia lui $3$, în coloana lui $1$. Simetria tablei ne asigură că și condiția pereche este îndeplinită, așa că

$$0^{\prime }=0,1^{\prime }=3,2^{\prime }=2,3^{\prime }=1.$$

Toate cele patru elemente sunt simetrizabile.

c) Căutăm pe linia lui $3$ căsuța care conține $1$: este în coloana lui $2$. Deci $x=2$, soluție unică, pentru că pe fiecare linie a acestei table fiecare element apare exact o dată.

Verificare: $3+2=5$, iar restul lui $5$ la împărțirea cu $4$ este $1$ ✓.

Să exersăm

Pentru fiecare tablă cerută, verifică la final că toate valorile aparțin mulțimii. Când citești o proprietate, scrie și unde ai citit-o: „linia lui $e$", „simetric față de diagonală", „căsuța de pe linia $x$, coloana $y$".

1. Scrie tabla legii $x\ast y=\max (x,y)$ pe $M=\{1,2,3\}$.

2. Din tabla de la exercițiul $1$, spune dacă legea e comutativă și determină elementul neutru.

3. Scrie tabla legii $x\ast y$ = restul împărțirii lui $x+y$ la $3$, pe $M=\{0,1,2\}$.

4. Din tabla de la exercițiul $3$, determină elementul neutru și simetricul fiecărui element.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Tabla unei legi de compoziție pe o mulțime cu $n$ elemente are $n^2$ căsuțe de completat."

6. Scrie tabla legii $x\circ y$ = restul împărțirii lui $xy$ la $3$, pe $M=\{0,1,2\}$, și spune care elemente au simetric.

7. Pe $M=\{a,b,c\}$ se dă legea $x\ast y=x$. Scrie tabla și arată că legea nu este comutativă.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă un element apare de două ori pe aceeași linie a tablei, legea nu este comutativă."

9. Pe $M=\{0,1,2,3\}$ cu $x\ast y$ = restul lui $x+y$ la $4$, rezolvă ecuația $2\ast x=1$.

10. Câte căsuțe are tabla unei legi definite pe o mulțime cu $6$ elemente? Dacă știi dinainte că legea e comutativă, câte compuneri diferite trebuie să calculezi?

11. (Problemă aplicată.) Pe mulțimea $\{P,I\}$ a parităților (par și impar), scrie tabla adunării și tabla înmulțirii. Determină, pentru fiecare, elementul neutru.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Pe $M=\{0,1,2,3\}$ se consideră $x\circ y$ = restul împărțirii lui $xy$ la $4$. a) Scrie tabla. b) Arată că $2$ nu are simetric. c) Rezolvă ecuația $3\circ x=2$.

13. Ce proprietate a legii se citește din simetria tablei față de diagonala principală? Formulează răspunsul în două propoziții.

14. În tabla adunării la ceasul cu patru ore, de câte ori apare elementul neutru $0$? Explică de ce.

15. Descrie arborele legii $x\circ y$ = restul lui $xy$ la $2$, pe $M=\{0,1\}$. Câte frunze are și ce scrie pe ele?

16. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o linie a tablei este identică cu antetul de sus, atunci elementul acelei linii este element neutru."

17. Câte legi de compoziție se pot defini pe o mulțime cu trei elemente? Justifică numărul.

18. (Provocare.) Câte dintre tablele de $3\times 3$ scrise pe o mulțime cu trei elemente sunt simetrice față de diagonala principală? Câte legi de compoziție comutative se pot defini, așadar, pe o mulțime cu trei elemente?

Răspunsuri și explicații

1. Linia lui $1$: $1,2,3$; linia lui $2$: $2,2,3$; linia lui $3$: $3,3,3$.

2. Comutativă (tabla e simetrică față de diagonala principală). Element neutru: $e=1$, pentru că linia și coloana lui $1$ reproduc antetele.

3. Linia lui $0$: $0,1,2$; linia lui $1$: $1,2,0$; linia lui $2$: $2,0,1$.

4. $e=0$. Simetricele: $0^{\prime }=0$ (căci $0\ast 0=0$), $1^{\prime }=2$ (căci $1+2=3$, cu restul $0$), $2^{\prime }=1$.

5. Adevărat. Linia și coloana de antet nu se numără; rămâne un pătrat de $n$ linii pe $n$ coloane, adică $n^2$ căsuțe.

6. Linia lui $0$: $0,0,0$; linia lui $1$: $0,1,2$; linia lui $2$: $0,2,1$. Elementul neutru este $1$; au simetric $1$ (cu $1^{\prime }=1$) și $2$ (cu $2^{\prime }=2$, fiindcă $2\cdot 2=4$, cu restul $1$). Elementul $0$ nu are simetric.

7. Linia lui $a$: $a,a,a$; linia lui $b$: $b,b,b$; linia lui $c$: $c,c,c$. Legea nu e comutativă, pentru că $a\ast b=a$, dar $b\ast a=b$, iar $a\ne b$.

8. Fals. În tabla înmulțirii la ceasul cu patru ore, linia lui $2$ este $0,2,0,2$ — un element apare de două ori — și totuși legea este comutativă, pentru că tabla e simetrică.

9. Pe linia lui $2$ căutăm căsuța cu $1$: e în coloana lui $3$, deci $x=3$. Verificare: $2+3=5$, restul la $4$ este $1$ ✓.

10. $6^2=36$ căsuțe. Dacă legea e comutativă, e destul să calculezi căsuțele de pe diagonală și pe cele de deasupra ei: $6+5+4+3+2+1=21$ compuneri; restul se obțin prin oglindire.

11. Adunare: $P+P=P$, $P+I=I$, $I+P=I$, $I+I=P$; element neutru $P$. Înmulțire: $P\cdot P=P$, $P\cdot I=P$, $I\cdot P=P$, $I\cdot I=I$; element neutru $I$.

12. a) Liniile sunt, în ordine: $0,0,0,0$; $0,1,2,3$; $0,2,0,2$; $0,3,2,1$. b) Elementul neutru este $1$; pe linia lui $2$ apar doar $0$ și $2$, deci $1$ nu apare și $2$ nu are simetric. c) Pe linia lui $3$ căutăm $2$: e în coloana lui $2$, deci $x=2$. Verificare: $3\cdot 2=6$, restul la $4$ este $2$ ✓.

13. Se citește comutativitatea. Simetria față de diagonala principală înseamnă că, pentru orice $x$ și $y$, căsuța de pe linia $x$ și coloana $y$ coincide cu cea de pe linia $y$ și coloana $x$, adică $x\ast y=y\ast x$.

14. De patru ori: pe fiecare linie apare exact o dată, iar liniile sunt patru. Motivul este că fiecare element are simetric, deci pe linia lui $x$ există exact o coloană în care rezultatul este $0$.

15. Arborele are rădăcina, două ramuri pentru $x\in \{0,1\}$, din fiecare alte două pentru $y\in \{0,1\}$, deci $4$ frunze. Pe ele scrie, de la stânga la dreapta: $0$, $0$, $0$, $1$.

16. Fals. Pentru legea $x\ast y=y$ pe o mulțime cu cel puțin două elemente, fiecare linie reproduce antetul de sus, dar nicio coloană nu reproduce antetul din stânga, deci nu există element neutru. Trebuie verificate ambele condiții.

17. $3^9=19683$. Tabla are $3^2=9$ căsuțe și în fiecare se poate pune, independent, oricare dintre cele $3$ elemente.

18. O tablă simetrică e complet determinată de căsuțele de pe diagonala principală și de cele de deasupra ei: $3+3=6$ căsuțe libere, fiecare cu $3$ valori posibile, deci $3^6=729$ table. Cum simetria tablei înseamnă exact comutativitatea legii, tot atâtea sunt și legile de compoziție comutative pe o mulțime cu trei elemente — din cele $19683$ existente.

De reținut

• Tabla unei legi de compoziție pe o mulțime finită este tabelul pătratic care conține, în căsuța de pe linia lui $x$ și coloana lui $y$, compusul $x\ast y$; în colț se scrie semnul legii, iar cele două antete au elementele în aceeași ordine.
• Tabla se completează linie cu linie și se verifică la final: dacă apare o valoare din afara mulțimii, operația nu este lege de compoziție pe acea mulțime.
• Comutativitatea se citește ca simetrie a tablei față de diagonala principală, adică față de șirul căsuțelor $x\ast x$.
• Elementul neutru este acel element a cărui linie reproduce antetul de sus și a cărui coloană reproduce antetul din stânga; ambele condiții trebuie verificate.
• Asociativitatea nu se vede în tablă, pentru că implică trei elemente, dar poate fi respinsă cu un singur triplet care nu se potrivește.

Greșeli frecvente

• Inversarea liniei cu coloana. Compusul $x\ast y$ se caută pe linia lui $x$ și pe coloana lui $y$, în această ordine. La legile comutative greșeala trece neobservată; la cele necomutative schimbă rezultatul și se vede imediat la corectare.
• Antete cu ordini diferite. Dacă pe prima linie scrii elementele în altă ordine decât pe prima coloană, diagonala principală nu mai are sensul obișnuit, iar citirea comutativității și a elementului neutru devine falsă.
• Elementul neutru declarat după o singură linie. Faptul că linia lui $e$ reproduce antetul nu ajunge; trebuie verificată și coloana. Contraexemplul standard este legea $x\ast y=y$, la care toate liniile reproduc antetul, dar element neutru nu există.
• Căutarea asociativității în desen. Nicio simetrie a tablei nu garantează asociativitatea. Cine „vede" asociativitatea într-o tablă simetrică confundă două proprietăți diferite: simetria dă comutativitatea, nimic mai mult.
• Tabla scrisă fără verificarea apartenenței. Înainte de a citi orice proprietate, uită-te dacă toate valorile din tablă sunt în mulțime. Dacă nu sunt, tabla nu descrie o lege de compoziție și tot ce citești din ea e fără obiect.

Aplică acasă

1. Ceasul cu cinci ore. Scrie tabla legii $x\ast y$ = restul împărțirii lui $x+y$ la $5$, pe mulțimea $\{0,1,2,3,4\}$. Verifică simetria, găsește elementul neutru și scrie simetricul fiecărui element. Compară cu ceasul cu patru ore: ce se schimbă și ce rămâne la fel?

2. Tabla unui joc inventat. Alege trei mișcări dintr-un joc pe care îl cunoști și definește $x\ast y$ = mișcarea câștigătoare. Scrie tabla, verifică simetria și caută un triplet care strică asociativitatea. Dacă nu găsești niciunul după șase încercări, notează tripletele testate și explică ce ai observat.

3. Vânătoare de erori. Roagă un coleg să scrie tabla legii $x\circ y$ = restul lui $xy$ la $6$ pe mulțimea $\{0,1,2,3,4,5\}$ și să strecoare, intenționat, două greșeli. Găsește-le folosind numai proprietățile de citire: simetria față de diagonală și linia elementului neutru.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă o noțiune abstractă într-un obiect pe care elevul îl poate atinge: tabla. Valoarea ei didactică e dublă. Pe de o parte, dă un mijloc de calcul complet pentru mulțimile mici — nu mai e nevoie de formulă. Pe de altă parte, îi antrenează elevului privirea: comutativitatea devine o simetrie, elementul neutru devine o linie care „copiază" antetul. Aceste imagini rămân și îl ajută mai târziu, când proprietățile revin în formă riguroasă.

De verificat în caiet: (1) semnul legii e scris în colțul din stânga sus, iar antetele au aceeași ordine; (2) tabla e completată linie cu linie, fără căsuțe sărite; (3) după completare există o propoziție de verificare a apartenenței la mulțime; (4) elementul neutru e justificat cu ambele condiții, linie și coloană; (5) simetricele sunt citite din tablă, nu ghicite. Întrebări de control: „Unde cauți $x\ast y$?"; „Ce înseamnă că tabla e simetrică?"; „Cum recunoști elementul neutru?"; „De ce nu se vede asociativitatea?".

La BAC M1, tabla apare de obicei ca prim subpunct al problemei de algebră, iar subpunctele următoare se rezolvă citind din ea: elementul neutru, simetricele, ecuații de tipul $a\ast x=b$. Un elev antrenat rezolvă întreaga problemă în câteva minute, fără niciun calcul suplimentar. Semn că a înțeles: cere singur tabla atunci când mulțimea are puține elemente, în loc să calculeze de fiecare dată din formulă.

Întrebări frecvente

Ce este tabla unei legi de compoziție la clasa a 12-a? Este tabelul pătratic în care sunt trecute toate compunerile posibile ale elementelor unei mulțimi finite. Elementele apar, în aceeași ordine, pe prima linie și pe prima coloană, iar în căsuța de la intersecția liniei lui $x$ cu coloana lui $y$ se scrie $x\ast y$. În colțul din stânga sus se pune semnul legii.

Cum se completează tabla unei operații pe o mulțime finită? Se desenează tabelul, se copiază elementele în cele două antete în aceeași ordine, apoi se completează linie cu linie: pe linia lui $x$ se calculează, pe rând, compusul lui $x$ cu fiecare element din antetul de sus. La final se verifică obligatoriu că toate valorile obținute aparțin mulțimii de plecare.

Cum se vede comutativitatea în tabla operației? Legea este comutativă exact atunci când tabla este simetrică față de diagonala principală, adică față de șirul căsuțelor $x\ast x$. Practic, compari căsuța de pe linia $x$, coloana $y$ cu cea de pe linia $y$, coloana $x$; dacă toate perechile de căsuțe oglindite coincid, legea e comutativă.

Cum aflu elementul neutru din tabla operației? Cauți elementul a cărui linie reproduce exact antetul de sus și a cărui coloană reproduce exact antetul din stânga. Ambele condiții trebuie îndeplinite simultan; verificarea unei singure linii poate induce în eroare. Dacă niciun element nu îndeplinește cele două condiții, legea nu are element neutru.

Cum aflu simetricul unui element din tabla operației? Întâi determini elementul neutru $e$. Apoi cauți $e$ pe linia lui $x$: dacă îl găsești în coloana lui $y$ și, oglindit, îl găsești și pe linia lui $y$ în coloana lui $x$, atunci simetricul este $x^{\prime }=y$. Dacă $e$ nu apare pe linia lui $x$, elementul $x$ nu are simetric.

De ce nu se poate citi asociativitatea din tabla operației? Pentru că asociativitatea leagă trei elemente, prin egalitatea $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$, iar tabla arată numai compuneri de câte două. Verificarea completă ar cere $n^3$ triplete. În schimb, pentru a arăta că legea nu e asociativă, e suficient un singur triplet care nu se potrivește.

Câte legi de compoziție se pot defini pe o mulțime finită? Exact $n^{n^2}$, unde $n$ este numărul de elemente: tabla are $n^2$ căsuțe, iar în fiecare poate sta, independent, oricare dintre cele $n$ elemente. Pentru $n=2$ sunt $16$ legi, pentru $n=3$ sunt $19683$, iar pentru $n=4$ peste patru miliarde.

Ce alte reprezentări are o lege de compoziție pe o mulțime finită? Trei, pe lângă tablă. Dependența funcțională este lista perechilor cu imaginile lor. Diagrama desenează perechile din $M\times M$ în stânga, elementele lui $M$ în dreapta, și săgeți între ele. Arborele ramifică întâi după primul element, apoi după al doilea, și are $n^2$ frunze, câte una pentru fiecare compunere.