Derivate laterale, puncte unghiulare și puncte de întoarcere

Formulă din tema Derivate, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$f_s^{\prime }(x_0)$ și $f_d^{\prime }(x_0)$ sunt derivatele laterale; funcția este derivabilă în $x_0$ exact când ele există, sunt finite și egale. Când nu sunt egale, punctul primește un nume: punct unghiular dacă derivatele laterale există, sunt diferite și cel puțin una este finită (graficul are un „colț”, cu două semitangente); punct de întoarcere dacă sunt infinite și de semne contrare (graficul are o semitangentă verticală și se întoarce). Legătura obligatorie cu continuitatea: derivabilă în $x_0$ $\Rightarrow$ continuă în $x_0$, reciproca fiind falsă; contrapoziția este unealta de lucru — la o funcție pe ramuri se verifică întâi continuitatea, fiindcă fără ea derivabilitatea nici nu se mai discută.

Exemplu: $f(x)=|x|$ are $f_s^{\prime }(0)=-1$ și $f_d^{\prime }(0)=1$: punct unghiular. • $f(x)=\sqrt{|x|}$ are $f_s^{\prime }(0)=-\infty$ și $f_d^{\prime }(0)=+\infty$: punct de întoarcere. • $f(x)=\sqrt[3]{x}$ are $f^{\prime }(0)=+\infty$ din ambele părți — tangentă verticală, dar nu punct de întoarcere.