Definiția derivatei într-un punct

Formulă din tema Derivate, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$f:D\to \mathbb{R}$, iar $x_0$ este un punct din $D$ care este și punct de acumulare al lui $D$. Raportul $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ se numește raportul incrementar și măsoară variația medie a funcției între $x_0$ și $x$. Distincție obligatorie: $f$ are derivată în $x_0$ dacă limita există în $\overline{\mathbb{R}}$ (poate fi și $\pm \infty$), dar este derivabilă în $x_0$ numai dacă limita există și este finită. Forma echivalentă cu increment, $f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$, se obține prin substituția $x=x_0+h$. Interpretări: panta tangentei la grafic, viteza instantanee, rata de variație.

Exemplu: Pentru $f(x)=x^2$ și $x_0=2$: $f^{\prime }(2)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)=4$. • Pentru $f(x)=\sqrt{x}$ și $x_0=0$: $\underset{x\to 0,x>0}{\lim }\frac{\sqrt{x}}{x}=+\infty$, deci $f$ are derivată în $0$, dar nu este derivabilă acolo.