Ecuația tangentei la graficul unei funcții

Formulă din tema Derivate, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Este ecuația tangentei la graficul lui $f$ în punctul de coordonate $(x_0,f(x_0))$, scrisă sub forma „printr-un punct, cu panta dată”. Panta tangentei este $f^{\prime }(x_0)$, adică $f^{\prime }(x_0)=\mathrm{tg}\alpha$, unde $\alpha$ este unghiul făcut de tangentă cu semiaxa pozitivă $Ox$. Cazuri: $f^{\prime }(x_0)=0$ dă tangentă orizontală $y=f(x_0)$; $f^{\prime }(x_0)=\pm \infty$ dă tangentă verticală $x=x_0$ (aici funcția nu e derivabilă, dar are derivată). Tipuri de probleme: tangenta într-un punct dat; tangenta de pantă dată (se rezolvă $f^{\prime }(x_0)=m$); tangenta dintr-un punct exterior graficului (se pune condiția ca punctul să verifice ecuația tangentei, cu $x_0$ necunoscut).

Exemplu: Pentru $f(x)=x^2$ în $x_0=1$: $f(1)=1$, $f^{\prime }(x)=2x$, $f^{\prime }(1)=2$, deci tangenta este $y-1=2(x-1)$, adică $y=2x-1$. • Tangenta la $f(x)=x^3$ care are panta $3$: din $3x_0^2=3$ rezultă $x_0=\pm 1$, deci $y=3x-2$ și $y=3x+2$.