Derivatele funcțiilor putere și radical

Formulă din tema Derivate, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$c$ este o constantă, $n$ un număr natural nenul, iar $r$ un număr real oarecare. Cele trei rânduri de putere nu se contopesc, pentru că domeniile diferă: pentru exponent natural se lucrează pe $\mathbb{R}$, pentru exponent întreg negativ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, iar pentru exponent real neîntreg doar pe $(0,+\infty )$. Radicalul $\sqrt{x}$ este continuu pe $[0,+\infty )$, dar derivabil numai pe $(0,+\infty )$ — precizare de făcut de fiecare dată când apare într-un studiu de variație. Cusătura radicalilor: tabelul dă $(\sqrt[n]{x}{)}^{\prime }$ pe $(0,+\infty )$ și nu se extinde; pentru $\sqrt[3]{x}$ pe valori negative derivabilitatea se tratează din definiție, iar în $0$ se arată tangenta verticală.

Exemplu: ${\left(x^5\right)}^{\prime }=5x^4$; ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }={\left(x^{-1}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$; ${\left(x^{\sqrt{2}}\right)}^{\prime }=\sqrt{2}{x}^{\sqrt{2}-1}$ pe $(0,+\infty )$. • ${\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ pe $(0,+\infty )$.