Regulile de derivare

Formulă din tema Derivate, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$f$ și $g$ sunt funcții derivabile pe același interval, iar $\alpha$ este o constantă reală. Capcanele, în ordinea frecvenței: derivata produsului nu este produsul derivatelor — se derivează pe rând, câte un factor; la cât, numărătorul are minus și ordinea contează ($f^{\prime }g$ înainte de $f{g}^{\prime }$); numitorul este $g^2$, nu $g$. Un caz special util: ${\left(\frac{1}{g}\right)}^{\prime }=-\frac{g^{\prime }}{g^2}$. Pentru trei factori regula se aplică de două ori: $(fgh{)}^{\prime }=f^{\prime }gh+f{g}^{\prime }h+fg{h}^{\prime }$. Înainte de a deriva o expresie complicată merită întotdeauna o simplificare algebrică — o împărțire desfăcută în sumă scutește de regula câtului.

Exemplu: ${\left(x^2\sin x\right)}^{\prime }=2x\sin x+x^2\cos x$. • ${\left(\frac{x}{x^2+1}\right)}^{\prime }=\frac{1\cdot (x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}$.