Regulile lui L'Hôpital

Formulă din tema Derivate, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$x_0$ este punct de acumulare al intervalului $I$, iar $f$ și $g$ sunt derivabile pe $I\setminus \{x_0\}$, cu $g^{\prime }(x)\ne 0$ pe $I\setminus \{x_0\}$. Cele trei capcane, toate punctate: (i) se verifică ÎNTÂI că este caz de nedeterminare $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$ — aplicată în afara lor, regula dă rezultate false; (ii) se derivează numărătorul și numitorul separat, nu se aplică regula câtului; (iii) reciproca nu este valabilă — dacă $\lim \frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$ nu există, nu rezultă nimic despre limita inițială. Regula se poate aplica de mai multe ori la rând, verificând de fiecare dată nedeterminarea. Celelalte nedeterminări se reduc la aceste două: $0\cdot \infty$ prin scriere ca raport, $\infty -\infty$ prin aducere la același numitor sau amplificare cu conjugata, iar $1^{\infty }$, ${\infty }^0$, $0^0$ prin logaritmare, folosind $f^g=e^{g\ln f}$.

Exemplu: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1-x}{x^2}\left(\frac{0}{0}\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{2x}\left(\frac{0}{0}\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x}{2}=\frac{1}{2}$. • $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}\left(\frac{\infty }{\infty }\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1/x}{1}=0$.