Teorema lui Fermat

Formulă din tema Derivate, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$f:I\to \mathbb{R}$, cu $I$ interval, iar $x_0$ un punct de maxim sau de minim local, situat în interiorul lui $I$. Punctele în care $f^{\prime }(x_0)=0$ se numesc puncte critice (sau staționare). Cele două capcane, ambele punctate la Bacalaureat M1: (i) reciproca este falsă — $f(x)=x^3$ are $f^{\prime }(0)=0$, dar $0$ nu este punct de extrem; (ii) ipoteza „din interior” este esențială — pe $[0,1]$, funcția $f(x)=x$ are extreme în capete, unde derivata nu se anulează. Folosirea practică: teorema restrânge căutarea extremelor la punctele critice și la punctele în care $f$ nu e derivabilă; natura lor se decide apoi din semnul lui $f^{\prime }$.

Exemplu: $f(x)=x^2-6x+5$ are minim în $x=3$, iar $f^{\prime }(3)=2\cdot 3-6=0$ ✓. • Pentru $f(x)=x^3-3x$, ecuația $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0$ dă punctele critice $-1$ și $1$, ambele puncte de extrem (maxim, respectiv minim).