Teoremele lui Rolle și Lagrange

Formulă din tema Derivate, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Ipotezele se scriu complete și în această ordine — la Bacalaureat M1 se depunctează fiecare ipoteză lipsă. Continuitatea se cere pe intervalul închis, derivabilitatea doar pe cel deschis. Interpretare geometrică: la Rolle există un punct interior în care tangenta este orizontală; la Lagrange există un punct interior în care tangenta este paralelă cu coarda care unește capetele graficului. Rolle este cazul particular $f(a)=f(b)$ al lui Lagrange. Consecințele teoremei lui Lagrange, folosite peste tot: Consecința 1 — dacă $f^{\prime }=0$ pe un interval, $f$ este constantă acolo; Consecința 2 — dacă $f^{\prime }>0$ pe interval, $f$ este strict crescătoare, iar dacă $f^{\prime }<0$, strict descrescătoare.

Exemplu: $f(x)=x^2-4x+3$ pe $[1,3]$: continuă, derivabilă, $f(1)=f(3)=0$; din $f^{\prime }(c)=2c-4=0$ rezultă $c=2\in (1,3)$ ✓ (Rolle). • $f(x)=x^2$ pe $[1,3]$: $\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{9-1}{2}=4=2c$, deci $c=2$ ✓ (Lagrange).