Determinantul unei matrice înmulțite cu un scalar

Formulă din tema Determinanți și matrice inversabile, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$n$ este ordinul matricei, nu un exponent oarecare. Explicația: înmulțind toată matricea cu $\alpha$ se înmulțește cu $\alpha$ fiecare dintre cele $n$ linii, iar factorul comun se scoate de $n$ ori (Proprietatea 3 din lecția proprietăților). În particular $\det (-A)=(-1{)}^n\det A$ — deci $\det (-A)=\det A$ la ordin par și $\det (-A)=-\det A$ la ordin impar. Capcană: la ordinul $3$, înmulțirea matricei cu $2$ înmulțește determinantul cu $8$, nu cu $2$.

Exemplu: Dacă $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ are $\det A=5$, atunci $\det (2A)=2^3\cdot 5=40$ și $\det (-A)=-5$. • Pentru $A\in {\mathcal{M}}_4$ cu $\det A=3$: $\det (-A)=(-1{)}^4\cdot 3=3$.