Minorul, complementul algebric și dezvoltarea determinantului

Formulă din tema Determinanți și matrice inversabile, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

${\Delta }_{ij}$ este minorul elementului $a_{ij}$: determinantul de ordin $n-1$ obținut din $A$ ștergând linia $i$ și coloana $j$. ${\delta }_{ij}$ este complementul algebric (cofactorul) al lui $a_{ij}$ — minorul cu semnul dat de tabla în șah: $+$ când $i+j$ este par, $-$ când este impar. Dezvoltarea (teorema lui Laplace, forma de clasă) reduce un determinant de ordin $n$ la $n$ determinanți de ordin $n-1$ și este singura metodă generală de la ordinul $4$ în sus. Strategia: se alege linia sau coloana cu cele mai multe zerouri, iar dacă nu există, se creează cu $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$, operație care nu schimbă determinantul.

Exemplu: Dezvoltând $\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 1& 3& 4\\ 0& 5& -2\end{array}\right|$ după prima coloană: $\det A=2\cdot \left|\begin{array}{cc}3& 4\\ 5& -2\end{array}\right|-1\cdot \left|\begin{array}{cc}-1& 0\\ 5& -2\end{array}\right|+0=2\cdot (-26)-1\cdot 2=-54$ ✓ — aceeași valoare ca prin Sarrus.