Ecuații matriceale

Formulă din tema Determinanți și matrice inversabile, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$A$, $B$, $C$ sunt matrice date, $X$ este necunoscuta. Pentru că înmulțirea matricelor nu este comutativă, contează de care parte se înmulțește: la $AX=B$ se înmulțește cu $A^{-1}$ la stânga, la $XA=B$ la dreapta. Condiția de aplicare: matricele cu care se înmulțește trebuie să fie inversabile — se verifică întâi $\det A\ne 0$ (respectiv $\det B\ne 0$). Tipurile trebuie să se potrivească: dacă $A\in {\mathcal{M}}_n$ și $B\in {\mathcal{M}}_{n,p}$, atunci $X\in {\mathcal{M}}_{n,p}$. Când $\det A=0$, ecuația nu se rezolvă așa: se scrie $X$ cu elemente necunoscute și se ajunge la un sistem liniar, care poate fi incompatibil sau nedeterminat. Verificarea finală, prin înlocuire, este obligatorie.

Exemplu: Fie $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 3\end{array}\right)$. Cum $\det A=1\ne 0$, $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)$, deci ecuația $AX=B$ dă $X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 1& -6\end{array}\right)$. Probă: $A\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 1& -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 3\end{array}\right)=B$ ✓.