Relația Hamilton-Cayley

Formulă din tema Determinanți și matrice inversabile, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$, iar $\mathrm{tr}(A)$ este urma matricei — suma elementelor de pe diagonala principală. Relația se verifică prin calcul direct și este a cincea metodă de ridicare la putere: scrisă ca $A^2=\mathrm{tr}(A)A-(\det A)I_2$, ea coboară orice putere a lui $A$ la o expresie de forma $x_{n}A+y_n{I}_2$, cu $x_n$ și $y_n$ date de un șir recurent. A doua folosință: dacă $\det A\ne 0$, din ea se obține $A^{-1}=\frac{1}{\det A}(\mathrm{tr}(A)I_2-A)$, fără adjunctă. Capcană: relația se scrie pentru ordinul $2$; la ordin mai mare forma este alta și nu se cere la Bacalaureat M1.

Exemplu: Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 2& 0\end{array}\right)$: $\mathrm{tr}(A)=3$, $\det A=2$, deci $A^2=3A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}7& -3\\ 6& -2\end{array}\right)$ ✓ (calculul direct dă același rezultat). • De aici $A^{-1}=\frac{1}{2}(3I_2-A)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& 3\end{array}\right)$.