Cele șase permutări ale grupului S3

Formulă din tema Grupuri, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Numirea fixată a elementelor lui $S_3$, folosită în toate tablele și exercițiile: ${\sigma }_1$, ${\sigma }_2$, ${\sigma }_3$ sunt transpozițiile (fiecare este propriul simetric), iar ${\sigma }_4$ și ${\sigma }_5$ sunt cele două cicluri de lungime $3$, cu ${\sigma }_4^{-1}={\sigma }_5$. Compunerea se citește „întâi $\tau$, apoi $\sigma$” în $\sigma \circ \tau$. În general $\mathrm{card}{S}_n=n!$, deci $S_3$ are $6$ elemente; $S_n$ este necomutativ pentru orice $n\ge 3$, iar $S_3$ este cel mai mic grup necomutativ. Ordinul unei permutări se calculează direct, prin puteri succesive.

Exemplu: ${\sigma }_4\circ {\sigma }_3={\sigma }_2$, dar ${\sigma }_3\circ {\sigma }_4={\sigma }_1$ — de aici necomutativitatea. • $\mathrm{ord}({\sigma }_4)=3$, fiindcă ${\sigma }_4^2={\sigma }_5$ și ${\sigma }_4^3=e$.