Definiția grupului

Formulă din tema Grupuri, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$(G,\cdot )$ este grup dacă legea este asociativă, are element neutru $e$ și orice element are simetric. Ordinea de verificare la examen — cei patru pași: (0) legea e bine definită pe $G$ (stabilitate), (1) asociativitate, (2) $e\in G$, (3) $x^{-1}\in G$ pentru orice $x$. Pasul 0 se sare cel mai des și costă cel mai mult. „Grup comutativ” (abelian) înseamnă că, în plus, $xy=yx$. La grupurile aditive se scriu $0$ și $-x$ în locul lui $e$ și $x^{-1}$.

Exemplu: $(\mathbb{Z},+)$, $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$ și $({\mathbb{Z}}_n,+)$ sunt grupuri comutative; $(S_3,\circ )$ și $G{L}_2(\mathbb{R})$ sunt grupuri necomutative. • $(\mathbb{N},+)$ nu e grup: lipsesc simetricele.