Criteriul de subgrup

Formulă din tema Grupuri, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$H\subseteq G$; cele trei condiții sunt suficiente ca $H$, cu legea indusă, să fie el însuși grup — asociativitatea se moștenește, iar $e\in H$ rezultă din primele două condiții. Se scrie „$H$ este subgrup al lui $G$”, nu $H\le G$. Forma comprimată „$x,y\in H\Rightarrow x{y}^{-1}\in H$” e o observație utilă, nu definiția. ⚠️ Prima condiție se verifică arătând un element concret din $H$ (de obicei $e$), nu spunând „evident”.

Exemplu: $H=\{\hat{0},\hat{3},\hat{6}\}$ este subgrup al lui $({\mathbb{Z}}_9,+)$: suma oricăror două elemente rămâne în $H$, iar $-\hat{3}=\hat{6}\in H$.