Ordinul grupului și ordinul unui element

Formulă din tema Grupuri, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Ordinul grupului este numărul elementelor lui, scris $\mathrm{card}G$ — nu $|G|$ și nu $\mathrm{ord}G$, ca să nu se confunde cu ordinul unui element. Ordinul elementului $x$ este cel mai mic exponent natural nenul pentru care $x^k=e$; dacă un astfel de exponent nu există, se scrie $\mathrm{ord}(x)=\infty$. Întotdeauna $\mathrm{ord}(e)=1$, și numai pentru $e$. Într-un grup finit orice element are ordin finit, iar $x^k=e$ are loc exact pentru multiplii lui $\mathrm{ord}(x)$.

Exemplu: În $({\mathbb{Z}}_6,+)$: $\mathrm{ord}(\hat{2})=3$, fiindcă $\hat{2}+\hat{2}+\hat{2}=\hat{6}=\hat{0}$, iar $\hat{2}\ne \hat{0}$ și $\hat{4}\ne \hat{0}$.