Reguli de calcul și puterile unui element

Formulă din tema Grupuri, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Într-un grup se simplifică liber: din $xa=xb$ rezultă $a=b$ (se înmulțește cu $x^{-1}$), iar ecuațiile $ax=b$ și $xa=b$ au soluție unică, $x=a^{-1}b$, respectiv $x=b{a}^{-1}$ — atenție, cele două pot fi diferite într-un grup necomutativ. ⚠️ Ordinea se inversează la $(xy{)}^{-1}$; egalitatea $(xy{)}^{-1}=x^{-1}{y}^{-1}$ e adevărată doar în grupurile comutative. Convențiile de exponent: $x^0=e$ și $x^{-n}=(x^{-1}{)}^n$. În notație aditivă, puterile devin multipli: $mx+nx=(m+n)x$.

Exemplu: În $({\mathbb{Z}}_{12},+)$, „puterea a treia” a lui $\hat{5}$ este $\hat{5}+\hat{5}+\hat{5}=\widehat{15}=\hat{3}$. • În $G{L}_2(\mathbb{R})$: $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$.