Subgrupurile grupului aditiv al numerelor întregi

Formulă din tema Grupuri, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Este unul dintre puținele rezultate de clasificare completă din programă: subgrupurile lui $(\mathbb{Z},+)$ sunt exact multiplii unui număr natural. Demonstrația folosește teorema împărțirii cu rest — se ia $n$ cel mai mic element strict pozitiv al lui $H$ și se arată că orice alt element e multiplu de $n$. Cazurile extreme: $n=0$ dă subgrupul nul $\{0\}$, iar $n=1$ dă $\mathbb{Z}$ însuși. Analogul pentru subgrupurile finite ale lui $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$: ele sunt exact grupurile $U_n$ ale rădăcinilor de ordinul $n$ ale unității.

Exemplu: $2\mathbb{Z}$ = numerele pare este subgrup; mulțimea numerelor impare nu este, fiindcă $3+5=8$ nu e impar (și îi lipsește și $0$).