Morfisme și izomorfisme de grupuri

Formulă din tema Grupuri, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$f:(G,\cdot )\to (G^{\prime },\ast )$ este morfism dacă duce compusul în compus; cele două proprietăți din dreapta se demonstrează, nu se cer în definiție. Izomorfismul este un morfism bijectiv, iar $G\simeq G^{\prime }$ se citește „grupurile sunt izomorfe”. Pentru a arăta că două grupuri nu sunt izomorfe se folosesc invarianții: numărul de elemente, comutativitatea, profilul ordinelor (câte elemente de fiecare ordin) și ciclicitatea — un izomorfism păstrează ordinele. Rețeta „arată că $(G,\ast )$ e izomorf cu $(H,\cdot )$”: se propune $f$, se verifică morfismul, apoi bijectivitatea, cu inversa scrisă explicit.

Exemplu: $f:((2,+\infty ),\ast )\to ({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$, $f(x)=x-2$, pentru $x\ast y=xy-2x-2y+6$: $f(x\ast y)=(x-2)(y-2)=f(x)f(y)$ ✓.