Subgrupul generat de un element. Grupuri ciclice

Formulă din tema Grupuri, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$⟨x⟩$ este cel mai mic subgrup care îl conține pe $x$; egalitatea cu ordinul are loc când ordinul e finit, și atunci $⟨x⟩=\{e,x,x^2,\dots ,x^{\mathrm{ord}(x)-1}\}$. Un grup se numește ciclic dacă există $x$ cu $G=⟨x⟩$; un asemenea $x$ se numește generator. Orice grup ciclic este comutativ (reciproca e falsă: grupul lui Klein e comutativ, dar nu ciclic). În notație aditivă, $⟨x⟩=\{kx\mid k\in \mathbb{Z}\}$.

Exemplu: În $({\mathbb{Z}}_{12},+)$: $⟨\hat{4}⟩=\{\hat{0},\hat{4},\hat{8}\}$, cu $\mathrm{ord}(\hat{4})=\frac{12}{4}=3$ ✓, iar $⟨\hat{5}⟩={\mathbb{Z}}_{12}$, fiindcă $(5,12)=1$.