Cele cinci limite fundamentale

Formulă din tema Limite de funcții și continuitate, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Toate cinci sunt limite în $0$ și toate rezolvă nedeterminarea $\frac{0}{0}$ (a doua, pe $1^{\infty }$). A treia are valoarea $\ln a$, nu $1$ — pentru $a=e$ se obține $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$, cazul particular ușor de confundat cu regula generală. Corolarele primei: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}x}{x}=1$ și $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$. Forma compusă, cea folosită la aproape toate exercițiile: dacă $u(x)\to 0$ și $u(x)\ne 0$ pe o vecinătate redusă a lui $x_0$, atunci $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sin u(x)}{u(x)}=1$ și analoagele. Substituția se justifică de fiecare dată: „notăm $t=u(x)$; cum $u(x)\to 0$ când $x\to x_0$, obținem…”.

Exemplu: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 5x}{3x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 5x}{5x}\cdot \frac{5}{3}=\frac{5}{3}$. • $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2^x-1}{x}=\ln 2$. • $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{2}$, cazul $r=\frac{1}{2}$.