Continuitatea într-un punct

Formulă din tema Limite de funcții și continuitate, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$f:D\to \mathbb{R}$ și $x_0\in D$ — spre deosebire de limită, continuitatea se discută numai în puncte ale domeniului. Egalitatea cere trei lucruri deodată: $f$ să fie definită în $x_0$, limita să existe și cele două să coincidă. Dacă $x_0$ este punct izolat, $f$ este continuă în $x_0$ prin convenție. A doua formă, cu limite laterale, este cea de lucru la funcțiile pe ramuri: în punctul de racord se calculează $l_s$, $l_d$ și $f(x_0)$, apoi se pun egale — de aici se determină parametrii. $f$ este continuă pe o mulțime dacă este continuă în fiecare punct al ei; la capetele închise ale unui interval se cere continuitatea laterală dinspre interior.

Exemplu: Pentru $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+a,& x\le 1\\ 3x-1,& x>1\end{array}$: $f(1)=1+a$, $l_s(1)=1+a$ și $l_d(1)=2$, deci $f$ este continuă în $1$ exact pentru $a=1$. • Orice funcție polinomială este continuă pe $\mathbb{R}$.