Limita unei funcții într-un punct (definiția cu șiruri)

Formulă din tema Limite de funcții și continuitate, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$f:D\to \mathbb{R}$, iar $x_0$ trebuie să fie punct de acumulare al lui $D$ — adică orice vecinătate a lui $x_0$ să conțină puncte din $D$ diferite de $x_0$; altfel limita nici nu se definește. Valoarea $\ell$ poate fi finită sau $\pm \infty$. Esențial: șirurile se iau din $D$ fără punctul $x_0$, deci limita nu depinde de $f(x_0)$ — funcția poate nici să nu fie definită acolo. Definiția este și unealta prin care se arată că o limită nu există: se găsesc două șiruri $x_n\to x_0$ și $y_n\to x_0$ pentru care $f(x_n)$ și $f(y_n)$ au limite diferite. Limita, dacă există, este unică.

Exemplu: $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)=4$, deși funcția nu este definită în $2$. • $\underset{x\to 0}{\lim }\sin \frac{1}{x}$ nu există: pentru $x_n=\frac{1}{n\pi }$ valorile sunt $0$, iar pentru $y_n=\frac{1}{\frac{\pi }{2}+2n\pi }$ sunt $1$.