Proprietatea valorilor intermediare (Darboux) și consecința de semn

Formulă din tema Limite de funcții și continuitate, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Prima afirmație este proprietatea valorilor intermediare (numită și proprietatea lui Darboux), a doua este consecința ei de semn (teorema lui Bolzano); ambele se admit fără demonstrație. $I$ trebuie să fie un interval, iar $f$ continuă pe el — pe o reuniune de intervale concluzia este falsă. În cuvinte: o funcție continuă nu poate trece de la o valoare la alta fără să ia toate valorile intermediare, deci graficul ei se desenează „fără să ridici creionul”. Consecința de semn este metoda standard pentru a arăta că o ecuație are cel puțin o soluție într-un interval: se calculează $f$ în capete și se constată semne contrare. Ea nu spune câte soluții sunt — numărul lor se stabilește adăugând monotonia sau șirul lui Rolle.

Exemplu: Pentru $f(x)=x^3+x-1$, continuă pe $[0,1]$: $f(0)=-1<0$ și $f(1)=1>0$, deci ecuația $x^3+x-1=0$ are cel puțin o soluție în $(0,1)$. Cum $f^{\prime }(x)=3x^2+1>0$, $f$ e strict crescătoare, deci soluția este unică.