Puncte de discontinuitate

Formulă din tema Limite de funcții și continuitate, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Un punct de discontinuitate este un punct din domeniu în care $f$ nu este continuă. Clasificarea: speța I — ambele limite laterale există și sunt finite (dar cel puțin una diferă de $f(x_0)$, sau diferă între ele); speța a II-a — orice alt caz, adică măcar una dintre limitele laterale nu există sau este infinită. Cuvântul finite este esențial: formularea „speța I înseamnă că limitele laterale există” este incompletă și greșită — este exact greșeala care se face cel mai des. Diferența $l_d(x_0)-l_s(x_0)$ se numește saltul funcției în $x_0$; el este $0$ la o discontinuitate care se repară schimbând doar valoarea $f(x_0)$.

Exemplu: $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{|x|}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$ are în $0$ discontinuitate de speța I, cu $l_s=-1$, $l_d=1$ și saltul $2$. • $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$ are în $0$ discontinuitate de speța a II-a, fiindcă limitele laterale sunt infinite.