Metoda lui Gauss (operațiile elementare pe linii)

Formulă din tema Sisteme de ecuații liniare, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Cele trei operații elementare pe linii transformă un sistem într-unul echivalent — cu exact aceleași soluții. Se lucrează pe matricea extinsă $\overline{A}$, urmărind să se obțină o formă eșalonată (sub prima necunoscută a fiecărei linii, numai zerouri), după care necunoscutele se află de jos în sus, prin substituție inversă. Condiția $\alpha \ne 0$ păstrează reversibilitatea, iar $i\ne j$ împiedică anularea unei linii. Fiecare pas se scrie pe rând separat, cu operația notată lângă săgeată — „se fac calculele” nu se punctează. Citirea finală: o linie de forma $0=c$ cu $c\ne 0$ înseamnă sistem incompatibil; o linie complet nulă înseamnă o ecuație de prisos.

Exemplu: $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 2& 3& 8\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow L_2-2L_1}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$, deci $y=2$ și, prin substituție inversă, $x=3-2=1$. Probă: $2\cdot 1+3\cdot 2=8$ ✓.