Rangul unei matrice

Formulă din tema Sisteme de ecuații liniare, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Rangul lui $A$ este cel mai mare ordin al unui minor nenul al lui $A$; prin convenție $\mathrm{rang}{O}_{m,n}=0$. Ambele condiții trebuie verificate: prima singură arată doar că $\mathrm{rang}A\ge r$. Proprietăți: $0\le \mathrm{rang}A\le \min (m,n)$; $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}{}^{t}A$, deci liniile și coloanele au aceleași drepturi; $\mathrm{rang}(\alpha A)=\mathrm{rang}A$ pentru $\alpha \ne 0$. În practică se merge de jos în sus: se găsește un minor nenul de ordin $2$, apoi se bordează. Rangul nu se schimbă la operații elementare pe linii sau pe coloane, deci a doua cale este aducerea matricei la formă eșalonată, unde rangul este numărul liniilor nenule. Se scrie $\mathrm{rang}A$, românește.

Exemplu: Pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$: $\det A=0$ (fiindcă $L_2=2L_1$), dar minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right|=-1\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=2$. • $\mathrm{rang}{I}_3=3$.