Teorema Kronecker-Capelli

Formulă din tema Sisteme de ecuații liniare, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$A$ este matricea sistemului, iar $\overline{A}$ matricea extinsă (cu coloana termenilor liberi adăugată la dreapta). Teorema decide dacă sistemul are soluții, nu care sunt ele. Cum $\overline{A}$ are o coloană în plus, întotdeauna $\mathrm{rang}A\le \mathrm{rang}\overline{A}\le \mathrm{rang}A+1$; egalitatea înseamnă compatibilitate, iar $\mathrm{rang}\overline{A}=\mathrm{rang}A+1$ înseamnă sistem incompatibil. Rețeta: se calculează $\mathrm{rang}A=r$, apoi se verifică dacă $\overline{A}$ are un minor nenul de ordin $r+1$. Capcană: nu se compară rangul cu numărul de ecuații, ci cele două ranguri între ele.

Exemplu: Pentru $\{\begin{array}{l}x+y=1\\ 2x+2y=3\end{array}$: $\mathrm{rang}A=1$, dar $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right|=1\ne 0$, deci $\mathrm{rang}\overline{A}=2$ — sistem incompatibil. • Dacă a doua ecuație ar fi $2x+2y=2$, ambele ranguri ar fi $1$, iar sistemul ar fi compatibil nedeterminat.