Rezolvarea unui sistem cu matricea inversă

Formulă din tema Sisteme de ecuații liniare, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

$A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ este matricea pătratică a sistemului, iar $\det A\ne 0$ garantează existența lui $A^{-1}$. Se înmulțește egalitatea $AX=B$ cu $A^{-1}$ la stânga, în această ordine — $B{A}^{-1}$ nici măcar nu are sens când $B$ este o coloană. Metoda dă aceeași soluție ca regula lui Cramer și este de preferat când inversa se cere oricum în problemă sau când același $A$ apare cu mai multe coloane $B$ diferite. Capcană: $A^{-1}B$ este o matrice-coloană, iar soluția sistemului se citește pe verticală, în ordinea necunoscutelor.

Exemplu: Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}5\\ 8\end{array}\right)$: $\det A=1$, $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)$, deci $X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$, adică $x=2$, $y=1$. Probă: $2\cdot 2+1=5$ ✓.